江西省赣州市2026年高三高考一模数学试卷含答案

这是一份江西省赣州市2026年高三高考一模数学试卷含答案，共10页。试卷主要包含了选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分，共 150 分，考试时间 120 分钟 第 I 卷(选择题共 58 分)
一、选择题:本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，在每一小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的, 答案填写在答题卷上.
1. 已知集合 A=x∈N∗ xx−5≤0,B=x∈Zx−1≤2 ,则 A∩B=
A. {0,1,2} B. {0,1,2,3} C. {1,2,3} D. {1,2,3,4}
2. 复数 z 满足 z+1⋅i=1−2i ( i 为虚数单位),则 z 的共轭复数的虚部是
A. -3 B. -3i C. 1 D. i
3. 若函数 fx=x9x−1axa>0且a≠1 为偶函数，则 a=
A. 2 B. 3
C. 13 D. 9
4. 已知椭圆 C:x24+y23=1 的左右焦点分别为 F1,F2 ,点 P 在椭圆 C 上,若 △PF1F2 的面积为 1,则 PF1•PF2=
A. −23 B. 23 C. −83 D. 83

5. 已知函数 fx=Asinωx+φA>0,ω>0,φ0,b>0 的左、右焦点分别为 F1,F2 ,若过点 F1 的直线 l 与圆 x2+y2=a2 相切于点 Q,l 与双曲线 C 的右支交于点 P ,且 F1P=4F1Q ,则双曲线 C 的离心率为
A. 2
B. 43 C. 54 D. 53
8. 在长方体 ABCD−A1B1C1D1 中, AB=2,AD=AA1=1 ,点 M 在四边形 A1B1CD 内 (含边界)移动，且满足 ∠MD1D=∠AD1D ，则点 M 到直线 A1C 距离的最小值为
A. 13 B. 33 C. 235 D. 34
二、多选题:本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分
9. 已知圆 C:x2+y2=4 ，过直线 l:x+y−4=0 上任意一点 P 作圆 C 的两条切线，切点分别为 A,B ,则
A. 圆 C 上的点到直线 l 的最大距离为 21+2
B. 四边形 PACB 面积的最小值为 4
C. PA⋅PB 的最小值为 8
D. 当点 P 坐标为 1,3 时,直线 AB 的方程为 x+3y−4=0
10. 设 A,B 是一个试验中的两个事件,且 PA=12,PB=712,PAB+AB=512 ,则下列结论正确的是
A. PAB=13 B. PA+B=512
C. PB∣A=23 D. PB∣A+PA∣B=1
11. 我们把方程 xex=1 的实数解称为欧米加常数,记为 Ω . Ω 和 e 一样,都是无理数, Ω 还被称为在指数函数中的 “黄金比例”. 下列有关 Ω 的结论正确的是
A. Ω∈0.5,1
B. eΩlnΩ+1=0
C. Ω=uuuΩ ,其中 u=1e
D. 函数 fx=e1x+xlnxx+1 的最小值为 fΩ
第 II 卷 (非选择题共 92 分)
三、填空题: 本大题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分, 答案填写在答题卷上.
12. 若 x+1x−25=a0+a1x+a2x2+⋯+a6x6 ，则 a5= _____.
13. 若函数 fx=ax−x2a>0且a≠1 有 3 个零点，则实数 a 的取值范围是_____.
14. 一自动运动的小车连续运行 n 次，每次以相同概率随机选择向前或向后运动，记未连续出现 2 次向后运动的概率为 Pnn∈N∗ ，则 P2027−P2026P2024 的值为_____.
四、解答题:本大题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤
15. (本小题 13 分)
在 △ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c ,且 3sinC−csC=2c−ab .
(1)若 tanC=−53 ，求 tanA 的值.
(2)若 a+c=3+33 ， △ABC 的内切圆的面积为 π ，求 △ABC 的面积.
16. (本小题 15 分)
已知抛物线 C:x2=2y ，过点 P0,2 作直线 l 与抛物线 C 相交于 A ， B 两点， O 为坐标原点.
(1)证明: OA⊥OB ；
(2)若存在异于点 P 的定点 T ，使得 PA⋅TB=PB⋅TA 恒成立，请求出点 T 的坐标,并求出 △TAB 面积的最小值.
17. (本小题 15 分)
如图，在三棱锥 P−ABD 中， PA⊥ 平面 ABD ， ∠BAC=90∘ ， AB=AC=1 ，且 C 为 BD 的中点.

(1)求二面角 C−AP−D 的余弦值;
(2)若 ∠PCB=60∘ ，在线段 PB,PC 上各取一点 E,F ，设 PEPB=PFPC=λλ∈0,1 ,若平面 AEF⊥ 平面 PBC ,求 λ 的值.
18. (本小题 17 分)
已知函数 fx=eax−xx∈R .
(1)讨论函数 fx 的单调性.
(2)设函数 gx=fx−ama>0,m∈R ，若存在唯一实数 a 使函数 gx 的最小值为 0 , 求实数 m 的取值范围.
19. (本小题 17 分)
现有一种不断分裂的 M 细胞，在每个分裂周期中，一个 M 细胞以 23 的概率分化成一个新的 M 细胞，以 13 的概率分裂成两个新的 M 细胞，分裂后原来的 M 细胞消失，新的 M 细胞在下一个分裂周期里会继续分裂. 设初始状态下有1个 M 细胞， n 个分裂周期后， M 细胞的数目为 Xn .
(1)求 X2 的分布列和数学期望.
(2)求概率 PXn=2 .
(3)证明: PXn=30 ,得 x>1aln1a
又令 f′x0
得 g′x=aeax−1 ,由 (1) 可知
gxmin=g1aln1a=eln1a−1aln1a−am=1a−1aln1a−am=0(*)
即关于 a 的方程 1a−1aln1a−am=0 只有 1 个根 .9 分
当 a=1 时,方程 ∗ 恒成立,即当 a>0 且 a≠1 时,方程 ∗ 无解
所以 1a−1aln1a=am⇔1a+1alna=am⇔1+lnaa=am∗∗
由 am>0 ,所以 1+lna>0 ,即 lna>−1 ,即 a>1e 且 a≠1
对 ∗∗ 式同时取对 ln1+lnaa=mlna⇔ln1+lna−lna=mlna
即 m+1=ln1+lnalna ,令 t=lna+1 ,则 t∈0,1∪1,+∞
即关于 t 的方程 m+1=lntt−1 在 t∈0,1∪1,+∞ 无解 .13 分
又令 φt=lntt−1,t∈0,1∪1,+∞ ,则 φ′t=t−1t−lntt−12=t−1t−lntt−12
令 ht=1−1t−lnt ,则 h′t=1t2−1t=1−tt2 ,
由 h1=0 ,所以 ht 在 0,1 单调递增,在 1,+∞ 单调递减
所以 ht0 时, gx 在 −∞,1aln1a 上单调递减,在 1aln1a,+∞ 上单调递增,
所以 gxmin=g1aln1a=1a−1aln1a−am=1+lna−am+1a ,
依题,存在唯一实数 a 使函数 gx 的最小值为 0, .9 分
所以存在唯一实数 a 使 1+lna−am+1a=0 ,即存在唯一实数 a 使 1+lna−am+1=0 ,
令 ha=1+lna−am+1,a>0 ,则 h′a=1a−m+1am=1−m+1am+1a , .12 分
(i) 当 m≤−1 时, h′a≥0 恒成立,故函数 ha 在 0,+∞ 单调递增,
又因为 h1=0 ,所以存在唯一实数 a=1 使得 ha=0 ,符合题意; .13 分
(ii) 当 m>−1 时,令 h′a>0 ,得 0