广东省广州市天河区2023-2024学年高二（上）期末数学试卷（解析版）

这是一份广东省广州市天河区2023-2024学年高二（上）期末数学试卷（解析版），共17页。
1．答卷前，考生必须用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的学校、姓名、班级、座位号和考生号填写在答题卡相应的位置上，再用2B铅笔把考号的对应数字涂黑.
2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；不能答在试卷上.
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔或涂改液．不按以上要求作答的答案无效.
4．考生必须保证答题卡的整洁，考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知直线经过点和，则的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】设直线的倾斜角为，
因为，
所以且，
所以，
故选：C.
2. 公比不为1的等比数列满足，若，则正整数m的值为（ ）
A. 11B. 10C. 9D. 8
【答案】B
【解析】由于公比不为1的等比数列满足，
，
，，
，
．
故选：B．
3. 直线与圆的位置关系为（ ）
A. 相离B. 相切
C. 相交D. 无法确定
【答案】A
【解析】由题意知，圆心，半径，
所以圆心到直线的距离，故圆与直线相离.
故选：A.
4. 图1是一个水平摆放的小正方体木块，图2，图3是由这样的小正方体木块叠放而成的，按照这样的规律放下去，第6个叠放的图形中小正方体木块的总数是（ ）
A. 61B. 66C. 90D. 91
【答案】B
【解析】分别观察各图中小正方体木块的个数为1，，，，
归纳可知，第个叠放图形中共有层，且各层的小正方体木块个数构成了以1为首项，以4为公差的等差数列，
所以，
所以．
故第6个叠放的图形中，小正方体木块的总数为66．
故选：B．
5. 已知双曲线：的一条渐近线与直线垂直，则该双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. 2D.
【答案】A
【解析】由题意，双曲线的方程为： ，斜率为 和 ，
直线 的斜率为 ，因为两直线垂直，
则有 ，即 ，（ ，显然这是不可能的），
或 ， ；
故选：A.
6. 如图，在三棱台中，，是的中点，是的中点，若，则（ ）
A. B. 1C. D.
【答案】C
【解析】结合图形可知：
是的中点，,
,
，
是的中点，,
,
即,
，，.
故选：C.
7. 已知抛物线可由抛物线平移得到,若抛物线的焦点为，点在抛物线E上且，则点到轴距离为（ ）
A. 5B. 6C. 7D. 8
【答案】C
【解析】依题意，将抛物线的图象向左平移2个单位，
再向下平移3个单位，可得抛物线，即的图象，
记抛物线的焦点为，记点为点平移后的点，
由平移的性质可知，则，即，
所以点的纵坐标为，即点到轴距离为.故选：C.
8. 在平面直角坐标系中,已知圆,若圆上存在点P，由点P向圆C引一条切线，切点为M，且满足，则实数a的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】设点P的坐标为，如图所示：
由可知：，而，
∴
∴，整理得，
即.
∴点P的轨迹为以点为圆心，为半径的圆，又∵点P在圆D上，∴所以点P为圆D与圆E的交点，即要想满足题意，
只要让圆D和圆E有公共点即可，∴两圆的位置关系为外切，相交或内切，
∴，解得.
故选：D
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.
9. 已知直线，且，则（ ）
A. B.
C. 与间的距离为D. 的一个方向向量为
【答案】AD
【解析】由两条直线平行可得：，解得，所以A正确，B不正确；
，
所以两条直线之间的距离＝，所以C不正确；
直线的斜率为2，所以它的一个方向向量可以为，所以D正确．
故选：AD．
10. 若动点与两定点的连线的斜率之积为常数k（），则点的轨迹可能是（ ）
A. 除M，N两点外的圆B. 除M，N两点外的椭圆
C. 除M，N两点外的双曲线D. 除M，N两点外的抛物线
【答案】ABC
【解析】依题意可知，整理得，
当时，方程的轨迹为双曲线（除，两点）；
当时，且方程的轨迹为椭圆（除，两点）；
当时，点的轨迹为圆（除，两点）；
因为抛物线的标准方程中，或的指数必有一个是1，
故点的轨迹一定不可能是抛物线．
故选：ABC
11. 已知正方体的棱长为1,建立如图所示的空间直角坐标系，则下列说法正确的是（ ）
A. 点到直线的距离为
B. 点到平面的距离为
C. 若点在直线上，则
D. 若点在平面内，则
【答案】BC
【解析】由题意，
所以，
若点直线上，则，
由与共线可得，故C正确；
又，所以，
而，，
不妨设点到直线的距离为，
由等面积法有，解得，故A错误；
，不妨设平面的法向量为，
则，令，解得，即取平面的法向量为，
若点在平面内，则，
所以，即，故D错误；
又，
所以点到平面的距离为，故B正确.
故选：BC.
12. 已知数列的通项公式为，记为数列的前n项和，则下列说法正确的是（ ）
A.
B.
C. 若，则
D. 若，则
【答案】BC
【解析】因为数列的通项公式为，,
故，所以为等差数列，，公差为，
则，
，
当时，，故A不正确；
当为偶数时，；
当为奇数时，，
故，所以B正确；
，
，
当为偶数时，，
当为奇数时，，
所以，故C正确；
，
，
所以
，
所以，所以D错误．
故选：BC．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 若方程表示一个圆，则实数m的取值范围是__________．
【答案】
【解析】原方程可化为，方程表示圆，则有，即.
故答案为：
14. 已知数列满足 ，则的通项公式为___________．
【答案】
【解析】因为，，
所以，即
所以以为首项，为公比的等比数列，
所以
所以
故答案为：
15. 已知点和，椭圆上一点P满足，则_________．
【答案】9
【解析】由题意，
所以点和为椭圆的焦点；
所以，
又因为，所以，
又，
所以由余弦定理有
.
故答案为：9.
16. 如图，正方形和正方形边长都是1，且它们所在的平面所成的二面角的大小是，则直线和夹角的余弦值为__________．若分别是上的动点，且，则的最小值是__________．
【答案】；
【解析】连接，如下图，
由题意，，，正方形中，，
正方形中，平面，平面，平面平面，
就是二面角的平面角，则，
向量与向量夹角为，且，
①，，，
，
，
直线和夹角的余弦值为；
②设，则，
且由题意，
，
，
令，,，图象开口向上，且对称轴为，
当时，取得最小值，又，
，即的最小值是．故答案为：；．
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17. 设是公差不为0的等差数列，，是，的等比中项.
（1）求的通项公式；
（2）设，求数列的前n项和.
解：（1）设的公差为，因为，是，的等比中项，
所以，所以
因为，所以，故.
（2）因为，
所以.
18. 如图，在正四棱柱中，．点E，F，G，H分别在棱上，．
（1）证明：；
（2）求直线与平面所成角的正弦值．
解：（1）如图：
在正四棱柱中，分别以为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系.
则：，，，，
所以，，所以.
所以.
（2）由（1）知，，，
所以，，，
设平面的法向量为，直线与平面所成角为，
则，所以，令，则，，
所以，.
所以直线与平面所成角的正弦值为.
19. 已知圆，直线l过点．
（1）若直线l的斜率为，求直线l被圆C所截得的弦长；
（2）若直线l与圆C相切，求直线l的方程．
解：（1）由题意直线l的斜率为，过点，
所以它的方程为，
即，
圆的圆心坐标、半径分别为，
圆心到直线的距离为，
所以直线l被圆C所截得的弦长为.
（2）若直线l的斜率不存在，此时它的方程为，
圆心到的距离为,即直线l与圆C相切，满足题意；
若直线l的斜率存在，此时设它的方程为，
若直线l与圆C相切，则圆心到的距离为，
解得，所以此时l的方程为，即；
综上所述，满足题意的l的方程为或.
20. 已知四棱锥的底面为等腰梯形，,平面．
（1）求证：；
（2）若平面与平面夹角的余弦值为，求四棱锥的体积．
解：（1）平面，平面，，
过点作，交于点，
四边形为等腰梯形，
由，得，
则，
所以，，
由，平面，得平面，
平面，
所以；
（2）四边形为平行四边形，，，
，，
两两垂直，以为原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，
设，则，，，，
，，，
设平面的一个法向量，则，
令，则，即，
设平面的一个法向量，则，
令，则，即，
平面与平面夹角的余弦值为，
则有，解得，
等腰梯形的面积为，
故.
所以四棱锥的体积为2.
21. 甲乙两家新能源汽车企业同时量产，第一年的全年利润额均为p万元根据市场分析和预测，甲企业第n年的利润额比前一年利润额多万元，乙企业前n年的总利润额为万元，记甲，乙两企业第n年利润额（单位：万元）分别为．
（1）求；
（2）若其中某一新能源汽车企业的年利润额不足另一企业的年利润额的，则该企业将被另一企业收购，判断哪一家新能源汽车企业有可能被收购？如果有这种情况，至少会出现在第几年？
解：（1）由题意知，（），（），
设乙企业前年的总利润额为，则，
当时，，
当时，，
将代入可得不符合，
所以，
又（），，
所以，
当时也符合上式，所以.
（2）①
当时，，即，
当时，
所以，即，
故对于，恒成立，即乙企业不可能被甲企业收购.
②，
当时，，即，
当时，
所以在且上单调递减，
当且时，，即，
当且时，，即，
故当且时，，即甲企业不能被乙企业收购，
当且时，，即甲企业能被乙企业收购，
综述：甲企业可能被乙企业收购，至少出现在第6年.
22. 已知椭圆的短轴长为2，点P在椭圆C上且与两焦点围成的三角形面积的最大值为．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）过椭圆C内一点的直线l交C于A，B两点，是否存在定值m，使得恒成立？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由．
解：（1）由题意得，，又,
所以解得，
所以椭圆C标准方程为.
（2）当直线l的斜率为0时，即直线l的方程为，不妨设此时，且，
则，解得满足题意，
当直线l的斜率不为0时，不妨设直线l的方程为，
将其与椭圆方程联立得，，化简并整理得，
，
由韦达定理有，
由求根公式有，
若，
则
，
化简并整理得，
若，则恒成立，满足题意.
综上所述，存在，使得恒成立.