人教版2024-2025年全国九年级数学中考真题汇编 1.2 代数式与整式

这是一份人教版2024-2025年全国九年级数学中考真题汇编 1.2 代数式与整式，共45页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题
1．（2025·海南）当x=2时，代数式2x−3的值为（ ）
A．1B．7C．−1D．−5
2．（2024·西藏）若x与y互为相反数，z的倒数是−3，则2x+2y−3z的值为（ ）
A．−9B．−1C．9D．1
3．（2024·广西）如果a+b=3，ab=1，那么a3b+2a2b2+ab3的值为（ ）
A．0B．1C．4D．9
4．（2025·湖南长沙）智慧农业广泛应用智能机器人．某品牌智能机器人的一个机械手平均每分钟采摘10个苹果．若该机器人搭载m个机械手（m>1），则该机器人平均每分钟采摘的苹果个数为（ ）
A．6mB．m+10C．60mD．10m
5．（2025·上海）用代数式表示a与b差的平方，正确的是（ ）
A．a2−b2B．a−b2C．a2−bD．a−b2
6．（2025·云南）按一定规律排列的代数式：a，3a，5a，7a，9a，…，第n个代数式是（ ）
A．2n−1aB．2n+1aC．n+1aD．2025a
7．（2024·云南）按一定规律排列的代数式：2x，3x2，4x3，5x4，6x5，⋯，第n个代数式是（ ）
A．2xnB．n−1xnC．nxn+1D．n+1xn
8．（2025·海南）下列运算结果为m5的是（ ）
A．m2⋅m3B．m23C．m2+m3D．m9−m4
9．（2025·江苏无锡）下列运算正确的是（ ）
A．a2+a4=a6B．a2⋅a4=a6
C．a24=a6D．a4÷a=a4
10．（2025·山东济南）下列运算正确的是（ ）
A．m2⋅m3=m5B．m6÷m2=m3
C．2m+3n=5mnD．m23=m5
11．（2025·四川广元）下列运算正确的是（ ）
A．x2÷x−3=x5B．2x2+3x3=5x5
C．xy32=x2y5D．x−y2=x2−y2
12．（2025·宁夏）下列运算正确的是（ ）
A．a2+a2=a4B．a2⋅a3=a6
C．a−22=a2−4D．a2b2=a4b2
13．（2025·江苏徐州）下列运算正确的是（ ）
A．3a2−2a2=1B．a23=a5C．3a2=6a2D．a2⋅a4=a6
14．（2025·山东青岛）下列计算正确的是（ ）
A．x2+x3=x5B．x2⋅x3=x6C．2xy2=2x2y2D．x8÷x4=x4
15．（2025·江苏宿迁）下列计算结果为a3的是（ ）
A．a+a2B．a23C．a⋅a2D．a9÷a3
16．（2025·四川资阳）下列计算正确的是（ ）
A．a+2a=2a2B．3b−b=3C．b32=b6D．a3⋅a4=a12
17．（2025·黑龙江）下列运算正确的是（ ）
A．a4⋅a3=a6B．2a+3b=6ab
C．−2a2b33=−8a6b9D．−a+ba+b=a2−b2
18．（2025·山西）下列运算正确的是（ ）
A．2a+3b=5abB．m2⋅m4=m6
C．(a−b)2=a2−b2D．2m23=6m6
19．（2025·上海）下列代数式中，计算正确的是（ ）
A．m3+m3=2m3B．m3+m3=m6
C．m3⋅m3=m9D．m33=m6
20．（2025·青海）下列计算正确的是（ ）
A．2x+3x=5x2B．x2·x3=x6
C．(2x)3=6x3D．x6÷x2=x4
21．（2025·湖南长沙）下列运算正确的是（ ）
A．2a+a2=2a3B．6a2b+a=6b
C．ab7=a7b7D．19−6=13
22．（2025·辽宁）下列计算正确的是（ ）
A．m+3m=4m2B．2m⋅3m=5m2
C．mn2=mn2 D．m23=m6
23．（2025·吉林长春）下列计算一定正确的是（ ）
A．a+2a=3aB．a⋅a2=a2
C．a+a=a2D．2a2=2a2
24．（2024·山西）下列运算正确的是（ ）
A．2m+n=2mnB．m6÷m2=m3
C．−mn2=−m2n2D．m2⋅m3=m5
25．（2024·江苏淮安）下列计算正确的是（ ）
A．a⋅a3=a4B．a2+a3=a5C．a6÷a=a6D．a34=a7
26．（2024·西藏）下列运算正确的是（ ）
A．x−2x=xB．x(x+3)=x2+3
C．−2x23=−8x6D．3x2⋅4x2=12x2
27．（2024·山东德州）下列运算正确的是（ ）
A．a2+a2=a4B．aa+1=a2+1
C．a2⋅a4=a6D．a−12=a2−1
28．（2024·江苏徐州）下列运算正确的是（ ）
A．x3+x3=x6B．x3·x9=x27C．x23=x5D．x3÷x=x2
29．（2024·山东青岛）下列计算正确的是（ ）
A．a+2a=3a2B．a5÷a2=a3
C．(−a)2⋅a3=−a5D．2a32=2a6
30．（2024·宁夏）下列运算正确的是（ ）
A．x3+x2=x5B．2−1=12C．(3x)2=6x2D．−5−3=−2
31．（2024·江苏镇江）下列运算中，结果正确的是（ ）
A．m3⋅m3=m6B．m3+m3=m6C．m32=m5D．m6÷m2=m3
32．（2024·山东济南）下列运算正确的是（ ）
A．3x+3y=6xyB．xy23=xy6C．3x+8=3x+8D．x2⋅x3=x5
33．（2024·江苏宿迁）下列运算正确的是（ ）
A．a2+a3=2a5B．a4⋅a2=a6C．a3÷a=a3D．ab23=a3b5
34．（2025·江苏无锡）分解因式a3−4a的结果是（ ）
A．aa2+4B．aa−4
C．aa+2a−2D．aa2−1
35．（2024·四川巴中）下列运算正确的是（ ）
A．3a+b=3abB．a3⋅a2=a5
C．a8÷a2=a4a≠0D．a−b2=a2−b2
36．（2024·四川雅安）下列运算正确的是（ ）
A．a+3b=4abB．a23=a5C．a3⋅a2=a6D．a5÷a=a4
37．（2024·辽宁）下列计算正确的是（ ）
A．a2+a3=2a5B．a2⋅a3=a6C．a23=a5D．a(a+1)=a2+a
38．（2024·山东泰安）下列运算正确的是（ ）
A．2x2y−3xy2=−x2yB．4x8y2÷2x2y2=2x4
C．x−y−x−y=x2−y2D．x2y32=x4y6
39．（2024·内蒙古通辽）下列运算结果正确的是（ ）
A．4xy−3xy=1B．−a23=−a6
C．(−5)2=−5D．3+12=15
40．（2025·四川南充）下列计算正确的是（ ）
A．2a+a=3B．2a−a=2
C．2a⋅a=2a2D．2a÷a=2a
41．（2025·山东东营）下列计算正确的是（ ）．
A．4a3−3a2=aB．a−b2=a2−b2
C．a3⋅a4=a12D．a−4÷a−6=a2
42．（2025·甘肃）下列计算正确的是（ ）
A．2a2+3a2=6a2B．a6÷a2=a3C．a23=a5D．3a2=9a2
43．（2025·黑龙江齐齐哈尔）下列计算正确的是（ ）
A．3x2=9x2B．5x⋅2x=10x
C．x6÷x2=x3D．x−22=x2−4
二、填空题
44．（2025·吉林长春）已知x2+2x=4，则代数式7−x2−2x的值为 ．
45．（2025·江苏苏州）若y=x+1，则代数式2y−2x−3的值为 ．
46．（2025·江苏扬州）若a2−2b+1=0，则代数式2a2−4b+3的值是 ．
47．（2025·四川内江）已知实数a，b满足a+b=2，则a2−b2+4b= ．
48．（2024·江苏徐州）若mn=2，m−n=1，则代数式m2n−mn2的值是 ．
49．（2024·广东广州）若a2−2a−5=0，则2a2−4a+1= ．
50．（2024·江苏苏州）若a=b+2，则b−a2= ．
51．（2024·四川广安）若x2−2x−3=0，则2x2−4x+1= ．
52．（2024·四川）已知x2+2x=3，那么2x2+4x−5的值是 ．
53．（2024·新疆）若每个篮球30元，则购买n个篮球需 元．
54．（2024·四川雅安）如图是1个纸杯和若干个叠放在一起的纸杯的示意图，在探究纸杯叠放在一起后的总高度H与杯子数量n的变化规律的活动中，我们可以获得以下数据（字母），请选用适当的字母表示H= ．
①杯子底部到杯沿底边的高h；②杯口直径D；③杯底直径d；④杯沿高a．
55．（2025·内蒙古）冰糖葫芦是我国传统小吃，若大串冰糖葫芦每根穿5个山楂，小串冰糖葫芦每根穿3个山楂，则穿m根大串和n根小串冰糖葫芦需要的山楂总个数用代数式表示为 ．
56．（2025·山西）近年来，我省依托乡村e镇建设，打造农村电商新产业，提高了农民收入．某农户通过网上销售传统手工艺品布老虎，利润由原来的每个20元增加到80元．该农户通过网上售出a个布老虎，则他的利润增加了 元（用含a的代数式表示）．
57．（2025·四川广安）一种商品每件标价为a元，按标价的8折出售，则每件商品的售价是 元．
58．（2025·河南）观察2x,4x2,6x3,8x4,⋯，根据这些式子的变化规律，可得第n个式子为 ．
59．（2025·江苏扬州）清代扬州数学家罗士琳痴迷于勾股定理的研究，提出了推算勾股数的“罗士琳法则”．法则的提出，不仅简化了勾股数的生成过程，也体现了中国传统数学在数论领域的贡献．由此法则写出了下列几组勾股数：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41；……根据上述规律，写出第⑤组勾股数为 ．
60．（2024·宁夏）观察下列等式：
第1个：1×2−2=22×0
第2个：4×3−3=32×1
第3个：9×4−4=42×2
第4个：16×5−5=52×3
按照以上规律，第n个等式为 ．
61．（2024·吉林长春）单项式−2a2b的系数是 ．
62．（2024·江西）观察a，a2，a3，a4，…，根据这些式子的变化规律，可得第100个式子为 ．
63．（2024·山东泰安）单项式−3ab2的次数是 ．
64．（2025·江苏无锡）请写出单项式a2b的一个同类项： ．
65．（2025·吉林长春）写出ab的一个同类项： ．
66．（2024·黑龙江哈尔滨）定义新运算：a※b=ab+b2，则2m※m的运算结果是 ．
67．（2025·江苏宿迁）分解因式：x2−4=
68．（2025·江苏南通）分解因式am+a= ．
69．（2025·甘肃兰州）因式分解：2x2+4x+2= ．
70．（2025·北京）分解因式：7m2−28= ．
71．（2025·黑龙江绥化）分解因式：2mx2−4mxy+2my2= ．
72．（2025·甘肃甘南）分解因式：x3−x= ．
73．（2025·四川成都）多项式4x2+1加上一个单项式后，能成为一个多项式的平方，那么加上的单项式可以是 （填一个即可）．
74．（2025·山东东营）分解因式：2m3−12m2+18m= ．
75．（2025·山东烟台）因式分解：2x2−12xy+18y2= ．
76．（2025·广东）因式分解：a2b+ab2= ．
77．（2024·江苏常州）分解因式：x2−4xy+4y2= ．
78．（2024·西藏）分解因式：x2−4x+4= ．
79．（2024·山东淄博）若多项式4x2−mxy+9y2能用完全平方公式因式分解，则m的值是 ．
80．（2024·四川凉山）已知a2−b2=12，且a−b=−2，则a+b= ．
81．（2025·四川自贡）若2a+b=−1，则4a2+2ab−b的值为 ．
82．（2024·山东东营）因式分解：2x3−8x= ．
83．（2024·江苏淮安）分解因式：a2−16= ．
84．（2024·山东德州）分解因式∶x2−4= ．
85．（2024·山东潍坊）将连续的正整数排成如图所示的数表．记ai,j为数表中第i行第j列位置的数字，如a1,2=4，a3,2=8，a5,4=22．若am,n=2024，则m= ，n= ．
三、解答题
86．（2025·湖南）先化简，再求值：x+2x−2+x1−x，其中x=6．
87．（2024·青海西宁）先化简，再求值：(3a−1)2−2a(4a−1)，其中a满足a2−4a+3=0．
88．（2024·山东济宁）先化简，再求值：
x(y−4x)+(2x+y)(2x−y)，其中x=12，y=2．
89．（2024·湖南长沙）先化简，再求值：2m−mm−2+m+3m−3，其中m=52．
90．（2024·四川南充）先化简，再求值：(x+2)2−x3+3x÷x，其中x=−2．
91．（2025·江苏扬州）计算：
(1)12−2cs30°+π+10；
(2)aa+2−a3÷a．
92．（2025·黑龙江齐齐哈尔）（1）计算：9−1−2+2sin45°−13−2
（2）分解因式：2x3−8x
93．（2024·黑龙江齐齐哈尔）(1)计算：4+−4cs60°−π−50+12−2
(2)分解因式：2a3−8ab2
94．（2025·宁夏）定义：若一个三位数的十位数字减去个位数字的差恰好等于百位数字，则这个三位数叫做“极差数”．例如，三位数231，因为3−1=2，所以它是“极差数”．
【理解定义】
三位数265是否为“极差数”？___________．
【建模推理】
（1）设一个“极差数”的百位、十位、个位数字分别为a,b,c，则a与b,c的关系式为___________；
（2）任意一个“极差数”都能被11整除吗？为什么？
95．（2024·陕西）计算：x−1x+2−3x−1．
96．（2024·江苏常州）先化简，再求值：x+12−xx+1，其中x=3−1．
97．（2025·四川乐山）先化简，再求值：(x+3)2+3x(x−2)，其中x=12．
98．（2025·甘肃兰州）计算： a+2a−2+a3−a．
99．（2024·安徽）数学兴趣小组开展探究活动，研究了“正整数N能否表示为x2−y2（x，y均为自然数）”的问题．
(1)指导教师将学生的发现进行整理，部分信息如下（n为正整数）：
按上表规律，完成下列问题：
（ⅰ）24=（ ）2−（ ）2；
（ⅱ）4n=______；
(2)兴趣小组还猜测：像2，6，10，14，⋯这些形如4n−2（n为正整数）的正整数N不能表示为x2−y2（x，y均为自然数）．师生一起研讨，分析过程如下：
阅读以上内容，请在情形②的横线上填写所缺内容．
参考答案与解析
一、选择题
1．（2025·海南）当x=2时，代数式2x−3的值为（ ）
A．1B．7C．−1D．−5
【答案】A
【分析】本题考查了已知字母的值，求代数式的值，解题关键是掌握求代数式的值．
将字母代入代数式计算出结果即可．
【详解】解：当x=2时，
2x−3=2×2−3=4−3=1，
所以代数式2x−3的值为1，
故选：A．
2．（2024·西藏）若x与y互为相反数，z的倒数是−3，则2x+2y−3z的值为（ ）
A．−9B．−1C．9D．1
【答案】D
【分析】本题考查了相反数、倒数、求代数式的值，根据相反数和倒数的定义得出x+y=0，z=−13，将式子变形为2x+y−3z，整体代入计算即可得解，熟练掌握相反数、倒数的定义是解此题的关键．
【详解】解：∵x与y互为相反数，z的倒数是−3，
∴x+y=0，z=−13，
∴2x+2y−3z=2x+y−3z=2×0−3×−13=0+1=1，
故选：D．
3．（2024·广西）如果a+b=3，ab=1，那么a3b+2a2b2+ab3的值为（ ）
A．0B．1C．4D．9
【答案】D
【分析】本题考查因式分解，代数式求值，先将多项式进行因式分解，利用整体代入法，求值即可．
【详解】解：∵a+b=3，ab=1，
∴a3b+2a2b2+ab3=aba2+2ab+b2
=aba+b2
=1×32
=9；
故选D．
4．（2025·湖南长沙）智慧农业广泛应用智能机器人．某品牌智能机器人的一个机械手平均每分钟采摘10个苹果．若该机器人搭载m个机械手（m>1），则该机器人平均每分钟采摘的苹果个数为（ ）
A．6mB．m+10C．60mD．10m
【答案】D
【分析】本题主要考查了列代数式，每个机械手每分钟采摘10个苹果，m个机械手同时工作时，总采摘数为每个机械手的效率之和．
【详解】解：当机器人搭载m个机械手时，总效率为每个机械手效率的累加，即：总采摘数=10×m=10m，
故选：D．
5．（2025·上海）用代数式表示a与b差的平方，正确的是（ ）
A．a2−b2B．a−b2C．a2−bD．a−b2
【答案】B
【分析】本题考查了列代数式，理解题中的数量关系是解题的关键； “a与b差的平方”指先求a减b的差，再将这个差整体平方，即a−b2．
【详解】解：A. a2−b2：这是平方差公式的结果，表示a的平方减去b的平方，而非差的平方，错误，不符合题意；
B. a−b2：表示先求差再平方，正确，符合题意；
C. a2−b：仅对a平方后减去b，未对差整体平方，错误，不符合题意；
D. a−b2：表示a减去b的平方，运算顺序错误，错误，不符合题意；
故选：B．
6．（2025·云南）按一定规律排列的代数式：a，3a，5a，7a，9a，…，第n个代数式是（ ）
A．2n−1aB．2n+1aC．n+1aD．2025a
【答案】A
【分析】本题主要考查了与单项式有关的规律探索，观察可知，每一个代数式都是只含有字母a的单项式，其中系数是从1开始的连续的奇数，据此规律求解即可．
【详解】解：第1个代数式为a，
第2个代数式为3a，
第3个代数式为5a，
第4个代数式为7a，
第5个代数式为9a，
……，
以此类推，可知，第n个代数式是2n−1a，
故选：A．
7．（2024·云南）按一定规律排列的代数式：2x，3x2，4x3，5x4，6x5，⋯，第n个代数式是（ ）
A．2xnB．n−1xnC．nxn+1D．n+1xn
【答案】D
【分析】本题考查了数列的规律变化，根据数列找到变化规律即可求解，仔细观察和总结规律是解题的关键．
【详解】解：∵按一定规律排列的代数式：2x，3x2，4x3，5x4，6x5，⋯，
∴第n个代数式是n+1xn，
故选：D．
8．（2025·海南）下列运算结果为m5的是（ ）
A．m2⋅m3B．m23C．m2+m3D．m9−m4
【答案】A
【分析】本题考查了同底数幂相乘、幂的乘方及合并同类项的运算，解题的关键是牢记法则并熟记计算．根据幂的乘方，底数不变，指数相乘；同底数幂的乘法，底数不变，指数相加，可得答案．
【详解】解：A、m2⋅m3=m5，符合题意；
B、m23=m6，此选项不符合题意；
C、m2与m3不是同类项，不能合并，故该选项不符合题意；
D、m9与m4不是同类项，不能合并，故该选项不符合题意；
故选：A．
9．（2025·江苏无锡）下列运算正确的是（ ）
A．a2+a4=a6B．a2⋅a4=a6
C．a24=a6D．a4÷a=a4
【答案】B
【分析】此题考查了幂的运算和合并同类项，根据幂的运算法则和合并同类项法则进行判断即可．
【详解】解：A、a2与a4不是同类项，不能合并，故本选项不符合题意；
B、a2⋅a4=a6，故本选项符合题意；
C、a24=a8≠a6，故本选项不符合题意；
D、a4÷a=a3，故本选项不符合题意．
故选：B．
10．（2025·山东济南）下列运算正确的是（ ）
A．m2⋅m3=m5B．m6÷m2=m3
C．2m+3n=5mnD．m23=m5
【答案】A
【分析】本题考查了合并同类项，同底数幂的乘除法运算，幂的乘方运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
根据合并同类项，同底数幂的乘除法运算，幂的乘方运算法则一一判断即可．
【详解】解：A、m2⋅m3=m5，计算正确，符合题意；
B、m6÷m2=m4，原选项错误，不符合题意；
C、2m与3n不是同类项，不能合并，原选项错误，不符合题意；
D、m23=m6，原选项错误，不符合题意；
故选：A．
11．（2025·四川广元）下列运算正确的是（ ）
A．x2÷x−3=x5B．2x2+3x3=5x5
C．xy32=x2y5D．x−y2=x2−y2
【答案】A
【分析】本题考查了整式的混合运算，包括同底数幂的除法、合并同类项、积的乘方以及完全平方公式，解题的关键是熟练掌握各类运算的法则，明确同类项的定义及不同公式的区别，避免运算错误．
根据相关运算法则逐项判断即可．
【详解】解：A.x2÷x−3=x2−(−3)=x2+3=x5，故运算正确．
B.2x2与3x3，不是同类项，不能合并，不符合题意；
C.xy32=x2.y32=x2y6≠x2y5，运算错误，不符合题意；
D.(x−y)2=x2−2xy+y2≠x2−y2，运算错误，不符合题意．
故选：A．
12．（2025·宁夏）下列运算正确的是（ ）
A．a2+a2=a4B．a2⋅a3=a6
C．a−22=a2−4D．a2b2=a4b2
【答案】D
【分析】本题主要考查了合并同类项的法则，同底数幂相乘，积的乘方，完全平方公式，正确掌握运算法则是解题关键．
根据合并同类项的法则，同底数幂相乘，积的乘方，完全平方公式计算即可．
【详解】解：A. a2+a2=2a2，故此选项错误；
B. a2⋅a3=a5，故此选项错误；
C. a−22=a2−4a+4，故此选项错误；
D. a2b2=a4b2，故此选项正确；
故选：D．
13．（2025·江苏徐州）下列运算正确的是（ ）
A．3a2−2a2=1B．a23=a5C．3a2=6a2D．a2⋅a4=a6
【答案】D
【分析】本题考查了合并同类项，幂的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
分别根据合并同类项法则，幂的乘方、积的乘方以及同底数幂的乘法运算法则进行判断即可．
【详解】解：A、3a2−2a2=a2，原运算错误，故本选项不符合题意；
B、a23=a6，原运算错误，故本选项不符合题意；
C、3a2=9a2，原运算错误，故本选项不符合题意；
D、a2⋅a4=a6，运算正确，故本选项符合题意，
故选：D．
14．（2025·山东青岛）下列计算正确的是（ ）
A．x2+x3=x5B．x2⋅x3=x6C．2xy2=2x2y2D．x8÷x4=x4
【答案】D
【分析】本题考查了合并同类项、同底数幂的乘除法、积的乘方．根据合并同类项、同底数幂的乘除法、积的乘方运算法则逐项分析判断即可求解．
【详解】解：A、x2与x3不能合并，故该选项不符合题意；
B、x2⋅x3=x5≠x6，故该选项不符合题意；
C、2xy2=4x2y2≠2x2y2，故该选项不符合题意；
D、x8÷x4=x4，故该选项符合题意；
故选：D．
15．（2025·江苏宿迁）下列计算结果为a3的是（ ）
A．a+a2B．a23C．a⋅a2D．a9÷a3
【答案】C
【分析】本题主要考查了合并同类项，幂的乘方，同底数幂的乘除法，根据合并同类项，幂的乘方，同底数幂的乘除法逐一排除即可，熟知相关计算法则是解题的关键．
【详解】解：A、a与a2不是同类项，不可以合并，不符合题意；
B、a23=a2×3=a6，不符合题意；
C、a⋅a2=a1+2=a3，符合题意；
D、a9÷a3=a9−3=a6，不符合题意；
故选：C．
16．（2025·四川资阳）下列计算正确的是（ ）
A．a+2a=2a2B．3b−b=3C．b32=b6D．a3⋅a4=a12
【答案】C
【分析】本题考查合并同类项、幂的乘方和同底数幂相乘的运算法则．根据合并同类项、幂的乘方和同底数幂相乘的运算法则逐一进行判断即可．
【详解】A．合并同类项时，系数相加，字母部分不变，正确结果为a+2a=3a，故A错误．
B．合并同类项时，系数相减，结果为3b−b=2b，故B错误．
C．幂的乘方运算法则为底数不变，指数相乘，即b32=b3×2=b6，故C正确．
D．同底数幂相乘，底数不变，指数相加，应为a3⋅a4=a3+4=a7，故D错误．
故选C．
17．（2025·黑龙江）下列运算正确的是（ ）
A．a4⋅a3=a6B．2a+3b=6ab
C．−2a2b33=−8a6b9D．−a+ba+b=a2−b2
【答案】C
【分析】本题考查了整式的运算，包括幂的乘方、合并同类项、积的乘方和平方差公式．根据同底数幂乘法、合并同类项，单项式的乘法运算，积的乘方，平方差公式逐一计算各选项的正确性即可．
【详解】A．a4⋅a3=a7≠a6，故选项A计算错误，不合题意；
B．2a与3b是不同类项，无法合并为6ab，故选项B计算错误，不合题意；
C．−2a2b33=−23⋅a23⋅b33=−8a6b9，选项运算正确，符合题意；
D．−a+ba+b=b−ab+a=b2−a2≠a2−b2，故选项D计算错误，不合题意；
故选C．
18．（2025·山西）下列运算正确的是（ ）
A．2a+3b=5abB．m2⋅m4=m6
C．(a−b)2=a2−b2D．2m23=6m6
【答案】B
【分析】本题考查合并同类项、同底数幂的乘法、完全平方公式、积的乘方等运算法则，根据相应法则，逐一进行计算判断即可．
【详解】A．2a+3b 中的2a和3b不是同类项，无法合并，故错误．
B．m2⋅m4=m2+4=m6，正确．
C．(a−b)2 应展开为 a2−2ab+b2，选项漏掉−2ab，故错误．
D．2m23=23⋅m23=8m6，选项中结果为6m6，计算错误．
故选：B．
19．（2025·上海）下列代数式中，计算正确的是（ ）
A．m3+m3=2m3B．m3+m3=m6
C．m3⋅m3=m9D．m33=m6
【答案】A
【分析】本题考查代数式的运算，涉及合并同类项、同底数幂相乘、幂的乘方等基本法则；逐一验证各选项的正确性即可．
【详解】解：A：m3+m3=2m3，合并同类项时，系数相加，字母部分不变，m3的系数为1，故1+1=2，结果为2m3，计算正确；
B：加法运算中，指数不改变，仅系数相加；正确结果应为2m3，而非m6，计算错误；
C：同底数幂相乘，底数不变，指数相加；3+3=6，结果应为m6，而非m9，计算错误；
D：幂的乘方运算中，底数不变，指数相乘；3×3=9，结果应为m9，而非m6，计算错误；
故选：A．
20．（2025·青海）下列计算正确的是（ ）
A．2x+3x=5x2B．x2·x3=x6
C．(2x)3=6x3D．x6÷x2=x4
【答案】D
【详解】本题考查了整式的运算，根据合并同类项，同底数幂的乘除法，积的乘方运算法则逐一验证各选项即可，熟练掌握运算法则是解题的关键．
【分析】解：A、2x+3x=5x，原选项运算错误，不符合题意；
B、x2·x3=x2+3=x5，原选项运算错误，不符合题意；
C、2x3=23x3=8x3，原选项运算错误，不符合题意；
D、x6÷x2=x6−2=x4，原选项运算正确，符合题意
故选：D．
21．（2025·湖南长沙）下列运算正确的是（ ）
A．2a+a2=2a3B．6a2b+a=6b
C．ab7=a7b7D．19−6=13
【答案】C
【分析】本题考查了整式的运算和二次根式的加法运算，掌握相关运算法则是解题关键．
【详解】解：A： 2a与a2不是同类项，无法合并，故A错误；
B：6a2b+a中，6a2b与a的字母部分不同，无法合并，故B错误；
C：根据积的乘方法则，ab7 = a7⋅b7，等式成立，故C正确；
D：19、6、13均非同类二次根式，无法直接相减，故D错误；
故选：C
22．（2025·辽宁）下列计算正确的是（ ）
A．m+3m=4m2B．2m⋅3m=5m2
C．mn2=mn2 D．m23=m6
【答案】D
【分析】本题主要考查了合并同类项、单项式乘法、积的乘方、幂的乘方等知识点，掌握相关运算法则成为解题的关键．
根据合并同类项、单项式乘法、积的乘方、幂的乘方逐项判断即可．
【详解】解：A． m+3m=1+3m=4m，故该选项错误，不符合题意；
B． 2m⋅3m=2×3m⋅m=6m2，故该选项错误，不符合题意；
C． mn2=m2n2，故该选项错误，不符合题意；
D． m23=m2×3=m6，故该选项正确，符合题意．
故选D．
23．（2025·吉林长春）下列计算一定正确的是（ ）
A．a+2a=3aB．a⋅a2=a2
C．a+a=a2D．2a2=2a2
【答案】A
【分析】本题主要考查了积的乘方计算，同底数幂乘法计算，合并同类项，根据相关计算法则求出对应选项中式子的结果即可得到答案．
【详解】解：A、a+2a=3a，原式计算正确，符合题意；
B、a⋅a2=a2+1=a3，原式计算错误，不符合题意；
C、a+a=2a，原式计算错误，不符合题意；
D、2a2=4a2，原式计算错误，不符合题意；
故选：A．
24．（2024·山西）下列运算正确的是（ ）
A．2m+n=2mnB．m6÷m2=m3
C．−mn2=−m2n2D．m2⋅m3=m5
【答案】D
【分析】本题考查的是合并同类项，同底数幂的乘法与除法，幂的乘方与积的乘方，根据合并同类项的法则，同底数幂的乘法与除法法则，幂的乘方与积的乘方法则对各选项进行逐一计算即可．
【详解】解：A、2m和n不是同类项，不能合并，故此选项不合题意；
B、m6÷m2=m4，故此选项不合题意；
C、−mn2=m2n2，故此选项不合题意；
D、m2⋅m3=m5，故此选项符合题意．
故选：D．
25．（2024·江苏淮安）下列计算正确的是（ ）
A．a⋅a3=a4B．a2+a3=a5C．a6÷a=a6D．a34=a7
【答案】A
【分析】根据同底数幂的乘法，同底数幂的除法，合并同类项，幂的乘方法则逐项分析即可．
【详解】解：A．a⋅a3=a4，正确；
B．a2与a3不是同类项，不能合并，故不正确；
C．a6÷a=a5，故不正确；
D．a34=a12，故不正确；
故选A．
【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，同底数幂的除法，合并同类项，幂的乘方运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
26．（2024·西藏）下列运算正确的是（ ）
A．x−2x=xB．x(x+3)=x2+3
C．−2x23=−8x6D．3x2⋅4x2=12x2
【答案】C
【分析】根据合并同类项、单项式乘以多项式、幂的乘方与积的乘方、单项式乘以单项式的运算法则逐项判断即可得出答案．
【详解】解：A、x−2x=−x，故原选项计算错误，不符合题意；
B、x(x+3)=x2+3x，故原选项计算错误，不符合题意；
C、−2x23=−8x6，故原选项计算正确，符合题意；
D、3x2⋅4x2=12x4，故原选项计算错误，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了合并同类项、单项式乘以多项式、幂的乘方与积的乘方、单项式乘以单项式，熟练掌握运算法则是解此题的关键．
27．（2024·山东德州）下列运算正确的是（ ）
A．a2+a2=a4B．aa+1=a2+1
C．a2⋅a4=a6D．a−12=a2−1
【答案】C
【分析】此题考查了合并同类项、单项式乘以多项式、同底数幂乘法、完全平方公式等知识，根据运算法则进行计算即可作出判断即可．
【详解】A. a2+a2=2a2，故选项错误，不符合题意；
B. aa+1=a2+a，故选项错误，不符合题意；
C. a2⋅a4=a6，故选项正确，符合题意；
D. a−12=a2−2a+1，故选项错误，不符合题意；
故选：C．
28．（2024·江苏徐州）下列运算正确的是（ ）
A．x3+x3=x6B．x3·x9=x27C．x23=x5D．x3÷x=x2
【答案】D
【分析】本题考查合并同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方、同底数幂的除法，熟练掌握运算性质和法则是解题的关键．根据合并同类项法则；同底数幂相乘，底数不变，指数相加；幂的乘方，底数不变，指数相乘；同底数幂相除，底数不变，指数相减，对各选项分析判断后利用排除法求解．
【详解】解：A、x3+x3=2x3，故此选项不符合题意；
B、x3·x9=x12，故此选项不符合题意；
C、x23=x6，故此选项不符合题意；
D、x3÷x=x2，故此选项符合题意；
故选：D．
29．（2024·山东青岛）下列计算正确的是（ ）
A．a+2a=3a2B．a5÷a2=a3
C．(−a)2⋅a3=−a5D．2a32=2a6
【答案】B
【分析】本题考查了整式的运算，根据合并同类项法则、同底数幂的乘除法、积的乘方逐项运算即可判断求解，掌握整式的运算法则是解题的关键．
【详解】解：A、a+2a=3a，该选项错误，不合题意；
B、a5÷a2=a3，该选项正确，符合题意；
C、(−a)2⋅a3=a5，该选项错误，不合题意；
D、2a32=4a6，该选项错误，不合题意；
故选：B．
30．（2024·宁夏）下列运算正确的是（ ）
A．x3+x2=x5B．2−1=12C．(3x)2=6x2D．−5−3=−2
【答案】B
【分析】根据积的乘方的运算法则，合并同类项的方法，有理数的减法的运算方法，以及负整数指数幂的运算方法，逐项判断即可．
【详解】解：A、x3+x2≠x5，故选项A不符合题意；
B、2−1=12，故选项B符合题意；
C、(3x)2=9x2，故选项C不符合题意；
D、−5−3=−8，故选项D不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了积的乘方的运算法则，合并同类项的方法，有理数的减法的运算方法，以及负整数指数幂的运算等知识点，掌握以上知识点是解答本题的关键．
31．（2024·江苏镇江）下列运算中，结果正确的是（ ）
A．m3⋅m3=m6B．m3+m3=m6C．m32=m5D．m6÷m2=m3
【答案】A
【分析】本题考查合并同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方、同底数幂的除法，熟练掌握运算性质和法则是解题的关键．根据合并同类项法则；同底数幂相乘，底数不变，指数相加；幂的乘方，底数不变，指数相乘；同底数幂相除，底数不变，指数相减，对各选项分析判断后利用排除法求解．
【详解】解：A、m3⋅m3=m6，故此选项符合题意；
B、m3+m3=2m3，故此选项不符合题意；
C、(m3)2=m6，故此选项不符合题意；
D、m6÷m2=m4，故此选项不符合题意；
故选：A．
32．（2024·山东济南）下列运算正确的是（ ）
A．3x+3y=6xyB．xy23=xy6C．3x+8=3x+8D．x2⋅x3=x5
【答案】D
【分析】本题考查了去括号，合并同类项，积的乘方，同底数幂的乘法，掌握去括号，合并同类项，积的乘方，同底数幂的乘法的运算法则是解题的关键．根据相关运算法则运算判断，即可解题．
【详解】解：A、3x与3y不是同类项，不能合并，不符合题意；
B、xy23=x3y6，选项运算错误，不符合题意；
C、3x+8=3x+24，选项运算错误，不符合题意；
D、x2⋅x3=x5，选项运算正确，符合题意；
故选：D．
33．（2024·江苏宿迁）下列运算正确的是（ ）
A．a2+a3=2a5B．a4⋅a2=a6C．a3÷a=a3D．ab23=a3b5
【答案】B
【分析】本题主要考查了合并同类项、同底数幂的乘法、同底数幂的除法、积的乘方等知识点，灵活运用相关知识点成为解题的关键．根据合并同类项、同底数幂的乘法、同底数幂的除法、积的乘方逐项判断即可．
【详解】解：A. a2与a3不是同类项，不能合并，该选项错误，不符合题意；
B. a4⋅a2=a6，该选项正确，符合题意；
C. a3÷a=a2，该选项错误，不符合题意；
D. ab23=a3b6，该选项错误，不符合题意．
故选：B．
34．（2025·江苏无锡）分解因式a3−4a的结果是（ ）
A．aa2+4B．aa−4
C．aa+2a−2D．aa2−1
【答案】C
【分析】本题考查的是因式分解，先提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可.
【详解】解：a3−4a=aa2−4=aa+2a−2.
故选：C
35．（2024·四川巴中）下列运算正确的是（ ）
A．3a+b=3abB．a3⋅a2=a5
C．a8÷a2=a4a≠0D．a−b2=a2−b2
【答案】B
【分析】本题考查合并同类项，同底数幂的乘除法，完全平方公式式．根据合并同类项，同底数幂的乘除法，完全平方公式式逐项计算，即可判断．
【详解】解：3a和b不是同类项，不能合并，故A选项不符合题意；
a3⋅a2=a5，故B选项符合题意；
a8÷a2=a6≠a4a≠0，故C选项不符合题意；
a−b2=a2−2ab+b2≠a2−b2，故D选项不符合题意．
故选：B．
36．（2024·四川雅安）下列运算正确的是（ ）
A．a+3b=4abB．a23=a5C．a3⋅a2=a6D．a5÷a=a4
【答案】D
【分析】本题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方以及同底数幂的除法，合并同类项，根据同底数幂的乘法，幂的乘方以及同底数幂的除法，合并同类项法则进行计算即可求解．
【详解】解：A．a，3b不是同类项，不能合并，故该选项不正确，不符合题意；
B．a23=a6，故该选项不正确，不符合题意；
C．a3⋅a2=a5，故该选项不正确，不符合题意；
D．a5÷a=a4，故该选项正确，符合题意；
故选：D．
37．（2024·辽宁）下列计算正确的是（ ）
A．a2+a3=2a5B．a2⋅a3=a6C．a23=a5D．a(a+1)=a2+a
【答案】D
【分析】根据合并同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方、单项式乘以多项式等知识点进行判定即可．
【详解】A．a3+a3=2a3，故本选项原说法不符合题意；
B．a2⋅a3=a5，故本选项原说法不合题意；
C．(a2)3=a6，故本选项原说法不合题意；
D．a(a+1)=a2+a，故本选项符合题意．
故选：D．
【点睛】此题考查了整式的运算，涉及的知识有：合并同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方、单项式乘以多项式的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
38．（2024·山东泰安）下列运算正确的是（ ）
A．2x2y−3xy2=−x2yB．4x8y2÷2x2y2=2x4
C．x−y−x−y=x2−y2D．x2y32=x4y6
【答案】D
【分析】根据合并同类项法则、单项式除以单项式法则、平方差公式、积的乘方进行判断即可求解．
【详解】解：A、2x2y与3xy2不是同类项，不能合并同类项，故不符合题意；
B、4x8y2÷2x2y2=2x6，故不符合题意；
C、x−y−x−y=−x−yx+y=−x2−y2=y2−x2，故不符合题意；
D、x2y32=x4y6，故符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查合并同类项法则、单项式除以单项式法则、平方差公式、积的乘方，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
39．（2024·内蒙古通辽）下列运算结果正确的是（ ）
A．4xy−3xy=1B．−a23=−a6
C．(−5)2=−5D．3+12=15
【答案】B
【分析】本题考查的是合并同类项，积的乘方运算，算术平方根的含义，二次根式的加减运算，根据以上运算的运算法则逐一计算即可
【详解】解：4xy−3xy=xy，故A不符合题意；
−a23=−a6，故B符合题意；
(−5)2=5，故C不符合题意；
3+12=3+23=33，故D不符合题意；
故选B
40．（2025·四川南充）下列计算正确的是（ ）
A．2a+a=3B．2a−a=2
C．2a⋅a=2a2D．2a÷a=2a
【答案】C
【分析】本题考查合并同类项，单项式乘单项式，单项式除以单项式，熟练掌握相关运算法则是解题的关键；根据合并同类项，单项式乘单项式，单项式除以单项式的法则进行解答即可．
【详解】解：A、2a+a=3a，故本选项错误，不符合题意；
B、2a−a=a，故本选项错误，不符合题意；
C、2a⋅a=2a2，故本选项正确，符合题意；
D、2a÷a=2，故本选项错误，不符合题意；
故选：C
41．（2025·山东东营）下列计算正确的是（ ）．
A．4a3−3a2=aB．a−b2=a2−b2
C．a3⋅a4=a12D．a−4÷a−6=a2
【答案】D
【分析】本题考查了合并同类项，同底数幂的乘法法则，同底数幂的除法法则，完全平方公式，熟记对应法则是解题的关键．根据合并同类项，同底数幂的乘法法则，同底数幂的除法法则，完全平方公式对每一项判断解答即可．
【详解】解：A．4a3、3a2不是同类项不能合并，故原计算错误，不符合题意；
B．a−b2=a2−2ab+b2，故原计算错误，不符合题意；
C．a3⋅a4=a7，故原计算错误，不符合题意；
D．a−4÷a−6=a2，故原计算正确，符合题意；
故选：D．
42．（2025·甘肃）下列计算正确的是（ ）
A．2a2+3a2=6a2B．a6÷a2=a3C．a23=a5D．3a2=9a2
【答案】D
【分析】本题考查同底数幂除法，合并同类项，幂的乘方与积的乘方，利用同底数幂除法，合并同类项，幂的乘方与积的乘方法则逐项判断即可．熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
【详解】解：A、2a2+3a2=5a2，故此选项不符合题意，
B、a6÷a2=a4，故此选项不符合题意，
C、(a2)3=a6，故此选项不符合题意，
D、(3a)2=9a2，故此选项符合题意，
故选：D．
43．（2025·黑龙江齐齐哈尔）下列计算正确的是（ ）
A．3x2=9x2B．5x⋅2x=10x
C．x6÷x2=x3D．x−22=x2−4
【答案】A
【分析】本题考查了积的乘方、同底数幂的除法、单项式乘单项式、完全平方公式，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据积的乘方、同底数幂的除法运算、单项式乘单项式运算、完全平方公式逐项计算，即可判断．
【详解】解：A.3x2=9x2，故选项计算正确，符合题意；
B. 5x⋅2x=10x2，故选项计算错误，不符合题意；
C. x6÷x2=x4，故选项计算错误，不符合题意；
D. x−22=x2−4x+4，故选项计算错误，不符合题意；
故选：A．
二、填空题
44．（2025·吉林长春）已知x2+2x=4，则代数式7−x2−2x的值为 ．
【答案】3
【分析】本题主要考查了求代数式的值，掌握整体思想是解题的关键．
将7−x2−2x化为7−x2+2x，再整体代入求解即可．
【详解】解：∵x2+2x=4，
∴7−x2−2x
=7−x2+2x
=7−4
=3，
故答案为：3．
45．（2025·江苏苏州）若y=x+1，则代数式2y−2x−3的值为 ．
【答案】−1
【分析】本题考查代数式求值，根据y=x+1，得到y−x=1，整体代入法求出代数式的值即可．
【详解】解：∵y=x+1，
∴y−x=1，
∴2y−2x−3=2y−x−3=2×1−3=−1；
故答案为：−1．
46．（2025·江苏扬州）若a2−2b+1=0，则代数式2a2−4b+3的值是 ．
【答案】1
【分析】本题考查了代数式求值，掌握整体的思想是解题的关键．先将a2−2b+1=0变形为a2−2b=−1，再将2a2−4b+3变形为2a2−2b+3，然后整体代入求解即可．
【详解】解：∵a2−2b+1−0，
∴a2−2b=−1，
∴2a2−4b+3=2a2−2b+3=2×−1+3=1，
故答案为：1．
47．（2025·四川内江）已知实数a，b满足a+b=2，则a2−b2+4b= ．
【答案】4
【分析】本题考查了平方差公式因式分解，根据平方差公式因式分解，将已知等式代入，即可求解．
【详解】解：∵a+b=2，
∴a2−b2+4b=a+ba−b+4b=2a−b+4b=2a+b=4
故答案为：4．
48．（2024·江苏徐州）若mn=2，m−n=1，则代数式m2n−mn2的值是 ．
【答案】2
【分析】本题考查代数式求值．先将代数式进行因式分解，然后将条件代入即可求值．
【详解】解：∵mn=2，m−n=1，
∴ m2n−mn2=mnm−n=2×1=2，
故答案为：2．
49．（2024·广东广州）若a2−2a−5=0，则2a2−4a+1= ．
【答案】11
【分析】本题考查了已知字母的值求代数式的值，得出条件的等价形式是解题关键．
由a2−2a−5=0，得a2−2a=5，根据对求值式子进行变形，再代入可得答案．
【详解】解：∵a2−2a−5=0，
∴a2−2a=5，
∴2a2−4a+1=2a2−2a+1=2×5+1=11，
故答案为：11．
50．（2024·江苏苏州）若a=b+2，则b−a2= ．
【答案】4
【分析】本题考查了求代数式的值，把a=b+2整体代入化简计算即可．
【详解】解：∵a=b+2，
∴b−a2
=b−b+22
=b−b−22
=−22
=4，
故答案为：4．
51．（2024·四川广安）若x2−2x−3=0，则2x2−4x+1= ．
【答案】7
【分析】本题考查了求代数式的值．对已知等式变形得到2x2−4x=6，再整体代入计算求解即可．
【详解】解：∵x2−2x−3=0，
∴x2−2x=3，
∴2x2−4x=6，
∴2x2−4x+1=6+1=7，
故答案为：7．
52．（2024·四川）已知x2+2x=3，那么2x2+4x−5的值是 ．
【答案】1
【分析】把所求代数式进行适当变形，然后整体代入求解即可．
【详解】解：∵ x2+2x=3，
∴ 2x2+4x−5
=2(x2+2x)−5
=2×3−5
=1
故答案为：1．
【点睛】本题考查的是求代数式的值，关键是利用整体思想把x2+2x看成一个整体，然后把所求代数式进行变形求值即可．
53．（2024·新疆）若每个篮球30元，则购买n个篮球需 元．
【答案】30n
【分析】本题考查了列代数式，熟练掌握代数式的书写格式是解题的关键． 根据总价=数量×单价，进而求出篮球的总价即可．
【详解】解：若每个篮球30元，则购买n个篮球需30n元，
故答案为：30n．
54．（2024·四川雅安）如图是1个纸杯和若干个叠放在一起的纸杯的示意图，在探究纸杯叠放在一起后的总高度H与杯子数量n的变化规律的活动中，我们可以获得以下数据（字母），请选用适当的字母表示H= ．
①杯子底部到杯沿底边的高h；②杯口直径D；③杯底直径d；④杯沿高a．
【答案】h+an
【分析】本题考查的是列代数式，由总高度H等于杯子底部到杯沿底边的高h加上n个杯子的杯沿高na即可得到答案；
【详解】解：由题意可得：H=h+an，
故答案为：h+an；
55．（2025·内蒙古）冰糖葫芦是我国传统小吃，若大串冰糖葫芦每根穿5个山楂，小串冰糖葫芦每根穿3个山楂，则穿m根大串和n根小串冰糖葫芦需要的山楂总个数用代数式表示为 ．
【答案】5m+3n/3n+5m
【分析】本题考查了列代数式的运用，理解数量关系，掌握代数式表示数或数量关系的计算是关键．
根据“大串冰糖葫芦每根穿5个山楂，小串冰糖葫芦每根穿3个山楂，则穿m根大串和n根小串冰糖葫芦”即可列代数式．
【详解】解：由题意得，山楂总个数用代数式表示为：5m+3n，
故答案为：5m+3n．
56．（2025·山西）近年来，我省依托乡村e镇建设，打造农村电商新产业，提高了农民收入．某农户通过网上销售传统手工艺品布老虎，利润由原来的每个20元增加到80元．该农户通过网上售出a个布老虎，则他的利润增加了 元（用含a的代数式表示）．
【答案】60a
【分析】本题考查了列代数式，正确理解题意是关键；求出售出一个布老虎增加的利润，即可求出售出a个布老虎增加的利润．
【详解】解：售出一个布老虎增加的利润为80−20=60（元），
则售出a个布老虎增加的利润为60a．
故答案为：60a．
57．（2025·四川广安）一种商品每件标价为a元，按标价的8折出售，则每件商品的售价是 元．
【答案】0.8a
【分析】本题主要考查了列代数式，按标价的8折出售，即按原价的0.8倍出售，据此求解即可．
【详解】解；一种商品每件标价为a元，按标价的8折出售，则每件商品的售价是0.8a元，
故答案为；0.8a．
58．（2025·河南）观察2x,4x2,6x3,8x4,⋯，根据这些式子的变化规律，可得第n个式子为 ．
【答案】2nxn
【分析】本题是单项式规律题，根据给出的单项式发现一般规律是解题关键．分析已知式子，得到第n个式子为2n⋅xn，即可得到答案．
【详解】解：第1个式子：2x=1×2⋅x1，
第2个式子：4x2=2×2⋅x2，
第3个式子：6x3=3×2⋅x3，
第4个式子：8x4=4×2⋅x4，
……
观察发现，第n个式子为2nxn，
故答案为：2nxn
59．（2025·江苏扬州）清代扬州数学家罗士琳痴迷于勾股定理的研究，提出了推算勾股数的“罗士琳法则”．法则的提出，不仅简化了勾股数的生成过程，也体现了中国传统数学在数论领域的贡献．由此法则写出了下列几组勾股数：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41；……根据上述规律，写出第⑤组勾股数为 ．
【答案】11,60,61
【分析】本题考查勾股定理，数字类规律探究，观察可知，每组勾股数的第一个数字为奇数，后面两个数字为两个连续的整数，得到第⑤组勾股数的第1个数为11，设第2个数为x，则第3个数为x+1，根据勾股定理列出方程进行求解．
【详解】解：由题意，第⑤组勾股数的第1个数为11，设第2个数为x，则第3个数为x+1，
由勾股定理，得：112+x2=x+12，
解得：x=60，
∴x+1=61；
∴第⑤组勾股数为11,60,61；
故答案为：11,60,61．
60．（2024·宁夏）观察下列等式：
第1个：1×2−2=22×0
第2个：4×3−3=32×1
第3个：9×4−4=42×2
第4个：16×5−5=52×3
按照以上规律，第n个等式为 ．
【答案】n2n+1−n+1=(n+1)2n−1
【分析】本题主要考查了数字类的规律探索，观察可知，序号的平方乘以序号加1减去序号加1的结果等于序号加1的平方乘以序号减1，据此可得答案．
【详解】解：观察算式可知，序号的平方乘以序号加1减去序号加1的结果等于序号加1的平方乘以序号减1，
所以第n个等式为：n2n+1−n+1=(n+1)2n−1，
故答案为：n2n+1−n+1=(n+1)2n−1．
61．（2024·吉林长春）单项式−2a2b的系数是 ．
【答案】−2
【分析】本题考查的是单项式，熟知单项式中的数字因数叫做单项式的系数是解题的关键．
根据单项式系数的定义解答即可．
【详解】解：单项式−2a2b的系数是−2．
故答案为：−2．
62．（2024·江西）观察a，a2，a3，a4，…，根据这些式子的变化规律，可得第100个式子为 ．
【答案】a100
【分析】此题考查了单项式规律探究．分别找出系数和次数的规律，据此判断出第n个式子是多少即可．
【详解】解：∵a，a2，a3，a4，…，
∴第n个单项式的系数是1；
∵第1个、第2个、第3个、第4个单项式的次数分别是1、2、3、4，…，
∴第n个式子是an．
∴第100个式子是a100．
故答案为：a100．
63．（2024·山东泰安）单项式−3ab2的次数是 ．
【答案】3
【分析】根据单项式次数的定义进行解答即可．
【详解】解：单项式−3ab2中，a的指数是1，b的指数是2，
∴此单项式的次数为：1+2=3．
故答案为：3．
【点睛】本题考查单项式的次数，一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数．理解和掌握单项式次数的定义是解题的关键．
64．（2025·江苏无锡）请写出单项式a2b的一个同类项： ．
【答案】−2a2b（答案不唯一）
【分析】本题主要考查的是同类项的定义：“所含字母相同，相同字母的指数也相同的项是同类项”，据此求解即可，掌握同类项的定义是解题的关键．
【详解】解：单项式a2b的一个同类项：−2a2b（答案不唯一），
故答案为：−2a2b（答案不唯一）．
65．（2025·吉林长春）写出ab的一个同类项： ．
【答案】2ab（答案不唯一）
【分析】本题考查了同类项的定义，含有相同的字母并且相同字母的指数也相同的项为同类项，据此进行作答即可．
【详解】解：2ab是ab的一个同类项，
故答案为：2ab（答案不唯一）．
66．（2024·黑龙江哈尔滨）定义新运算：a※b=ab+b2，则2m※m的运算结果是 ．
【答案】3m2
【分析】本题考查定义新运算，整式的混合运算，根据定义新运算计算即可，解题的关键是掌握定义新运算的运算法则．
【详解】解：根据新定义可得：
2m※m=2m⋅m+m2=2m2+m2=3m2，
故答案为：3m2．
67．（2025·江苏宿迁）分解因式：x2−4=
【答案】x+2x−2
【分析】本题考查了因式分解-运用公式法，熟练掌握平方差公式是解题的关键．利用平方差公式分解因式即可．
【详解】解：x2−4=x+2x−2
故答案为：x+2x−2
68．（2025·江苏南通）分解因式am+a= ．
【答案】am+1
【分析】可利用提取公因式的方法对式子进行因式分解．本题主要考查了提取公因式法分解因式，熟练掌握如何准确找出多项式各项的公因式是解题的关键．
【详解】解：am+a= a(m+1)
故答案为：a(m+1) ．
69．（2025·甘肃兰州）因式分解：2x2+4x+2= ．
【答案】2x+12
【分析】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用．先提取公因式，再利用完全平方公式即可．
【详解】解：2x2+4x+2
=2x2+2x+1
=2x+12．
故答案为：2x+12．
70．（2025·北京）分解因式：7m2−28= ．
【答案】7m+2m−2
【分析】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
原式提取7，再利用平方差公式分解即可．
【详解】解：7m2−28
=7m2−4
=7m+2m−2，
故答案为：7m+2m−2．
71．（2025·黑龙江绥化）分解因式：2mx2−4mxy+2my2= ．
【答案】2mx−y2
【分析】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握这两种因式分解的方法是解题的关键．先提公因式，再根据完全平方公式分解因式即可．
【详解】解：2mx2−4mxy+2my2=2mx2−2xy+y2=2mx−y2．
故答案为：2mx−y2．
72．（2025·甘肃甘南）分解因式：x3−x= ．
【答案】xx−1x+1
【分析】本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．先提取公因式，再利用平方差公式因式分解即可．
【详解】解：x3−x
=xx2−1
=xx−1x+1．
故答案为：xx−1x+1
73．（2025·四川成都）多项式4x2+1加上一个单项式后，能成为一个多项式的平方，那么加上的单项式可以是 （填一个即可）．
【答案】4x（答案不唯一）
【分析】本题主要考查了用完全平方公式分解因式，根据题意可得多项式4x2+1加上一个单项式后可以变为一个多项式的平方的展开式，据此根据完全平方公式的特点求解即可．
【详解】解：由题意得，加上的单项式可以为4x，理由如下：
4x2+1+4x=2x+12，
∴4x符合题意，
故答案为：4x（答案不唯一）．
74．（2025·山东东营）分解因式：2m3−12m2+18m= ．
【答案】2mm−32
【分析】本题考查了因式分解，先运用提公因式法进行因式分解，再运用完全平方公式进行因式分解，即可作答．
【详解】解：2m3−12m2+18m=2mm2−6m+9=2mm−32，
故答案为：2mm−32．
75．（2025·山东烟台）因式分解：2x2−12xy+18y2= ．
【答案】2x−3y2
【分析】本题考查了因式分解；
先提取公因式，再利用完全平方公式继续分解．
【详解】解：2x2−12xy+18y2=2x2−6xy+9y2=2x−3y2，
故答案为：2x−3y2．
76．（2025·广东）因式分解：a2b+ab2= ．
【答案】aba+b
【分析】直接提取公因式ab，进而分解因式得出答案．
【详解】解：a2b+ab2=aba+b．
故答案为：aba+b．
【点睛】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．
77．（2024·江苏常州）分解因式：x2−4xy+4y2= ．
【答案】x−2y2
【分析】本题考查完全平方公式在因式分解中的应用，解题的关键是识别式子符合完全平方公式的形式．
观察式子x2−4xy+4y2，看是否符合完全平方公式a2−2ab+b2=(a−b)2的结构，若符合，直接运用公式分解．
【详解】x2−4xy+4y2符合完全平方公式a2−2ab+b2=(a−b)2的形式，可分解为(x−2y)2．
故答案为：(x−2y)2．
78．（2024·西藏）分解因式：x2−4x+4= ．
【答案】x−22/2−x2
【分析】本题考查了分解因式，利用完全平方公式分解即可，熟练掌握完全平方公式是解此题的关键．
【详解】解：x2−4x+4=x−22，
故答案为：x−22．
79．（2024·山东淄博）若多项式4x2−mxy+9y2能用完全平方公式因式分解，则m的值是 ．
【答案】±12
【分析】此题考查了因式分解-运用公式法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出m的值．
【详解】解：∵多项式4x2−mxy+9y2能用完全平方公式因式分解，
∴ 4x2−mxy+9y2=2x2−mxy+3y2=2x±3y2，
∴m=±2×2×3=±12，
故答案为：±12．
80．（2024·四川凉山）已知a2−b2=12，且a−b=−2，则a+b= ．
【答案】−6
【分析】本题考查了因式分解的应用，先把a2−b2=12的左边分解因式，再把a−b=−2代入即可求出a+b的值．
【详解】解：∵a2−b2=12，
∴a+ba−b=12，
∵a−b=−2，
∴a+b=−6．
故答案为：−6．
81．（2025·四川自贡）若2a+b=−1，则4a2+2ab−b的值为 ．
【答案】1
【分析】本题考查了求代数式的值、整式的混合运算，由题意可得b=−1−2a，整体代入计算即可得解，熟练掌握运算法则是解此题的关键．
【详解】解：∵2a+b=−1，
∴b=−1−2a，
∴4a2+2ab−b=4a2+2a−1−2a−−1−2a=4a2−2a−4a2+1+2a=1，
故选：1．
82．（2024·山东东营）因式分解：2x3−8x= ．
【答案】2xx+2x−2
【分析】本题考查了因式分解，一提，二套，三检查，注意分解要彻底．根据提公因式法，可得平方差公式，根据平方差公式，可得答案．
【详解】解：2x3−8x
=2xx2−4
=2xx+2x−2，
故答案为：2xx+2x−2．
83．（2024·江苏淮安）分解因式：a2−16= ．
【答案】a+4a−4
【分析】本题考查了因式分解．根据平方差公式因式分解，即可作答．
【详解】解：∵a2−16=a+4a−4，
故答案为：a+4a−4．
84．（2024·山东德州）分解因式∶x2−4= ．
【答案】x+2x−2/x−2x+2
【分析】本题考查了因式分解，把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解．因式分解常用的方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分组分解法．因式分解必须分解到每个因式都不能再分解为止．
x2−4=x2−22，用平方差公式分解即可．
【详解】解：x2−4=x2−22=x+2x−2．
故答案为：x+2x−2．
85．（2024·山东潍坊）将连续的正整数排成如图所示的数表．记ai,j为数表中第i行第j列位置的数字，如a1,2=4，a3,2=8，a5,4=22．若am,n=2024，则m= ，n= ．
【答案】 45 2
【分析】本题考查了规律型：数字的变化类，解题的关键是找出规律：当正整数为k2时，若k为奇数，则k2在第k行，第1列，下一个数再下一行，上一个数在第2列；若k为偶数，则k2在第1行，第k列，下一个数再下一列，上一个数在第2行．
【详解】解：由图中排布可知，当正整数为k2时，
若k为奇数，则k2在第k行，第1列，下一个数再下一行，上一个数在第2列；
若k为偶数，则k2在第1行，第k列，下一个数再下一列，上一个数在第2行；
∵am,n=2024=2025−1=452−1，
而2025=452，在第45行，第1列，
∴2024在第45行，第2列，
∴m=45，n=2，
故答案为：45，2．
三、解答题
86．（2025·湖南）先化简，再求值：x+2x−2+x1−x，其中x=6．
【答案】x−4，2
【分析】本题考查了整式的混合运算，化简求值，熟练掌握运算法则是解题的关键．
分别利用平方差公式和单项式乘以多项式法则计算，再合并，然后代入求值即可．
【详解】解：x+2x−2+x1−x
=x2−4+x−x2
=x−4，
当x=6时，原式6−4=2．
87．（2024·青海西宁）先化简，再求值：(3a−1)2−2a(4a−1)，其中a满足a2−4a+3=0．
【答案】a2−4a+1,−2
【分析】本题考查了整式的混合运算，化简求值，熟练掌握整式的相关运算法则是解题的关键．
根据整式的乘法运算和完全平方公式，展开原代数式，得到a2−4a+1，由所给条件得到a2−4a=−3，整体代入，即可得到结果．
【详解】解：(3a−1)2−2a(4a−1)
=9a2−6a+1−8a2+2a
=9a2−8a2+(−6a+2a)+1
=a2−4a+1，
∵a2−4a+3=0，
∴a2−4a=−3，
∴原式=a2−4a+1=−3+1=−2．
88．（2024·山东济宁）先化简，再求值：
x(y−4x)+(2x+y)(2x−y)，其中x=12，y=2．
【答案】−3
【分析】先将原式利用多项式乘以多项式，以及平方差公式化简，去括号合并同类项得到最简结果，再把x与y的值代入计算即可求出结果．
此题考查了整式的混合运算及化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
【详解】解： x(y−4x)+(2x+y)(2x−y)
=xy−4x2+4x2−y2
=xy−y2，
当x=12，y=2时，
原式=12×2−22=1−4=−3．
89．（2024·湖南长沙）先化简，再求值：2m−mm−2+m+3m−3，其中m=52．
【答案】4m−9；1
【分析】本题考查整式的混合运算及其求值，先根据整式的混合运算法则化简原式，再代值求解即可．
【详解】解：2m−mm−2+m+3m−3
=2m−m2+2m+m2−9
=4m−9．
当m=52时，原式=4×52−9=10−9=1．
90．（2024·四川南充）先化简，再求值：(x+2)2−x3+3x÷x，其中x=−2．
【答案】4x+1，−7
【分析】本题主要考查了整式的化简求值，运用完全平方公式展开，先算除法，再算加减法，最后代入求值即可．
【详解】解：原式=x2+4x+4−x2+3
=x2+4x+4−x2−3
=4x+1，
当x=−2时，原式=4×(−2)+1=−7．
91．（2025·江苏扬州）计算：
(1)12−2cs30°+π+10；
(2)aa+2−a3÷a．
【答案】(1)3+1
(2)2a
【分析】本题考查了含特殊角的三角函数值的实数的混合运算、整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题关键．
（1）先化简二次根式、计算含特殊角的三角函数值的混合运算和零指数幂，再计算二次根式的混合运算即可得；
（2）先计算单项式乘以多项式、同底数幂的除法，再计算整式的加减法即可得．
【详解】（1）解：原式=23−2×32+1
=23−3+1
=3+1．
（2）解：原式=a2+2a−a2
=2a．
92．（2025·黑龙江齐齐哈尔）（1）计算：9−1−2+2sin45°−13−2
（2）分解因式：2x3−8x
【答案】（1）−5；（2）2xx+2x−2
【分析】（1）先计算特殊角三角函数值，再计算二次根式乘法、负整数指数幂、绝对值，再计算加减法即可；
（2）先提取公因式2x，再利用平方差公式分解因式即可．
【详解】解：（1）原式=3−2+1+2−9=−5；
（2）原式=2xx2−4=2xx+2x−2．
【点睛】本题主要考查了分解因式，二次根式的混合计算，负整数指数幂，绝对值的性质，求特殊角三角函数值，熟练掌握因式分解的方法，负整数指数幂、二次根式、绝对值以及特殊角的三角函数值等考点的运算是解本题的关键．
93．（2024·黑龙江齐齐哈尔）(1)计算：4+−4cs60°−π−50+12−2
(2)分解因式：2a3−8ab2
【答案】（1）7；（2）2aa+2ba−2b
【分析】本题考查了实数的混合运算，因式分解；
（1）根据算术平方根，特殊角的三角函数值，零指数幂，负整数指数幂，进行计算即可求解；
（2）先提公因式2a，进而根据平方差公式因式分解，即可求解．
【详解】（1）解：原式=2+4×12−1+4
=2+2−1+4
=7；
（2）解：原式=2aa2−4b2
=2aa+2ba−2b
94．（2025·宁夏）定义：若一个三位数的十位数字减去个位数字的差恰好等于百位数字，则这个三位数叫做“极差数”．例如，三位数231，因为3−1=2，所以它是“极差数”．
【理解定义】
三位数265是否为“极差数”？___________．
【建模推理】
（1）设一个“极差数”的百位、十位、个位数字分别为a,b,c，则a与b,c的关系式为___________；
（2）任意一个“极差数”都能被11整除吗？为什么？
【答案】理解定义：不是；建模推理：（1）a=b−c；（2）任意一个“极差数”都能被11整除．理由见解析．
【分析】本题考查数字类问题．旨在考查学生的信息处理能力．
理解定义：根据定义进行验证即可；
建模推理：
（1）根据“极差数”的定义即可求出答案；
（2）设任意一个“极差数”的百位数字是a，十位数字是b，个位数字是c，根据定义和（1）的结论即可求证．
【详解】理解定义：∵十位数字减去个位数字的差为6−5=1，百位数字为2，
∴十位数字减去个位数字的差不等于百位数字，
∴三位数265不是“极差数”
故答案为：不是
建模推理：
（1）设一个“极差数”的百位、十位、个位数字分别为a,b,c，
根据题意可得，a=b−c，
故答案为：a=b−c；
（2）任意一个“极差数”都能被11整除．
证明：设任意一个“极差数”的百位数字是a，十位数字是b，个位数字是c，
∵a=b−c，
∴100a+10b+c=100b−100c+10b+c=110b−99c=1110b−9c，
∴100a+10b+c能被11整除，
∴任意一个“极差数”都能被11整除．
95．（2024·陕西）计算：x−1x+2−3x−1．
【答案】x2−2x+1
【分析】本题考查了多项式乘多项式，单项式乘多项式，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
先根据多项式乘多项式，单项式乘多项式的运算法则进行展开，再合并同类项，即可作答．
【详解】解：x−1x+2−3x−1
=x2+2x−x−2−3x+3
=x2−2x+1
96．（2024·江苏常州）先化简，再求值：x+12−xx+1，其中x=3−1．
【答案】x+1，3
【分析】本题主要考查了整式的化简求值，实数的运算，先根据完全平方公式和单项式乘以多项式的计算法则去括号，然后合并同类项化简，最后代值计算即可．
【详解】解：x+12−xx+1
=x2+2x+1−x2−x
=x+1，
当x=3−1时，原式=3−1+1=3．
97．（2025·四川乐山）先化简，再求值：(x+3)2+3x(x−2)，其中x=12．
【答案】4x2+9，10
【分析】本题考查了整式的混合运算，化简求值，熟练掌握整式的混合运算法则是解题的关键．
先计算完全平方公式和单项式乘以多项式，再进行合并，然后代入求值即可．
【详解】解：(x+3)2+3x(x−2)
=x2+6x+9+3x2−6x
=4x2+9，
当x=12时，原式=4×122+9=10．
98．（2025·甘肃兰州）计算： a+2a−2+a3−a．
【答案】3a−4
【分析】本题考查了整式的混合运算．先计算平方差和单项式乘多项式，再合并同类项即可．熟练掌握整式的运算法则是解题的关键．
【详解】解：a+2a−2+a3−a
=a2−4+3a−a2
=3a−4．
99．（2024·安徽）数学兴趣小组开展探究活动，研究了“正整数N能否表示为x2−y2（x，y均为自然数）”的问题．
(1)指导教师将学生的发现进行整理，部分信息如下（n为正整数）：
按上表规律，完成下列问题：
（ⅰ）24=（ ）2−（ ）2；
（ⅱ）4n=______；
(2)兴趣小组还猜测：像2，6，10，14，⋯这些形如4n−2（n为正整数）的正整数N不能表示为x2−y2（x，y均为自然数）．师生一起研讨，分析过程如下：
阅读以上内容，请在情形②的横线上填写所缺内容．
【答案】(1)（ⅰ）7，5；（ⅱ）n+12−n−12；
(2)4k2−m2+k−m
【分析】（1）（ⅰ）根据规律即可求解；（ⅱ）根据规律即可求解；
（2）利用完全平方公式展开，再合并同类项，最后提取公因式即可；
本题考查了平方差公式，完全平方公式，掌握平方差公式和完全平方公式的运算是解题的关键．
【详解】（1）（ⅰ）由规律可得，24=72−52，
故答案为：7，5；
（ⅱ）由规律可得，4n=n+12−n−12，
故答案为：n+12−n−12；
（2）解：假设4n−2=x2−y2，其中x，y均为自然数．
分下列三种情形分析：
①若x，y均为偶数，设x=2k，y=2m，其中k，m均为自然数，
则x2−y2=2k2−2m2=4k2−m2为4的倍数．
而4n−2不是4的倍数，矛盾．故x，y不可能均为偶数．
②若x，y均为奇数，设x=2k+1，y=2m+1，其中k，m均为自然数，
则x2−y2=2k+12−2m+12=4k2−m2+k−m为4的倍数．
而4n−2不是4的倍数，矛盾．故x，y不可能均为奇数．
③若x，y一个是奇数一个是偶数，则x2−y2为奇数．
而4n−2是偶数，矛盾．故x，y不可能一个是奇数一个是偶数．
由①②③可知，猜测正确．
故答案为：4k2−m2+k−m．N
奇数
4的倍数
表示结果
1=12−02
4=22−02
3=22−12
8=32−12
5=32−22
12=42−22
7=42−32
16=52−32
9=52−42
20=62−42
⋯
⋯
一般结论
2n−1=n2−n−12
4n=______
假设4n−2=x2−y2，其中x，y均为自然数．
分下列三种情形分析：
①若x，y均为偶数，设x=2k，y=2m，其中k，m均为自然数，
则x2−y2=2k2−2m2=4k2−m2为4的倍数．
而4n−2不是4的倍数，矛盾．故x，y不可能均为偶数．
②若x，y均为奇数，设x=2k+1，y=2m+1，其中k，m均为自然数，
则x2−y2=2k+12−2m+12=______为4的倍数．
而4n−2不是4的倍数，矛盾．故x，y不可能均为奇数．
③若x，y一个是奇数一个是偶数，则x2−y2为奇数．
而4n−2是偶数，矛盾．故x，y不可能一个是奇数一个是偶数．
由①②③可知，猜测正确．
N
奇数
4的倍数
表示结果
1=12−02
4=22−02
3=22−12
8=32−12
5=32−22
12=42−22
7=42−32
16=52−32
9=52−42
20=62−42
⋯
⋯
一般结论
2n−1=n2−n−12
4n=______
假设4n−2=x2−y2，其中x，y均为自然数．
分下列三种情形分析：
①若x，y均为偶数，设x=2k，y=2m，其中k，m均为自然数，
则x2−y2=2k2−2m2=4k2−m2为4的倍数．
而4n−2不是4的倍数，矛盾．故x，y不可能均为偶数．
②若x，y均为奇数，设x=2k+1，y=2m+1，其中k，m均为自然数，
则x2−y2=2k+12−2m+12=______为4的倍数．
而4n−2不是4的倍数，矛盾．故x，y不可能均为奇数．
③若x，y一个是奇数一个是偶数，则x2−y2为奇数．
而4n−2是偶数，矛盾．故x，y不可能一个是奇数一个是偶数．
由①②③可知，猜测正确．