安徽省亳州市2025-2026学年上学期九年级期末数学试卷

这是一份安徽省亳州市2025-2026学年上学期九年级期末数学试卷，共31页。
1．你拿到的试卷满分150分，考试时间为120分钟．
2．本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分．“试题卷”共4页，“答题卷”共6页．
3．请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的．
4．考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回．
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的．
1. 剪纸艺术是最古老中国民间艺术之一，先后入选中国国家级非物质文化遗产名录和人类非物质文化遗产代表作名录．以下剪纸中可以看作是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
2. 若，则的值为（ ）
A. B. C. D.
3. 将抛物线先向左平移3个单位长度，再向下平移3个单位长度后，所得新抛物线的顶点式为（ ）
A. B.
C. D.
4. 在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，以点为圆心，2为半径作， 则点的位置（ ）
A. 在内B. 在上C. 在外D. 不能确定
5. 已知点，点和点在反比例函数的图象上，则的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
6. 标枪是一项技巧与力量相结合的田径运动．在一名运动员投掷标枪后，标枪的飞行路线是一条抛物线．若不考虑空气阻力，标枪的飞行高度（单位：）与水平距离（单位：）之间的函数关系式为，则标枪落地点到运动员的距离为（ ）
A. B. C. D.
7. 如图，在小正方形组成的网格中，每个小正方形的边长为1，经过格点（格点是网格线的交点），点是优弧上的一点，则的值为（ ）
A. B. C. D.
8. 已知二次函数，下列说法不正确的是（ ）
A. 若该二次函数图象经过点，则
B. 该二次函数图象的顶点坐标是
C. 该二次函数的图象与轴的交点坐标为和
D. 若点和都在该函数的图象上，则
9. 如图，在中，，，点在外，且，交延长线于点，，，则的长为（ ）
A. 5B. C. D.
10. 如图，在中，，，，，线段绕点旋转，点为的中点，则的最小值是（ ）
A. 6B. C. D.
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11. 抛物线的顶点坐标为________．
12. 如图，在平面直角坐标系中，点绕原点逆时针旋转的对应点为，则直线对应的函数表达式是________．
13. 刘徽是魏晋时期伟大的数学家，中国古典数学理论的奠基者之一，被誉为“世界古代数学泰斗”，他给出了内切圆直径的多种表达形式．如图，在中，，，，的长分别为10，6，8，则的内切圆直径________．
14. 如图，在中，，，是边上一点，过点作交于点，交于点，且，连接．
（1）______；
（2）的值为______．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15. 计算：．
16. 在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于点，求反比例函数的表达式．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17. 小亮的爸爸是一个钓鱼爱好者，某天，小亮和爸爸一起到一个钓场去钓鱼的时候，发现鱼塘是圆形的，于是小亮就尝试用学过的知识求圆形鱼塘的半径．如图，小亮在鱼塘边上选取了三个点，量得，的长为，点到的距离为，请你帮小亮求出鱼塘的半径．
18. 如图，在边长为1的小正方形网格中建立平面直角坐标系，的顶点均在网格的交点处．
（1）画出绕原点顺时针旋转后得到的，并写出点的坐标；
（2）以点为位似中心，在所给坐标系中作出的位似图形，使新图形与原图形的相似比为2．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19. 根据以下材料，完成任务．
20. 如图，交的边于点，点，在上，是的直径，连接，，，．
（1）若，求的度数；
（2）若，求证：是的切线．
六、（本题满分12分）
21. 【教材呈现】下面是沪科版九年级数学教材上册第92页第15题的内容：
【解题思路】胡老师为了给同学们提供解题思路，先向学生提供了如下问题：在题目所给的条件下，求证：．请你解决胡老师提出的问题；
【结论应用】利用【解题思路】中的结论，解决教材中的问题．
七、（本题满分12分）
22. 如图，已知抛物线经过点，原点和轴上另一点，它的对称轴与轴交于点．
（1）求此抛物线函数表达式；
（2）连接，在抛物线的对称轴上找一点，使得．
①求点的坐标；
②当点在轴上方时，求的值．
八、（本题满分14分）
23. 综合与实践：
【实践操作】如图1，在中，，．点外一点，连接，将线段绕点按逆时针方向旋转，旋转角为，得到线段，连接，，．
【探究发现】试证明：；
【性质应用】如图2，点为正方形内一点，连接，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，连接，，，求出与之间的数量关系；
【拓展延伸】如图3，当时，点在的延长线上，连接，将线段绕点按逆时针向旋转，得到线段，连接，．求的值．
材料1
如图，幸福村村口有棵大树，平时是居民喜欢的一个聚集地
材料2
小明画出了大树的侧面示意图，经过测量，点距离地面，与水平面的夹角为
材料3
当太阳光线与地面的夹角为时，阴影的长约为
任务1
求出大树树枝的边缘点到树干的距离
任务2
求出大树的树枝的长度（保留整数）
备注
参考数据：
如图，在中，的平分线为，交于点，若，，求的值．
九年级数学
（沪科版）
注意事项：
1．你拿到的试卷满分150分，考试时间为120分钟．
2．本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分．“试题卷”共4页，“答题卷”共6页．
3．请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的．
4．考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回．
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的．
1. 剪纸艺术是最古老的中国民间艺术之一，先后入选中国国家级非物质文化遗产名录和人类非物质文化遗产代表作名录．以下剪纸中可以看作是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了中心对称图形的概念，根据如果一个图形绕某一点旋转180°后能够与自身重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心，解答本题即可．
【详解】解：A、该图形不是中心对称图形，不符合题意；
B、该图形是中心对称图形，符合题意；
C、该图形不是中心对称图形，不符合题意；
D、该图形不是中心对称图形，不符合题意；
故选：B．
2. 若，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了比例的性质．
由条件可得，代入所求表达式化简．
【详解】解：∵，
∴，
则．
故选：C．
3. 将抛物线先向左平移3个单位长度，再向下平移3个单位长度后，所得新抛物线的顶点式为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的平移．
根据抛物线平移规则“左加右减，上加下减”，对原函数进行平移，即可得到新抛物线的顶点式．
【详解】解：将抛物线先向左平移3个单位长度，得到；
再向下平移3个单位长度，得到．
故选：B．
4. 在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，以点为圆心，2为半径作， 则点的位置（ ）
A. 在内B. 在上C. 在外D. 不能确定
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了点与圆的位置关系．
通过计算点B到圆心A的距离，与半径比较，判断点B与圆的位置关系．
【详解】解：∵点A坐标为，点B坐标为，
∴，
∵的半径为2，且，
∴半径，
∴点B外．
故选：C．
5. 已知点，点和点在反比例函数的图象上，则的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数值的大小比较．
将点，点和点代入反比例函数，求出的值，进而根据判断即可．
【详解】解：∵，，
∴，，．
∵，
∴，，．
∵，
∴，
∴，
即．
综上，．
故选：D．
6. 标枪是一项技巧与力量相结合的田径运动．在一名运动员投掷标枪后，标枪的飞行路线是一条抛物线．若不考虑空气阻力，标枪的飞行高度（单位：）与水平距离（单位：）之间的函数关系式为，则标枪落地点到运动员的距离为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的应用．
标枪落地时高度，解方程求x的值，即落地点到运动员的距离．
【详解】解：标枪落地时，
当时，
方程两边同乘39得
两边同乘：
因式分解得：
∴或
解得：（舍去负值），
故标枪落地点到运动员的距离为．
故选：B．
7. 如图，在小正方形组成的网格中，每个小正方形的边长为1，经过格点（格点是网格线的交点），点是优弧上的一点，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了解直角三角形，勾股定理，圆的概念及性质，构造直角三角形是解题的关键．连接，则，根据得出，即可求解．
【详解】解：连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
，
故选：A．
8. 已知二次函数，下列说法不正确的是（ ）
A. 若该二次函数的图象经过点，则
B. 该二次函数图象的顶点坐标是
C. 该二次函数的图象与轴的交点坐标为和
D. 若点和都在该函数的图象上，则
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．根据二次函数的图象与性质逐项判断即可．
【详解】解：A、将点 代入，，，该选项说法正确，不符合题意；
B、顶点横坐标，纵坐标 ，顶点坐标为，该选项说法正确，不符合题意；
C、令，得，即，解得或，二次函数的图象与轴交点为和，该选项说法正确，不符合题意；
D、，，当时，；当时，，该选项说法不正确，符合题意；
故选：D．
9. 如图，在中，，，点在外，且，交延长线于点，，，则的长为（ ）
A. 5B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形，勾股定理，相似三角形的判定与性质，过点作于点，解直角三角形得出，结合勾股定理可得，从而得出，，证明，由相似三角形的性质计算即可得出结果，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解：如图，过点作于点，
，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴（负值舍去），
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
故选：D．
10. 如图，在中，，，，，线段绕点旋转，点为的中点，则的最小值是（ ）
A. 6B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了三角形中位线定理，解直角三角形，勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
作的中点Q，连接，作以Q为圆心，长为半径的圆，由中位线定理得出，从而可得线段绕点旋转时，点在以为圆心，为半径的圆上移动，故当直线经过点时，的值最小，解直角三角形得出，从而可得，结合勾股定理可得，即可得出结果．
【详解】解：如图，作的中点Q，连接，作以Q为圆心，长为半径的圆，
∵是的中点，是的中点，
∴是的中位线，
∴，
∴线段绕点旋转时，点在以为圆心，为半径的圆上移动，
∴当直线经过点时，的值最小，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴（负数不合题意，舍去），
∴最小值为．
故选：C．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11. 抛物线的顶点坐标为________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了抛物线顶点式的性质，对于顶点式 ，顶点坐标为．
直接根据顶点式作答即可．
【详解】解：抛物线的顶点坐标为．
故答案为：．
12. 如图，在平面直角坐标系中，点绕原点逆时针旋转的对应点为，则直线对应的函数表达式是________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了坐标与图形—旋转变换，求正比例函数的解析式，由旋转的性质可得点的坐标为，再利用待定系数法计算即可得出结果，熟练掌握旋转的性质是解此题的关键．
【详解】解：∵点绕原点逆时针旋转的对应点为，
∴点的坐标为，
设直线对应的函数表达式是，
将代入解析式可得，
解得，
∴直线对应的函数表达式是，
故答案为：．
13. 刘徽是魏晋时期伟大的数学家，中国古典数学理论的奠基者之一，被誉为“世界古代数学泰斗”，他给出了内切圆直径的多种表达形式．如图，在中，，，，的长分别为10，6，8，则的内切圆直径________．
【答案】4
【解析】
【分析】本题考查了切线的性质，三角形面积公式，过点分别作于点，于点，于点，连接、、，则，再由计算即可得出结果，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解：如图，过点分别作于点，于点，于点，连接、、，
，
则，
∵，
∴，
∵，，的长分别为10，6，8，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
14. 如图，在中，，，是边上一点，过点作交于点，交于点，且，连接．
（1）______；
（2）的值为______．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】（）由，，得，又，，则，所以，，，得，则有，从而可得，所以，从而，
（），，得，由（）知平分，所以，通过勾股定理，即，所以，，然后代入即可求解．
【详解】解：（）∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：；
（）∵，，
∴，
由（）知平分，于点，于点，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了解直角三角形，平行线的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，角平分线的性质等知识，掌握知识点的应用是解题的关键．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15. 计算：．
【答案】2
【解析】
【分析】本题考查了特殊角的三角函数值．
先计算三角函数、绝对值，再计算乘法，最后计算加减即可．
【详解】解：
．
16. 在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于点，求反比例函数的表达式．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了一次函数与反比例函数交点问题．
根据一次函数的图象经过点求出，即，代入计算即可．
【详解】解：∵一次函数的图象经过点，
∴，
∴，
∴，
∵在反比例函数的图象上，
∴，
∴反比例函数的表达式为．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17. 小亮的爸爸是一个钓鱼爱好者，某天，小亮和爸爸一起到一个钓场去钓鱼的时候，发现鱼塘是圆形的，于是小亮就尝试用学过的知识求圆形鱼塘的半径．如图，小亮在鱼塘边上选取了三个点，量得，的长为，点到的距离为，请你帮小亮求出鱼塘的半径．
【答案】鱼塘的半径为
【解析】
【分析】该题考查了垂径定理应用，勾股定理，如图，连接，设交于点，根据，得出，垂径定理得出，，设，根据勾股定理列出方程求解即可．
【详解】解：如图，连接，设交于点，
根据题意可得，
∵，
∴，
∴，
∴，
设，
则有，
解得．
故鱼塘的半径为．
18. 如图，在边长为1的小正方形网格中建立平面直角坐标系，的顶点均在网格的交点处．
（1）画出绕原点顺时针旋转后得到的，并写出点的坐标；
（2）以点为位似中心，在所给坐标系中作出的位似图形，使新图形与原图形的相似比为2．
【答案】（1）图见详解，
（2）见解析
【解析】
【分析】本题考查作图旋转变换、位似变换．
（1）根据旋转的性质作图，即可得出答案．
（2）根据位似的性质作图即可．
【小问1详解】
解：如图，即为所求，．
【小问2详解】
解： 如图，即为所求．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19. 根据以下材料，完成任务．
【答案】（1）树枝的边缘点到树干的距离为；（2）树枝的长约为
【解析】
【分析】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是掌握锐角三角函数的定义，求出相关线段的长度．
（1）如图，过点作，垂足为，由题意，得，根据，得出，结合，得出，作于点，则四边形是矩形，得出，即可解答；
（2）在中，根据，，，求解即可．
【详解】解：（1）如图，过点作，垂足为，由题意，得，
∵，
∴，
又，
∴，
作于点，
则四边形是矩形，
∴．
即树枝的边缘点到树干的距离为；
（2）在中，，，
∴，
∴树枝的长约为．
20. 如图，交的边于点，点，在上，是的直径，连接，，，．
（1）若，求的度数；
（2）若，求证：是的切线．
【答案】（1）
（2）见解析
【解析】
【分析】本题考查了圆周角定理、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、证明直线是圆的切线，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）连接，，由圆周角定理可得，证明，从而可得，由全等三角形的性质可得，即可得出结果；
（2）证明，得出，即可得证．
【小问1详解】
解：如图，连接，，
，
∵是的直径，
∴，
∵，，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴；
【小问2详解】
解：∵，，，
∴，
又，
∴，
∴，
∵是的半径，
∴是的切线．
六、（本题满分12分）
21. 【教材呈现】下面是沪科版九年级数学教材上册第92页第15题的内容：
【解题思路】胡老师为了给同学们提供解题思路，先向学生提供了如下问题：在题目所给条件下，求证：．请你解决胡老师提出的问题；
【结论应用】利用【解题思路】中的结论，解决教材中的问题．
【答案】【解题思路】：见解析；【结论应用】：
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定，平行线分线段成比例定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
【解题思路】：过点作，交的延长线于点，由得出，，，结合角平分线的定义可得，从而得出，即可得出结果；
【结论应用】：证明，得出，即可得出结果．
【详解】【解题思路】：解：如图，过点作，交的延长线于点，
∵，
∴，，，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
【结论应用】：解：∵，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
七、（本题满分12分）
22. 如图，已知抛物线经过点，原点和轴上另一点，它的对称轴与轴交于点．
（1）求此抛物线的函数表达式；
（2）连接，在抛物线的对称轴上找一点，使得．
①求点的坐标；
②当点在轴上方时，求的值．
【答案】（1）
（2）①，；②
【解析】
【分析】本题考查了求二次函数的解析式，二次函数的图象与性质，解直角三角形，勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）由题意可得，抛物线的对称轴为直线，从而得出，设抛物线的表达式为，再利用待定系数法计算即可得出结果；
（2）①过点作轴于点．由题意可得，，由勾股定理可得，从而可得，即可得出结果；②当点在轴上方时，由①知点的坐标为，过点作垂直于对称轴于点，则点的坐标为，求出，再由正弦的定义计算即可得出结果．
【小问1详解】
解：由题意可得，抛物线的对称轴为直线，
∵抛物线经过点，原点和轴上另一点，
∴，
设抛物线的表达式为，
∵抛物线过点，
∴，
解得，
∴抛物线的表达式为；
【小问2详解】
解：①如图，过点作轴于点．
∵点坐标为，点坐标为，
∴，，
∴，
∴，
∵点在抛物线的对称轴上，
∴，；
②当点在轴上方时，由①知点的坐标为，
如图，过点作垂直于对称轴于点，则点的坐标为，
∴，，
∴，
∴．
八、（本题满分14分）
23. 综合与实践：
【实践操作】如图1，在中，，．点是外一点，连接，将线段绕点按逆时针方向旋转，旋转角为，得到线段，连接，，．
【探究发现】试证明：；
【性质应用】如图2，点为正方形内一点，连接，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，连接，，，求出与之间数量关系；
【拓展延伸】如图3，当时，点在的延长线上，连接，将线段绕点按逆时针向旋转，得到线段，连接，．求的值．
【答案】探究发现：见解析；性质应用：；拓展延伸：
【解析】
【分析】【探究发现】：由等边对等角并结合三角形内角和定理可得，证明，得出，从而可得，再证明，即可得出；
【性质应用】：连接，由正方形的性质可得，，
又，，从而得出，，，再证明，即可得出结果；
【拓展延伸】：由等边对等角并结合三角形内角和定理可得，解直角三角形得出，再证明，得出，设交于点，求出，即可得出结果
【详解】【探究发现】证明：∵，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
又，
∴，
∴；
【性质应用】：解：如图2，连接，
∵四边形为正方形，
∴，，
又，，
∴，，，
∴，，
∴，
∴；
【拓展延伸】：解：∵，，，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
如图3，设交于点，
，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、解直角三角形、等腰三角形的判定与性质、正方形的性质、三角形内角和定理、旋转的性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．材料1
如图，幸福村村口有棵大树，平时是居民喜欢的一个聚集地
材料2
小明画出了大树的侧面示意图，经过测量，点距离地面，与水平面的夹角为
材料3
当太阳光线与地面的夹角为时，阴影的长约为
任务1
求出大树的树枝的边缘点到树干的距离
任务2
求出大树的树枝的长度（保留整数）
备注
参考数据：
如图，在中，的平分线为，交于点，若，，求的值．