安徽省六安市金寨县部分学校2025-2026学年九年级上学期1月期末数学试题

这是一份安徽省六安市金寨县部分学校2025-2026学年九年级上学期1月期末数学试题，共34页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 下列函数表达式中，一定是二次函数的是（ ）
A. B. C. D.
2. 已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，有下列5个结论：①4a+2b+c＞0；②abc＜0；③b＜a﹣c；④3b＞2c；⑤a+b＜m（am+b），（m≠1的实数）；其中正确结论的个数为（ ）
A 2个B. 3个C. 4个D. 5个
3. 如图，小亮爸爸想用长为的栅栏围成一个矩形羊圈，羊圈的一边靠墙，另外三边用栅栏围成设矩形与墙垂直的一边长为，面积为，则与的函数关系式是( )
A. B. C. D.
4. 已知抛物线P：，将抛物线P绕原点旋转180°得到抛物线，当时，在抛物线上任取一点M，设点M的纵坐标为t，若，则a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
5. 某品牌汽车将汽车倒车镜设计为整个车身黄金分割点位置（如图），若车头与倒车镜的水平距离为1.58米，倒车镜到车尾部分的水平距离较长，则该车车身总长约为（ ）

A. 4.14米B. 2.56米C. 6.70米D. 3.82米
6. 如图，在中，，点在边上，连接，过点作交于点，的延长线交于点，若，，，求的值（ ）
A. B. C. D. 2
7. 如图，在平面直角坐标系中，已知，，以原点为位似中心，将放大到原来的倍，则点的对应点的坐标是( )

A. B. C. 或D. 或
8. 如图，小明同学用自制的直角三角形纸板测量树的高度，他调整自己的位置，设法使斜边保持水平，并且边与点在同一直线上.已知纸板的两条直角边，，测得边离地面的高度，，则树高是（ ）
A. 4米B. 4.5米C. 5米D. 5.5米
9. 在中，，，，那么等于（ ）
A. B. C. D.
10. 如图，在正方形中，点M为边上一点，，连接，延长交于点N，点F为边上一点，过点C作交于点E，作于点H，交于点G．若，，则的长为（ ）
A. 4B. 5C. 6D. 3
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
11. 如图，已知菱形的面积为5，边在轴上，顶点在反比例函数图象（第一象限的分支）上，则点的坐标是__________．
12. 如图，二次函数Y=-x2-x+2图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，点D（m，n）是抛物线在第二象限的部分上的一动点，则四边形OCDA的面积的最大值是______．
13. 如图，在中，点在边上，将沿着直线翻折得到，点的对应点恰好落在线段上，线段的延长线交边于点，如果，那么的值等于___________．
14. 如图，在中，，，，交于点．点为线段上动点，则的最小值为________．
三、解答题：本题共9小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15. 已知抛物线．
（1）求证：不论为何实数，这个抛物线与轴总有两个交点；
（2）如果有一交点坐标为，求的值．
16. 如图，在中，，，，求的值．

17. 为建设美好公园社区，增强民众生活幸福感，某社区服务中心在文化活动室墙外安装遮阳篷，便于社区居民休憩．如图，在侧面示意图中，遮阳篷长为5米，与水平面的夹角为，且靠墙端离地高为4.4米，当太阳光线与地面的夹角为时．

（1）求遮阳棚边缘点A到墙体的距离；
（2）求阴影的长．
（结果精确到米．参考数据：，，）
18. 已知抛物线与x轴的一个交点为，与y轴的交点为．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求y的最值．
19. 在一次竖直向上抛球游戏中，小球上升的高度与小球抛出后经过的时间满足表达式：，其图象如图1所示．
（1）求小球上升的最大高度；
（2）若竖直向上抛出小球时再给小球一个水平向前的均匀速度，发现小球上升高度与小球抛出后水平距离满足如图2所示的抛物线，其中，而小球上升高度与时间仍满足．
①当 时，求小球上升到最高点时的水平距离x；
②在小球正前方8m处的挡板上有一空隙，其上沿M的高度为3.75m，下沿N的高度为3.2m，若小球下落过程恰好从空隙中穿过（不包括恰好击中点M，N，挡板厚度不计），请求出此时v的取值范围．
20. 如图，一次函数与反比例函数的图像相交于，两点，分别连接．
（1）求这个反比例函数的表达式；
（2）求的面积；
（3）请直接写出自变量的取值范围．
21. 如图，在△ABC中，.以AC为直径的O交AB于点D，交BC于点E.
（1）求证：弧DE=弧CE.
（2）若，，求的值.
22. 平面直角坐标系中，抛物线经过、两点，点、在这条抛物线上，它们的横坐标分别为和．

（1）求这条抛物线的函数关系式；
（2）当时，取值范围是，求的值；
（3）以线段为对角线作矩形，轴（如图）．当矩形与抛物线有且只有三个公共点时，设第三个公共点为，若与矩形的面积之比为，请直接写出的值．
23 （1）问题
如图1，在四边形中，点P为上一点，当时，求证：．
（2）探究
若将角改为锐角（如图2），其他条件不变，上述结论还成立吗？说明理由．
（3）应用
如图3，在中，，，以点A为直角顶点作等腰．点D在上，点E在上，点F在上，且，若，求的长．
安徽金寨县部分学校联考2025-2026学年上学期
九年级1月期末数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 下列函数表达式中，一定是二次函数的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据二次函数的定义：一般地，形如 (a、b、c是常数，)的函数，叫做二次函数进行分析即可．
【详解】解：A、是一次函数，故此选项不符合题意；
B、当时，是二次函数，故此选项不符合题意；
C、是二次函数，故此选项符合题意；
D、分母中含有自变量，不是二次函数，故此选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】此题主要考查了二次函数定义，解题的关键是掌握判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数不为0这个关键条件．
2. 已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，有下列5个结论：①4a+2b+c＞0；②abc＜0；③b＜a﹣c；④3b＞2c；⑤a+b＜m（am+b），（m≠1的实数）；其中正确结论的个数为（ ）
A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个
【答案】B
【解析】
【分析】由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【详解】解：①由对称知，当x＝2时，函数值大于0，即y＝4a+2b+c＞0，故①正确；
②由图象可知：a＜0，b＞0，c＞0，abc＜0，故②正确；
③当x＝1时，y＝a+b+c＞0，即b＞﹣a﹣c，当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＜0，即b＞a+c，故③错误；
④当x＝3时函数值小于0，y＝9a+3b+c＜0，且x＝﹣＝1，
即a＝﹣，代入得9（﹣）+3b+c＜0，得2c＜3b，故④正确；
⑤当x＝1时，y的值最大．此时，y＝a+b+c，
而当x＝m时，y＝am2+bm+c，
所以a+b+c＞am2+bm+c，
故a+b＞am2+bm，即a+b＞m（am+b），故⑤错误．
综上所述，①②④正确．
故选B．
【点睛】本题考查二次函数y=ax2+bx+c系数符号由抛物线开口方向、对称轴和抛物线与y轴的交点、抛物线与x轴交点的个数确定．
3. 如图，小亮爸爸想用长为的栅栏围成一个矩形羊圈，羊圈的一边靠墙，另外三边用栅栏围成设矩形与墙垂直的一边长为，面积为，则与的函数关系式是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的应用，理解题意是解题关键．设矩形与墙垂直的一边长为，面积为，则与墙平行的一边长为，即可得到解析式．
【详解】解：设矩形与墙垂直的一边长为，面积为，
则y与x的函数关系式是，
故选：D．
4. 已知抛物线P：，将抛物线P绕原点旋转180°得到抛物线，当时，在抛物线上任取一点M，设点M的纵坐标为t，若，则a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先求出抛物线的解析式，再列出不等式，求出其解集或，从而可得当x=1时，，有成立，最后求出a的取值范围．
详解】解：∵抛物线P：，将抛物线P绕原点旋转180°得到抛物线，
∴抛物线P与抛物线关于原点对称，
设点（x，y）在抛物线P’上，则点（-x，-y）一定在抛物线P上，
∴
∴抛物线的解析式为，
∵当时，在抛物线上任取一点M，设点M的纵坐标为t，若，
即
令，
∴，
解得：或，
设，
∵开口向下，且与x轴两个交点为（0，0），（4a，0），
即当时，要恒成立，此时，
∴当x=1时，即可，
得：，
解得：，
又∵
∴
故选A
【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．
5. 某品牌汽车将汽车倒车镜设计为整个车身黄金分割点的位置（如图），若车头与倒车镜的水平距离为1.58米，倒车镜到车尾部分的水平距离较长，则该车车身总长约为（ ）

A. 4.14米B. 2.56米C. 6.70米D. 3.82米
【答案】A
【解析】
【分析】设整个车身长为，点C表示倒车镜位置，根据黄金分割确定的长，继而确定车身长，对照选项判断即可．
【详解】解：如图，设整个车身长为，点C表示倒车镜位置，

根据题意，米，
∴米，
∴车长米，
故选A．
【点睛】本题考查了线段的黄金分割点，准确理解黄金分割点的意义并正确计算是解题的关键．
6. 如图，在中，，点在边上，连接，过点作交于点，的延长线交于点，若，，，求的值（ ）
A. B. C. D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查勾股定理，相似三角形的判定与性质，过点作，延长交于点，分别证明和，根据相似三角形的性质可得结论．
【详解】如图，过点作，延长交于点，
在中，，，，
，
，
，
，
，，
，
，
，，
，
，
，
，
故选：A．
7. 如图，在平面直角坐标系中，已知，，以原点为位似中心，将放大到原来的倍，则点的对应点的坐标是( )

A. B. C. 或D. 或
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了位似的性质，熟练掌握位似变换的性质是解题的关键．根据位似变换的性质，给点的坐标分别乘以即可．
【详解】解：由题可知，为位似中心，且相似比为，且，
点的对应点坐标为或，即或．
故选：D．
8. 如图，小明同学用自制的直角三角形纸板测量树的高度，他调整自己的位置，设法使斜边保持水平，并且边与点在同一直线上.已知纸板的两条直角边，，测得边离地面的高度，，则树高是（ ）
A. 4米B. 4.5米C. 5米D. 5.5米
【答案】D
【解析】
【分析】利用直角三角形DEF和直角三角形BCD相似求得BC长后加上小明的身高即可求得树高AB.
【详解】解：∵∠DEF=∠BCD-90° ∠D=∠D
∴△ADEF∽△DCB
∴
∴DE=40cm=0.4m，EF-20cm=0.2m，AC-1.5m，CD=8m
∴解得：BC=4
∴AB=AC+BC=1.5+4=5.5米
故答案为5.5.
【点睛】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是从实际问题中整理出相似三角形的模型．
9. 在中，，，，那么等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查直角三角形中余切值的计算，需根据余切的定义确定邻边与对边的比值即可．
【详解】解：在中，，，，
∴，
故选C．
10. 如图，在正方形中，点M为边上一点，，连接，延长交于点N，点F为边上一点，过点C作交于点E，作于点H，交于点G．若，，则的长为（ ）
A. 4B. 5C. 6D. 3
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了正方形的性质，三角形全等的判定和性质，三角函数的应用，三角形相似的判定和性质，勾股定理，熟练掌握判定和性质，三角函数的应用是解题的关键．
连接，证明，得，，证明，得到，继而求得，，，根据，得到，解答即可．
【详解】解：连接，
∵正方形，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵
∴
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
解得，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵正方形，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得，
故，
故选：B．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
11. 如图，已知菱形的面积为5，边在轴上，顶点在反比例函数图象（第一象限的分支）上，则点的坐标是__________．
【答案】
【解析】
【分析】此题主要考查了反比例函数的图象，菱形的面积．作轴于点，作轴于点，设，在中，利用勾股定理列式，求得，据此求解即可．
【详解】解：作轴于点，作轴于点，
设，且，
∵菱形的面积为5，
∴，
∴，，
在中，，
即，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴点的坐标是，
故答案为：．
12. 如图，二次函数Y=-x2-x+2图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，点D（m，n）是抛物线在第二象限的部分上的一动点，则四边形OCDA的面积的最大值是______．
【答案】8
【解析】
【分析】根据解析式求得点A、C坐标，过点D作DH⊥x轴于点H，运用割补法即可得到：四边形OCDA的面积=△ADH的面积+四边形OCDH的面积，据此列式计算化简就可求得S关于m的函数关系，配方成顶点式可得其最值情况．
【详解】解：在y=-x2-x+2中，当x=0时，y=2，
∴C（0，2），
当y=0时，有-x2-x+2=0，解得：x=-4或x=1，
∴点A（-4，0）、B（1，0），
∵点D（m，n）是抛物线在第二象限的部分上的一动点，
∴D（m，-m2-m+2），
过点D作DH⊥x轴于点H，则DH=-m2-m+2，AH=m+4，HO=-m，
∵四边形OCDA的面积=△ADH的面积+四边形OCDH的面积，
∴S=（m+4）×（-m2-m+2）+（-m2-m+2+2）×（-m），
=-m2-4m+4
=-（m+2）2+8，（-4＜m＜0）；
则m=-2时，S取得最大值，最大值为8，
【点睛】本题主要考查了抛物线与x轴的交点、二次函数的性质等知识的综合应用，运用割补法列出面积的函数解析式是解决问题的关键．
13. 如图，在中，点在边上，将沿着直线翻折得到，点的对应点恰好落在线段上，线段的延长线交边于点，如果，那么的值等于___________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了平行四边形的性质、相似三角形的性质和折叠的性质，构造出正确的辅助线是解决本题的关键．
延长，交于点H，根据题意设，再根据平行四边形的性质得到，进而可得，得，再根据可得，得进而即可得到．
【详解】解：如图，延长，交于点H，
∵，
∴设，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵将沿着直线翻折得到，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
，
，
，，
，
，
，
，
，
设，，
，
，
，
，
故答案为：．
14. 如图，在中，，，，交于点．点为线段上的动点，则的最小值为________．
【答案】
【解析】
【分析】过点P作PH⊥AB于点H，由题意易得BD=4，则有AD=3，然后可得，进而可得即为，若使的值为最小，也就相当于为最小，则有当点C、P、H三点共线时，的值为最小，最后问题可求解．
【详解】解：过点P作PH⊥AB于点H，如图所示：
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
若使的值为最小，也就相当于为最小，
∴当点C、P、H三点共线时，的值为最小，如图所示：
∵，
∴，
∴的最小值为；
故答案为．
【点睛】本题主要考查三角函数及勾股定理，解题的关键是利用“胡不归”模型找到最小值的情况，然后进行求解即可．
三、解答题：本题共9小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15. 已知抛物线．
（1）求证：不论为何实数，这个抛物线与轴总有两个交点；
（2）如果有一交点坐标为，求的值．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）证明判别式即可判断；
（2）把代入即可求得的值．
【小问1详解】
解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴不论为何实数，这个抛物线与轴总有两个交点；
【小问2详解】
把代入抛物线得：，
解得：．
【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，以及抛物线与轴的交点，当时，函数图像与轴有个交点，当时函数图像与轴只有个交点,即顶点在轴上，当时函数图像与轴没有交点．
16. 如图，在中，，，，求的值．

【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查勾股定理，正弦的定义，掌握勾股定理的运用，正弦值的计算方法是解题的关键．
根据题意，运用勾股定理求出的值，再根据正弦的定义即可求解．
【详解】解：，，，
，
．
17. 为建设美好公园社区，增强民众生活幸福感，某社区服务中心在文化活动室墙外安装遮阳篷，便于社区居民休憩．如图，在侧面示意图中，遮阳篷长为5米，与水平面的夹角为，且靠墙端离地高为4.4米，当太阳光线与地面的夹角为时．

（1）求遮阳棚边缘点A到墙体的距离；
（2）求阴影的长．
（结果精确到米．参考数据：，，）
【答案】（1）米
（2）米
【解析】
【分析】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是掌握锐角三角函数的定义，求出相关线段的长度．
（1）过作于，在中，根据余弦定义求出即可；
（2）过作于，在中，根据余弦定义求出，根据矩形的判定与性质可得米，（米），而，知米，故，计算即可．
【小问1详解】
解：如图，过作于，

在中，
（米），
即遮阳棚边缘点A到墙体的距离米；
【小问2详解】
解：过作于，

在中，
（米），
，
四边形是矩形，
米，（米），
在中，
，
米，
（米），
阴影的长约为米．
18. 已知抛物线与x轴的一个交点为，与y轴的交点为．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求y的最值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的解析式，掌握待定系数法以及二次函数的一般式化成顶点式是解答本题的关键.
（1）根据与坐标轴的两个交点，使用待定系数法进行解答即可；
（2）将（1）求得的解析式，化成顶点式即可完成解答；
【小问1详解】
解：由题意得，，
​​​​​​​解得，
∴抛物线的解析式；
【小问2详解】
，，
∴当时，y取最小值为．
19. 在一次竖直向上抛球游戏中，小球上升的高度与小球抛出后经过的时间满足表达式：，其图象如图1所示．
（1）求小球上升的最大高度；
（2）若竖直向上抛出小球时再给小球一个水平向前的均匀速度，发现小球上升高度与小球抛出后水平距离满足如图2所示的抛物线，其中，而小球上升高度与时间仍满足．
①当 时，求小球上升到最高点时的水平距离x；
②在小球正前方8m处的挡板上有一空隙，其上沿M的高度为3.75m，下沿N的高度为3.2m，若小球下落过程恰好从空隙中穿过（不包括恰好击中点M，N，挡板厚度不计），请求出此时v的取值范围．
【答案】（1）5米 （2）①6米；②
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的应用，实际问题常常构建二次函数模型解决实际问题，数形结合是解答本题的关键．
（1）化为顶点式求解即可；
（2）①根据计算即可；
②先分别求出高度为和时所用的时间，再根据即可求出v的临界值，从而求出此时v的取值范围．
【小问1详解】
解：∵，
∵，
∴当时，h取得最大值5，
∴小球上升的最大高度为5米；
【小问2详解】
解：①由（1）知，小球上升到最高点时，
∵，
∴米．
∴小球上升到最高点时的水平距离为6米；
②当时，
，
解得（舍去），，
∴．
当时，
，
解得（舍去），，
∴．
∴此时v的取值范围为．
20. 如图，一次函数与反比例函数的图像相交于，两点，分别连接．
（1）求这个反比例函数的表达式；
（2）求的面积；
（3）请直接写出自变量的取值范围．
【答案】（1）；
（2）；
（3）或．
【解析】
【分析】（）利用一次函数求出点的坐标，再利用待定系数法即可求出反比例函数的表达式；
（）联立函数解析式，求出点坐标，再由一次函数解析式得出点坐标，根据计算即可求解；
（）根据函数图象即可求解；
本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，待定系数法求反比例函数解析式，三角形的面积，求出交点的坐标是解题的关键．
小问1详解】
解：∵一次函数 经过点，
∴，
∴，
∴，
∵反比例函数过点，
∴，
∴反比例函数的解析式为；
【小问2详解】
解：联立函数解析式得，，
解得或，
∴，
∵，
∴；
【小问3详解】
解：由图象可得，当或时，．
21. 如图，在△ABC中，.以AC为直径的O交AB于点D，交BC于点E.
（1）求证：弧DE=弧CE.
（2）若，，求的值.
【答案】（1）详见解析；（2）
【解析】
【分析】（1）连结AE，根据圆周角定理，由AC为⊙O的直径得到∠AEC＝90°，然后利用等腰三角形的性质即可得到BE＝CE，进而利用等腰三角形的性质得出∠BAE＝∠CAE，进而证明即可；
（2）连结DE，证明△BED∽△BAC，然后利用相似比可计算出AB的长，从而得到AC的长．
【详解】（1）连结AE，如图，
∵AC为⊙O的直径，
∴∠AEC＝90°，
∴AE⊥BC，
而AB＝AC，
∴BE＝CE，
∴∠BAE＝∠CAE，
∴弧DE=弧CE.；
（2）连结DE，CD，如图，
∵BE＝CE＝3，
∴BC＝6，
∵∠BED＝∠BAC，
而∠DBE＝∠CBA，
∴△BED∽△BAC，
∴,，即，
∴BA＝9，
∴AC＝BA＝9．
∴AD＝AB−BD＝9−2＝7，
∴DC＝＝4
∴tan∠BAC＝＝.
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形．也考查了角平分线的性质和圆周角定理．
22. 平面直角坐标系中，抛物线经过、两点，点、在这条抛物线上，它们的横坐标分别为和．

（1）求这条抛物线的函数关系式；
（2）当时，的取值范围是，求的值；
（3）以线段为对角线作矩形，轴（如图）．当矩形与抛物线有且只有三个公共点时，设第三个公共点为，若与矩形面积之比为，请直接写出的值．
【答案】（1）
（2）或
（3）或
【解析】
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）分当时，当时，两种情况利用二次函数的性质求解即可；
（3）由函数的定义可知，同一个x的值不可能对应两个不同的y值，则抛物线与矩形的第三个交点不可能在上，即点F只能在或上，然后分图3-1和图3-2两种情况，利用图形面积之间的关系得到点F为或的中点，并且与对应的点关于抛物线对称轴对称，据此讨论求解即可．
【小问1详解】
解：将点，代入，得，
解得：，
∴抛物线的解析式为；
【小问2详解】
解：∵抛物线解析式为，
∴抛物线最小的函数值为，对称轴为直线，函数开口向上，
∵当时，
∴在对称轴的左侧，随值的增大而减小，
∴当时，，当时，，
解得或（舍去）
∴；
当时，最小值为，解得，满足条件．
∴或；
【小问3详解】
解：由函数的定义可知，同一个x的值不可能对应两个不同的y值，
∴抛物线与矩形的第三个交点不可能在上，即点F只能在或上，
如图3-1所示，当点F在上时，
∵，
∴，
∴，
∵点、在这条抛物线上，它们的横坐标分别为和，且四边形是矩形，轴，
∴轴，轴，
∴点D的横坐标为m，
∴点F的横坐标为，
∵轴，
∴C、F关于抛物线对称轴对称，
∴，
解得：；

如图3-2所示，当点F在上时，
同理可得点F的横坐标为，且点F与点A关于抛物线对称轴对称，
∴，
解得；
综上所述，或．
【点睛】本题主要考查了二次函数的综合，待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质等等，利用分类讨论的思想求解是解题的关键．
23. （1）问题
如图1，在四边形中，点P为上一点，当时，求证：．
（2）探究
若将角改为锐角（如图2），其他条件不变，上述结论还成立吗？说明理由．
（3）应用
如图3，在中，，，以点A为直角顶点作等腰．点D在上，点E在上，点F在上，且，若，求的长．
【答案】（1）见解析；（2）成立；理由见解析；（3）5
【解析】
【分析】（1）由可得,即可证到，然后运用相似三角形的性质即可解决问题；
（2）由可得,即可证到，然后运用相似三角形的性质即可解决问题；
（3）证明,求出，再证,可求,进而解答即可．
【详解】解：（1）证明：如图1，
，
，
，
又
，
；
（2）结论仍成立；
理由：如图2，
，
又，
，
，
，
又，
，
；
（3）,
,
,
是等腰直角三角形

是等腰直角三角形
又
即
解得．
【点睛】本题考查相似三角形的综合题，三角形的相似，正切值的求法，能够通过构造角将问题转化为一线三角是解题的关键．