安徽六安市舒城县2025-2026学年度第一学期期末质量监测九年级数学试卷

这是一份安徽六安市舒城县2025-2026学年度第一学期期末质量监测九年级数学试卷，共30页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（每小题4分，计40分）
1. 抛物线的顶点坐标为（）
A. B. C. D.
2. 下列函数中表示是反比例函数的是（ ）
A B. C. D.
3. 已知，则的值为（ ）．
A. 2B. C. D.
4. 反比例函数图象过点，该图象也可能过点（ ）
A. B. C. D.
5. 已知如图，在中，点，，分别是边，，上的点，，，且，则（ ）
A. B. C. D.
6. 二次函数的图像如下：则的值为（ ）

A. B. C. 1D. 2
7. 在下面网格中，小正方形的边长为1，的顶点都是格点，则的值为（ ）

A. B. C. 5D.
8. 将方程的两根记为、，方程的两根记为、，则、、、的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
9. 如图，在边长为6的正方形外侧作，且若为的中点，连接并延长交于点，则的长为（ ）
A. 7B. C. D. 8
10. 如图，在中，的高，相交于点，下列结论错误的是（ ）
A. B.
C. D.
二、填空题（每小题5分，计20分）
11. ______．
12. 在反比例函数图象的每一支曲线上，y都随x的增大而增大，则k的取值范围是______．
13. 已知二次函数的对称轴是直线，与x轴的一个交点坐标是，则另一个交点坐标为________
14. 如图，正方形中，点F是边上一点，连接，以为对角线作正方形，连接交于H．以下四个结论：①；②；③；④若，则．其中所有正确结论的序号是：______．
三、解答题（15-18每小题8分，19、20每小题10分，21、22每小题12分，23题14分，计90分）
15. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别是，，，以原点O为位似中心，在y轴右侧画出的位似图形（点A、B、C的对应点分别是点、、），使得与的相似比为，并写出点、、的坐标．
16. 如图，被一组对边平行于的矩形所截，被截成三等分，若的面积为27，求图中阴影部分的面积．
17. 如图①是一款手机支架，当手机支架打开时如图②所示，其中，，，求的长．（结果精确到；参考数据：，，）
18. 如图，正比例函数与反比例函数的图象交于点和点B．
（1）求的值及点B的坐标；
（2）结合图象，请直接写出当时，不等式解集．
19 如图，抛物线与轴交于点，与轴交于点．
（1）求抛物线对应的函数解析式，并直接写出顶点的坐标；
（2）求的面积．
20. 如图，中，，，．点D从A点出发沿射线以的速度移动，点E从C点出发沿射线以的速度移动，若两点同时出发，移动时间为，
（1）用含t的式子表示的长；
（2）经过几秒，与相似？
21. 在中，点E、F分别在、上，、相交于D．
（1）如图①，当E、F分别为、的中点时，求证：；
（2）如图②，当，时，求．
22. 通过实验研究发现：初中生在体育课上运动能力指标（以下简称“指标”）随上课时间的变化而变化．上课开始时，学生随着运动，指标开始增加；中间一段时间，指标保持平稳状态；随后随着体力的消耗，指标开始下降．指标y随时间x（分钟）变化的函数图象如图所示，当时，图象是顶点为A的抛物线的一部分；时，图象是线段；当时，图象是双曲线的一部分．
（1）求当和时，图象所对应的函数表达式；
（2）体育老师在一节课上进行某项运动教学需要16分钟，这项运动需要学生的运动能力指标不低于55才能达到较好的效果，老师的教学设计能实现吗？请说明理由．
23. 如图，E是矩形的边的中点，于点F，的延长线交于点G，连接，
（1）求证：；
（2）若，，求的长；
（3）求证：．2025—2026学年度第一学期期末质量监测
九年级数学试卷
一、选择题（每小题4分，计40分）
1. 抛物线的顶点坐标为（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查二次函数的顶点式，抛物线的顶点为．根据二次函数的顶点式，直接读出顶点坐标．
【详解】解：∵抛物线可化为，
∴顶点坐标为．
故选：D．
2. 下列函数中表示是的反比例函数的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数的定义．
逐一判断即可．
【详解】解：A．，是的正比例函数，不符合题意；
B．，是的反比例函数，不符合题意；
C．，是的反比例函数，符合题意；
D．，是的反比例函数，不符合题意；
故选：C
3. 已知，则的值为（ ）．
A. 2B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】此题考查了比例的性质．根据比例关系设参数，代入目标表达式直接计算．
详解】解：∵，
∴设，．
∴ ．
故选：A．
4. 反比例函数图象过点，该图象也可能过点（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查求反比例函数的解析式、反比例函数图象上点的坐标特征，正确求得函数解析式是解答的关键．
由点在反比例函数图象上，可求出反比例函数解析式，再验证各选项点是否满足解析式。
【详解】解：设反比例函数的一般形式为，
∵点在图象上，
∴，解得，
∴函数解析式为．
验证选项：
A. ：，该图象不可能过此点，故不符合题意；
B. ：，该图象不可能过此点，故不符合题意；
C. ：，该图象过此点，故符合题意；
D. ：，该图象不可能过此点，故不符合题意；
故选：C．
5. 已知如图，在中，点，，分别是边，，上的点，，，且，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，由得，则可得；再由，，得为平行四边行，由平行四边行的性质得，即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴为平行四边行，
∴，
∴．
故选：A．
6. 二次函数的图像如下：则的值为（ ）

A. B. C. 1D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，通过图象求解析式的参数，解题的关键是掌握二次函数的图象和性质．
根据二次函数的图象和性质进行求解即可．
【详解】解：通过图象可得，
，且，
解得，
故选：B．
7. 在下面网格中，小正方形的边长为1，的顶点都是格点，则的值为（ ）

A. B. C. 5D.
【答案】B
【解析】
【分析】作边上的高，根据算出，由即可求解．
【详解】解：由图可知：,
作边上的高，如图：

则
∴
故选：B
【点睛】本题考查求解一个角的正弦值．将所求角度放在直角三角形中是解题关键．
8. 将方程的两根记为、，方程的两根记为、，则、、、的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了二次函数和一元二次方程的关系，熟练掌握二次函数和一元二次方程的关系以及数形结合的方法是解题的关键．
分别设 ，，两个方程的根即为两个二次函数与直线 的交点，画出图像，即可求解．
【详解】解：设 ，，
将两个函数画在同一个直角坐标系中，如图：
∵方程的两根记为、，方程的两根记为、，
∴由图可知： ．
故选C．
9. 如图，在边长为6的正方形外侧作，且若为的中点，连接并延长交于点，则的长为（ ）
A. 7B. C. D. 8
【答案】B
【解析】
【分析】作于点，交于点，由正方形的性质，，则，，所以，则，而，，可证明，得，因为，所以，求得，所以，则，再证明，得，则，于是得到问题的答案．
【详解】解：作于点，交于点，则，
四边形是边长为6的正方形，
，，
，，
，
，
为的中点，
，
在和中，
（），
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故选：B．
【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的“三线合一”、勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识，正确地添加辅助线是解题的关键．
10. 如图，在中，的高，相交于点，下列结论错误的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】此题主要考查相似三角形的性质与判定，解题的关键是找出所有的相似三角形，从而找到对应边成比例，由于、是的高，利用两组对应角相等，易证，，根据相似三角形中对应边成比例易证只有D不正确．
【详解】解：∵，
又∵，
∴，
∴，即，B选项正确；
又∵
∴，
∴，即，C选项正确；
又∵，
∴
∴，即 ，A选项正确；
∴，
∴，即，
无法证明，
故D选项不正确，
故选：D．
二、填空题（每小题5分，计20分）
11. ______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了特殊值三角函数值的相关计算，熟练掌握特殊值三角函数值是关键．直接代入特殊角的三角函数值进行计算即可．
【详解】解：
．
故答案为：．
12. 在反比例函数图象的每一支曲线上，y都随x的增大而增大，则k的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数的增减性，正确理解反比例函数的增减性是关键．根据反比例函数的性质，当比例系数小于零时，函数在每一象限内随的增大而增大，由此列出不等式求解即可．
【详解】解：在反比例函数图象的每一支曲线上，都随的增大而增大，
比例系数，
解得：．
故答案为：．
13. 已知二次函数的对称轴是直线，与x轴的一个交点坐标是，则另一个交点坐标为________
【答案】
【解析】
【分析】本题考查二次函数的对称性，掌握相关知识是解决问题的关键．根据二次函数的对称性，抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称．
【详解】解：设另一个交点的横坐标为 ，
∵抛物线对称轴是直线 ，与x轴一个交点为 ，且抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，
∴，
解得，
∴另一个交点坐标为 ．
故答案为： ．
14. 如图，正方形中，点F是边上一点，连接，以为对角线作正方形，连接交于H．以下四个结论：①；②；③；④若，则．其中所有正确结论序号是：______．
【答案】①②③
【解析】
【分析】本题主要考查了正方形的性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理，由正方形的性质可得，则由角的和差关系可判断①；利用勾股定理和正方形的性质得到，则可证明，再证明，则可证明，据此可判断②；延长交于点，由相似三角形的性质可得，则可证明，据此可判断③；设，则，，进而得到；求出
；由相似三角形的性质得到，则，证明，得到，则，，据此可判断④．
【详解】解：∵四边形，四边形都是正方形，
∴，，
，
∴，
∴，故①正确；
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，故②正确；
如图所示，延长交于点，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，故③正确；
设，则，
在中，由勾股定理得，
∵，
∴；
由③可知是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴；
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∴，
∴，故④错误；
故答案为：①②③．
三、解答题（15-18每小题8分，19、20每小题10分，21、22每小题12分，23题14分，计90分）
15. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别是，，，以原点O为位似中心，在y轴右侧画出的位似图形（点A、B、C的对应点分别是点、、），使得与的相似比为，并写出点、、的坐标．
【答案】作图见解析；，，
【解析】
【分析】本题主要考查画位似图形，求位似图形的对应坐标，理解题意，掌握位似图形的性质是关键．根据位似图形的性质，得出点A、B、C的对应点、、的坐标，再顺次连接即可．
【详解】解：根据位似图形的性质可得，把点A、B、C的坐标都乘以得到点、、的坐标，
，，．
在平面直角坐标系中，分别描出点、、，再顺次连接即可，如图所示：
16. 如图，被一组对边平行于的矩形所截，被截成三等分，若的面积为27，求图中阴影部分的面积．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了矩形的性质、相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相似三角形的性质是解决问题的关键．先证明，再根据相似三角形的面积比是相似比的平方，即可得出结果．
【详解】解：，
，
被截成三等分，
，，
，
，
图中阴影部分的面积．
17. 如图①是一款手机支架，当手机支架打开时如图②所示，其中，，，求的长．（结果精确到；参考数据：，，）
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形的实际应用，解题的关键是正确构造直角三角形进行求解．
过点作于点，可得是等腰直角三角形，再解求出，再由求解．
【详解】解：过点作于点，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，
答：的长为．
18. 如图，正比例函数与反比例函数的图象交于点和点B．
（1）求的值及点B的坐标；
（2）结合图象，请直接写出当时，不等式的解集．
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，求反比例函数的解析式，反比例函数与不等式问题，熟练掌握反比例函数与一次函数的交点问题及反比例函数与不等式问题是关键．
（1）点代入求解，即可求出的值；由反比例函数的图象关于原点中心对称，即可求得点B的坐标；
（2）根据点A的坐标，结合函数图象求解即可．
【小问1详解】
解：反比例函数的图像过点，
，
解得，
反比例函数的图象关于原点中心对称，
点A与点B关于原点对称，
；
【小问2详解】
解：结合函数图象可知，此时．
19. 如图，抛物线与轴交于点，与轴交于点．
（1）求抛物线对应的函数解析式，并直接写出顶点的坐标；
（2）求的面积．
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的性质、待定系数法、割补法求面积，掌握以上知识点是解题的关键．
（1）将、点的坐标代入解析式即可；
（2）过点作轴交轴于点，利用面积转化即可求解．
【小问1详解】
将、代入解析式，得
，
解得：
∴抛物线解析式为，
∵，
∴顶点．
【小问2详解】
如图，过点作轴交轴于点，则，
．
∴的面积为．
20. 如图，中，，，．点D从A点出发沿射线以的速度移动，点E从C点出发沿射线以的速度移动，若两点同时出发，移动时间为，
（1）用含t的式子表示的长；
（2）经过几秒，与相似？
【答案】（1）当时，；当时，
（2）经过3秒或秒或8秒时，与相似
【解析】
【分析】本题考查了列代数式，相似三角形的性质，采用分类讨论的思想是解此题的关键．
（1）由题意可得，，再分当时，当时，分别表示即可得出结果；
（2）分四种情况：当且时；当且时；当且时；当且时；分别利用相似三角形的性质计算即可得出结果．
【小问1详解】
解：由题意可得，，
∵，，
∴当时，；当时，；
【小问2详解】
解：当且时，则，
即，
解得：；
当且时，则，
即，
解得；
当且时，则，
即，此方程无解；
当且时，则，
即，
解得；
综上所述：经过3或或8秒时，与相似．
21. 在中，点E、F分别在、上，、相交于D．
（1）如图①，当E、F分别为、的中点时，求证：；
（2）如图②，当，时，求．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质、三角形中位线定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键．
（1）连接，证明是的中位线，得出，，从而可得，即可得证；
（2）过点作，交的延长线于点G，设，，则，证明，求出，再证明，即可得出结果．
【小问1详解】
证明：如图，连接，
∵E、F分别为、的中点，
∴是的中位线，
∴，，
∴，
∴．
【小问2详解】
解：如图，过点作，交的延长线于点G，
设，，则，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
22. 通过实验研究发现：初中生在体育课上运动能力指标（以下简称“指标”）随上课时间的变化而变化．上课开始时，学生随着运动，指标开始增加；中间一段时间，指标保持平稳状态；随后随着体力的消耗，指标开始下降．指标y随时间x（分钟）变化的函数图象如图所示，当时，图象是顶点为A的抛物线的一部分；时，图象是线段；当时，图象是双曲线的一部分．
（1）求当和时，图象所对应的函数表达式；
（2）体育老师在一节课上进行某项运动的教学需要16分钟，这项运动需要学生的运动能力指标不低于55才能达到较好的效果，老师的教学设计能实现吗？请说明理由．
【答案】（1）当时的函数解析式为；当时的函数解析式为
（2）老师的教学设计能实现，见解析
【解析】
【分析】本题考查了二次函数和反比例函数的应用，正确理解题意是关键．
（1）设当时的函数解析式为，把代入求解即可；设当时的函数解析式为，把代入求解即可；
（2）将代入，求得，将代入，求得，由，即可判断．
【小问1详解】
解：设当时函数解析式为，
把代入，得，
，
设当时的函数解析式为，
把代入，得，
，
当时的函数解析式为，当时的函数解析式为；
【小问2详解】
解：能实现．
将代入得，
解得，（舍去），
将代入得，
解得，
，
老师的教学设计能实现．
23. 如图，E是矩形的边的中点，于点F，的延长线交于点G，连接，
（1）求证：；
（2）若，，求的长；
（3）求证：．
【答案】（1）见解析 （2）
（3）见解析
【解析】
【分析】（1）根据矩形的性质，得到，结合，即可证明结论；
（2）先证明，得到，结合，可求得，再根据勾股定理，即可求得结果；
（3）延长和交点H，先证明，得到，然后根据直角三角形的性质，得到，由（1），得到，结合，即可证明结论．
【小问1详解】
证明：矩形中，，
，
，
，
；
【小问2详解】
解：，，
，
，
由条件可知，
∴，
解得，
在中，；
【小问3详解】
证明：如图，延长和交点H，
，，，
，
，
，
，
由（1），
，
是矩形的边的中点，
，
，
．
【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握全等三角形的判定与性质及相似三角形的判定与性质是关键．