山东省青岛市2026届高三下学期第一次适应性检测数学试卷含解析（word版+pdf版）

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一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，每小题只有一个选项符合要求
1. 已知复数 ，则
A. 1 B. C. 2 D. 4
【答案】B
【解析】.
2. 已知集合 ，则
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】.
3.设公差不为 0 的等差数列 的前 项和为 ,若 成等比数列,则
A. 16 B. 8 C. 4 D. 2
【答案】A
【解析】 , 成等比数列, ,
或 0 (舍), .
4. 已知 是两个不同的平面， 为平面 内的一条直线，则 “ ” 是 “ ” 的
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】 ,不充分; ,必要.
5.已知变量 的统计数据如下,若 与 的回归直线方程为 ,则
A. 2.5 B. 2.7 C. 2.9 D. 3.1
【答案】C
【解析】 在 上,.
6.某空间站由 三个舱构成，某次实验需要 5 名宇航员同时在 3 个舱中开展，每个人只能去 1 个舱，每个舱至少安排 1 名宇航员，其中宇航员甲只能去 偏，则不同的安排方法的种数为
A. 35 B. 36 C. 42 D. 50
【答案】D
【解析】 有 3 人，
有 2 人， ，
有 1 人， .
7.如图，点 为矩形 边 的中点，以动直线 为折痕将矩形在其下方的部分向上翻折，每次翻折后点 都落在边 上，记该落点为 ，过点 作 垂直于 交直线 于点 ,点 的轨迹为曲线 的一部分,则 为
A. 圆 B. 椭圆 C. 双曲线 D. 抛物线
【答案】D
【解析】 为定点, 为 到定直线 的距离, 点轨迹为抛物线.
8.已知函数 的定义域为 ,且 为偶函数, 为奇函数, ,则
A. 1 B. 0 C. -1 D. -2
【答案】C
【解析】方法一: 为偶函数,则 关于 对称,
为奇函数,则 关于 对称, 周期为 ,
.
方法二: 由 为偶函数,得
令 ,则 即
由 为奇函数,得
令 ,则 即
由
在第二式中令 ,得
故 于是
又 ,所以
再由 ,取 ,得
再由 ,取 ,得 而
故 ,于是 并且以 4 为周期循环.
因此
每 4 项和为 故
又 所以 .
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9.已知数列 的前 项和为 ,若 ,则
A. B. C. D.
【答案】BD
【解析】 时, 错.
时, 是以 -1 为首项,2 为公比的等比数列, , B 对.
错.
, D对.
10.已知函数 ,则
A. 在区间 上单调递增
B. 恰有两个零点
C. 不等式 的解集为
D. 若 ，则 的最小值为 2
【答案】ABD
【解析】方法一: 时，
在 单调递增, A 对. 在 有且仅有一个零点, 为偶函数, 恰有两个零点, 对.
解集为 为错, 错.
,则 , D 对.
方法二: ,故 在 上单调递增, 对;
且 ,
又
,故 在 上唯一零点为 1,由偶函数得零点为 对;
由 且 在 上单调增,
再由定义域得 ,解集为 ,故 错;
若 ,则 ,且 ,
故 ,由单调性得 ;
设 ,则 ,当 时取等号,故 D 对.
11.已知四面体 满足 ，点 均在球 的表面上,球 与四面体的 4 个面均相切,过直线 的平面截四面体 所得的截面的面积为 ,则
A. 球 的表面积为
B. 当四面体 体积最大时,
C. 当 时， 的最大值为
D. 当 时， 的最小值为
【答案】ACD
【解析】由 ，可取 关于平面 对称；又由 ,可取 关于平面 对称.
设 , .
则 .
对 ,故球 半径 ,表面积 . A 正确.
对 中, ,故 .
平面 方程为 . 故点 到平面 的距离
.
于是四面体体积
又 ,当且仅当 时取等号,
故 ,此时 . 由对称性, 在 轴上,设 .
此时 . 平面 方程为 ,
平面 方程为 . 因 到各面距离相等, ,
即 . 解得 . 故 错误.
对 ,当 时, .
由四个面的方程可化为 .
设过 的截面平面在 平面内的迹线与 轴夹角为 ,由对称性只需取 .
平面内任一点可设为 .
则截面边界满足 .
设截面右侧顶点对应参数为 ,则 .
消去 得 .
截面关于 轴对称,其一条对角线为 中点到 中点,长为 ,
另一条对角线长为 . 故 .
又 ,当且仅当 时取等号;
并且 ,当且仅当 时取等号.
故 . C, D 正确.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分
12.已知随机变量 服从正态分布 ,若 ,则 ________.
【答案】0.8
【解析】 .
13.双曲线 的左、右焦点分别为 ,以 为直径的圆与 在第一象限的交点为 ,若直线 与 的一条渐近线平行,则 的离心率为_______.
【答案】
【解析】如图
14.记 内角 的对边分别为 , ,则 的最小值为________.
【答案】
【解析】 ,即
即 ,而
即 .
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
15.函数 的部分图像如图所示.
(1)当 时，求 的单调递增区间；
( 2 )已知 ，且 ，求 的值.
【解析】(1)由图知 ，
由 ,
，
令
的单调区间为 .
(2) ，

,
.
16.如图，在菱形 中， 为 的中点，将 沿 翻折至 ，得到四棱锥 .
(1)证明:平面 平面 ；
(2)当二面角 为 时,求 和平面 所成角的正弦值.
【解析】(1)证明:在菱形 中， 为等边三角形，
由翻折前后的关系 平面 平面 平面 平面 .
(2)二面角 的平面角为 ，如图建系.
设平面 的一个法向量
设 和平面 所成角为 .
17.已知函数 .
(1)讨论 的单调性;
(2)若存在 ,使得 ,求 的最大值.
【解析】
(1)
① 当 时， 在 上单调递减
② 当 时，令 ，
的单减区间为 ,单增区间为 .
(2)由
要使 尽可能大,考察
关于 .
18.在某生成式人工智能模型中，有一种简化的“词元生成器”，该模型只有两种词元 ，且生成词元总数不超过 . 若生成 ，则过程立即结束否则继续生成,直至总数达到 . 每个词元生成需要先预测,再审核. 假设每次预测为 的概率均为 0.5,且各次预测相互独立. 审核规则如下:
(1)若预测中第一次出现词元 ，则审核后生成 的概率均为 0.5，
(2)若预测中第二次出现词元 ；则审核后必生成 ；
(3)若预测中出现词元 ，则审核后必生成 .
设 表示过程结束时生成词元的总个数.
(1)求 ；
(2)求 的分布列；
(3)求 .
【解析】(1) ，
(2) 的所有可能取值为
当 时，前 次预测均未生成 (即前 次均生成 )， 第 次预测为 且审核后生成 前 次生成 等概率为:
也满足上式
的分布列如下:
(3)
①
②
①-②
.
19.已知 为坐标原点,椭圆 的离心率为 ,长轴长为 4 .
(1)求 的方程；
(2)若过 的直线 交 于 两点，点 在 上，点 为直线 与 轴的交点,点 的横坐标为点 横坐标的 3 倍.
(i) 证明: ;
(ii) 若点 部在曲线 上,求 的最大值.
【解析】(1)由题意知 方程为: .
(2)(i)证明:设 ， ，
关于原点对称,
而
.
(ii) 设 ,设
令 ①
,而
由①②消去
若 ,则左边 矛盾,舍去, ,
则 ,当且仅当 时,取 “ ”
.2.8
3.3
5.0
6.7
7.2
2.6
4.0
5.1
5.4
1
2
3
...
...