初中数学冀教版（2024）八年级上册（2024）15.1 二次根式一课一练

这是一份初中数学冀教版（2024）八年级上册（2024）15.1 二次根式一课一练，共7页。试卷主要包含了选择题，填空题，作图题，综合题，解答题，阅读理解等内容，欢迎下载使用。
1.设等式 a(x−a)+a(y−a)=x−a−a−y 在实数范围内成立，其中a、x、y是两两不同的实数，则 3x2+xy−y2x2−xy+y2 的值是（ ）
A . 3 B . 13 C . 2 D .53
2.下列说法正确的是（ ）
A . 若 x-1x-2有意义，则有x≥1且x≠2
B . 勾股定理是a2+b2=c2
C . 夹在两条平行线间的线段相等
D . a0=1
3.数轴上点A，B，D分别对应2，4，6，分别以A，D为圆心，大于 12AD的长度为半径画弧，交于点 P和点 Q ， 连接 PQ ， 以点 B为圆心， AB长为半径画弧，交 PQ于点 C；以原点 O为圆心， OC长为半径画弧，交数轴于点 M ， 则点 M对应的数是（ ）
A . 42 B . 5 C . 25 D .32
4.如果 a+2+∣b-1∣=0,那么(a+b) 20 2 3的值为（ ）
A . -1 B . 1 C . 32023 D .-32023
5.化简 32的结果是（ ）
A . 52 B . 42 C . 32 D .62
6.若a＜0，则 -a2a的值为（ ）
A . 1 B . -1 C . ±1 D . -a
7.下列各式① 5 ， ② 17 ， ③ x2+y2 ， ④ 18 ， ⑤ 1x（ x＞0）中是最简二次根式的有（ ）
A . 1个 B . 2个 C . 3个 D . 4个
8.某校研究性学习小组在学习二次根式 a2=|a|之后，研究了如下四个问题，其中错误的是（ ）
A . 在a＞1的条件下化简代数式a+ a2-2a+1的结果为2a﹣1
B . 当a+ a2-2a+1的值恒为定值时，字母a的取值范围是a≤1
C . a+ a2-2a+1的值随a变化而变化，当a取某个数值时，上述代数式的值可以为12
D . 若 a2-2a+1= a-12 ， 则字母a必须满足a≥1
二、填空题
1.下面是小颖根据学习“数与式”积累的经验，通过“由特殊到一般”的方法探（第15题图）究二次根式的运算规律：
① 1+13=3+13=4×13=213；② 2+14=8+14=9×14=314；③ 3+15=415；……
如果 n为正整数，用含 n的式子表示上述的运算规律为 ________ ．
2.若最简二次方根式 7a+b2与 6a-bb+4可以合并，则 b= ________ ， a= ________ ， 5ab2+2b的值为 ________ ．
3.实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，化简： (a+b)2−(a−b)2的结果是 ________ ．
4.24 ÷ 3= ________
5.已知：如图，在正方形 ABCD外取一点 E ， 连接 AE ， BE ， DE ． 过点 A作 AE的垂线交 DE于点 P ， 连接 BP ． 若 AE=AP=1 ， PB=5 ． 下列四个结论中，正确的结论有 ________ 个．
① △APD≌△AEB；② EB⊥ED；③点 B到直线 AE的距离为 2；④ S正方形ABCD=4+6 ．
6.实数 a、 b、 c在数轴上的位置如图所示，化简下列代数式的值 a2−(c−a+b)2+|b+c|−b33 ＝ ________ ．
7.若关于 m的二次根式 m+5−m有意义，且 m为整数，若关于 m的分式方程 xx−2−m+12−x=−1的解为正数，则满足条件的所有 m的值的积为
三、作图题
1.请在方格内画出 △ABC ， 使它的顶点都在格点上，且三边长1， 2 ， 5 ，
（1） 求 △ABC的面积；
（2） 求出最长边上的高．
2.描点法是探究函数图象变化规律的重要方法．请用该方法探究函数 y=2−x的图象变化规律．
（1） 求函数自变量 x的取值范围；
（2） 请按照描点法的步骤（列表、描点、连线），在平面直角坐标系 xOy中画出该函数的图象；
（3） 已知点 Am,n是函数图象上的点，若 n>32 ， 求 m的取值范围．
3.如图所示的 6×6方格纸上每个小正方形的边长都为1．在方格纸上按要求画图．

（1） 在图1中以点 A为顶点，画边长为 2 ， 5 ， 5的 △ABC；
（2） 在图2中以 AB为一边，画菱形 ABCD ．
四、综合题
1.请回答下列各题．
（1） 已知 x=13−2 ， y=13+2 ，求 x2−xy+y2 的值．
（2） 已知实数 a ， b ， c 在数轴上对应的点如图所示，图中 O 为原点，化简：
a2−(a−b)2+|b+c|+c33 ．
2.某居民小区有块形状为长方形ABCD的绿地，长方形绿地的长BC为 83 米，宽AB为 98 米，现要在长方形绿地中修建一个长方形花坛（即图中阴影部分），长方形花坛的长为 13+1 米，宽为 13−1 米．
（1） 长方形ABCD的周长是多少？（结果化为最简二次根式）
（2） 除去修建花坛的地方，其它地方全修建成通道，通道上要铺上造价为6元/ m2 的地砖，要铺完整个通道，则购买地砖需要花费多少元？（结果化为最简二次根式）
3.问题探究：因为 (2−1)2=3−22 ， 所以 3−22=2−1，
因为 (2+1)2=3+22 ， 所以 3+22=2+1，因为 (2−3)2=7−43 ， 所以 7−43=2−3，请你根据以上规律，结合你的经验化简下列各式：
（1） 5−26；
（2）94+2⋅
4.石家庄市2024年口袋公园建设成效显著，推动完善“推窗见绿，出门进园”的绿化空间，提升了使命绿化感受度和获得感．在打造口袋公园的过程中，筛选出一块形状为长方形的空闲地块 ABCD ， 长 AB为 82米，宽 BC为 52米，现要在其上修建两个形状大小相同的长方形绿地（图中阴影部分），每块长方形绿地的长为 13+1米，宽为 13−1米．
（1） 求长方形空闲地块 ABCD的周长．
（2） 除去修建绿地的地方，其他地方全修建成通道，通道上要铺上造价为25元/平方米的地砖，要铺满整个通道，则购买地砖需要花费多少元?
五、解答题
1.当x是怎样的实数时， 2-x在实数范围内有意义，请再写出一个含x的二次根式，使x为任何实数时均有意义．
2.如图1，以直角 △AOC的直角顶点O为原点，以OC，OA所在直线为x轴和y轴建立平面直角坐标系，点A(0，a)，C(b，0)，并且满足 a−b+2+|2a−b−4|=0.
（1） a与b的值分别是：a= ________ ；b= ________ .
（2） 如图1，坐标轴上有两动点P，Q同时出发，点P从点C出发沿x轴负方向以每秒2个单位长度的速度匀速运动，点Q从点O出发沿y轴正方向以每秒1个单位长度的速度匀速运动，当点P到达点O整个运动随之结束；线段AC的中点D的坐标是D(4，3)，设运动时间为t秒. 是否存在 t，使得 △DOP与 △DOQ的面积相等？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由.
3.有这样一个问题：已知 m=12+3 ， 求 2m2−8m+1的值．
小明是这样解答的：∵ m=12+3=2−32+32−3=2−34−3=2−3 ，
∴ m−2=−3 ，
∴ m−22=3 ， 即 m2−4m+4=3 ，
∴ m2−4m=−1 ，
∴ 2m2−8m+1=2m2−4m+1=2×−1+1=−1 ．
根据小明的解答过程，解决以下问题：
（1） 计算： 13+1+15+3+17+5+⋯+1121+119 ．
（2） 已知 a=12−1 ．
①求 4a2−8a+1的值；
②求 a3−3a2+a+1的值．
4.计算：627×-23
六、阅读理解
1.我们已经知道 13+313−3=4 ， 因此将 813−3分子、分母同时乘“ 13+3”，分母就变成了4．例如： 813−3=813+313−313+3=813+34=213+6 ， 从而可以达到对根式化简的目的．根据上述阅读材料解决问题：已知 a=23+1 ， b=23−1 ．
（1） 化简 a ， b；
（2） 求代数式 2a2+ab+2b2的值．
2.著名数学教育家G·波利亚有句名言：“发现问题比解决问题更重要”，这句话启发我们：要想学会数学，就需要观察，发现问题，探索问题的规律性东西，要有一双敏锐的眼睛．请先阅读下列材料：
数学上有一种根号内又带根号的数．形如 a±2b ， 如果你能找到两个数m、n，使 m2+n2=a ， 且 mn=b ， 则 a±2b可变形为 m2+n2±2mn=m±n2=m±n ， 从而达到化去一层根号的目的，例如： 3−22=2−2×1×2+1=22−2×1×2+1=2−12=2−1 ．
解决问题：
（1） 根据上述思路，试将 9−45予以化简；
（2） 根据上述思路，化简并求出 52−143+7+43的值；
（3） 当 1≤x≤2时，化简 x+2x−1+x−2x−1 ．
3.【阅读感悟】李林同学在计算 5+21−5−21时，采用了如下方法.
∵(5+21−5−21)2=(5+21)−25+21×5−21+(5−21)=10−2×2=6
∴ 5+21>5−21 ，
∴ 5+21−5+21=6.
【迁移应用】计算下列两个式子：
（1） 7+35+7−35；
（2） 2+51+5.
x
…
…
y
…
…