2026高考总复习优化设计二轮数学专题练习_专题突破练8　空间几何体的表面积与体积（含解析）

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1.(2025辽宁大连模拟)已知圆台的上、下底面的面积分别为4π,36π,侧面积为64π,则该圆台的高为( )
A.23B.33
C.43D.53
2.(2025广东汕头一模)若圆锥的侧面展开图是半径为3、圆心角为2π3的扇形,则该圆锥的体积为( )
A.22π3B.22π
C.62πD.π3
3.(2025浙江金华二模)如图,AB,CD是棱长为2的正方体展开图中的两条线段,则原正方体中几何体ABCD的表面积为( )
A.6+42B.6+23
C.2+22+43D.2+42+43
4.(2025江苏盐城模拟)如图,圆锥PO的轴截面为边长为4的正三角形,过PO的中点O'作平行于底面的截面,以截面为底面挖去一个圆柱,则余下几何体的表面积为( )
A.11π+3πB.11π+23π
C.12π+3πD.12π+23π
5.(2025陕西西安一模)正三棱锥S-ABC侧棱长为1,E,F分别是SA,SC上的动点,当△BEF周长的最小值为2时,三棱锥的侧面积为( )
A.34B.1
C.54D.2
6.(多选题)(2025浙江湖州模拟)如图,该几何体是高相等的正四棱柱和正四棱锥组成的几何体,若该几何体底面边长和上面正四棱锥的侧棱长均为10 cm,则下列选项中正确的是( )
A.该几何体的高为102 cm
B.该几何体的表面积为(1003+2002)cm2
C.该几何体的体积为2 00023 cm3
D.一只小蚂蚁从该几何体表面由点E爬行到点S,所经过的最短路程为150+506 cm
7.(2025广东惠州模拟)在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90°,且AD=2,AB=4, BC=5.在梯形ABCD内,挖去一个以A为圆心,以2为半径的四分之一圆,得到如图所示的阴影部分,以AB所在直线为轴,将图中阴影部分旋转一周形成的旋转体的表面积为 .
8.(2025湖南怀化模拟)如图,底面半径为4的圆锥,将其放倒在一平面上,使圆锥在此平面内绕圆锥顶点S滚动,当这个圆锥在平面内转回原位置时,圆锥本身恰好滚动了2周,则圆锥的表面积为 .
9.(2024全国甲,理14)已知圆台甲、乙的上底面半径均为r1,下底面半径均为r2,圆台的母线长分别为2(r2-r1),3(r2-r1),则圆台甲与乙的体积之比为 .
10.(2025浙江绍兴模拟)已知正三棱台的上底面边长是下底面边长的一半,侧棱长为2,过侧棱中点且平行于底面的截面三角形的边长为3,则正三棱台的体积为 .
关键能力提升练
11.(2025湖北襄阳模拟)一个直三棱柱形容器中盛有水,侧棱AA1=18,底面三角形ABC边AB上的高为h.当底面水平放置时水面高度为16(如图1).当侧面AA1B1B水平放置时(如图2),水面高度为( )
图1
图2
A.13hB.12h
C.22hD.23h
12.(2022全国甲,理9,文10)甲、乙两个圆锥的母线长相等,侧面展开图的圆心角之和为2π,侧面积分别为S甲和S乙,体积分别为V甲和V乙.若S甲S乙=2,则V甲V乙=( )
A.5B.22
C.10D.5104
13.(多选题)(2025江苏南京模拟)“阿基米德多面体”又称“半正多面体”,与正多面体类似,它们也都是凸多面体,每个面都是正多边形,并且所有棱长也都相等,但不同之处在于阿基米德多面体的每个面的形状不全相同.有几种阿基米德多面体可由正多面体进行“截角”得到,如图,正八面体E-ABCD-F的棱长为3,取各条棱的三等分点,截去六个角后得到一种阿基米德多面体,则该阿基米德多面体( )

A.共有18个顶点
B.共有36条棱
C.表面积为6+83
D.体积为82
14.(多选题)(2025广东深圳模拟)如图,圆锥SO底面圆的圆心为O,AB是圆O的一条直径,SA与底面所成角的正弦值为223,AB=4,P是母线SA的中点,C是母线SB上一动点,则下列说法正确的是( )
A.圆锥SO的母线长为12
B.圆锥SO的表面积为16π
C.一只蚂蚁沿圆锥SO的表面上的曲线ACP从点A处爬到点P处,在蚂蚁所爬的最短路径中,这只蚂蚁离圆锥SO的顶点S的最短距离是3217
D.在圆锥SO内放置一个可以绕着中心任意旋转的正方体,则该正方体的体积的最大值是1669
15.(2025北京西城一模)端午节又名端阳节、粽子节等,它是中国首个入选世界非遗的节日.从形状来分,端午节吃的粽子有三角粽、四角粽、枕形粽、牛角粽等.其中,四角粽的形状可以近似看成一个四面体ABCD,如图所示.设棱AD的长为6 cm,其余的棱长均为26 cm,则该四角粽的表面积为 cm2,体积为 cm3.(粽叶的厚度忽略不计)

核心素养创新练
16.(2025湖北武汉模拟)如图,在棱长为1的正方体内部,有8个以正方体顶点为球心且半径相等的部分球体Oi(i=1,2,…,8),有1个以正方体中心为球心的球O0,O0与Oi(i=1,2,…,8)均相切,则该9部分的体积和的最大值为( )

A.3π4B.(23-3)π
C.(3-32)πD.3π8
答案：
1.C 解析 作圆台的轴截面,如图所示.
由题意得圆台的上、下底面的半径分别为2,6,设圆台的母线长为l,高为h,则该圆台的侧面积S侧=π×(2+6)×l=64π,解得l=8,所以h=l2-(6-2)2=43.
2.A 解析 设圆锥的母线长为l,底面半径为r,高为h,则l=3,由题意可得2πr=2π3×3,即r=1,所以h=l2-r2=22,故圆锥的体积V=22π3.
3.B 解析 还原正方体如图所示,
BC=CD=BD=22,S△BCD=12×22×22×sinπ3=23,S△ABD=S△ACD=S△ABC=12×2×2=2,
所以四面体ABCD的表面积为6+23.
4.D 解析 作出圆锥PO的轴截面△PAB,此截面截挖去的圆柱得圆柱的轴截面矩形CDEF,如图所示.
依题意,△PAB是边长为4的正三角形,所以OB=2,OP=23.
因为O'是PO中点,所以OO'=12PO=3,OC=O'D=12OB=1,圆锥母线PB=4,圆柱OO'的侧面积S1=2π·OC·OO'=23π,圆锥PO的表面积S2=π·OB2+π·OB·PB=4π+8π=12π,所以余下几何体的表面积是S1+S2=12π+23π.
5.A 解析 作正三棱锥S-ABC的侧面展开图,如图所示,连接BB',
当E,F分别为BB'与SA,SC的交点时,△BEF的周长最小,此时BB'=2,而SB=SB'=1,所以SB2+SB'2=2=BB'2,所以∠BSB'=90°,所以∠ASB=30°,所以三棱锥的侧面积为3×12SA×SBsin 30°=34.
6.ACD 解析 由题可知EF=SA=10 cm,所以AC=102 cm,所以OA=52 cm,所以SO=SA2-OA2=52 cm,因此该几何体的高为102 cm,所以A正确;
几何体的表面积为102+40×52+4×34×102=100+2002+1003(cm2),所以B错误;
该几何体的体积为102×52+13×102×52=2 00023(cm3),所以C正确;
观察图形知,小蚂蚁从点E爬行到点S的最短路径为沿表面越过棱AB或AD,由对称性,不妨取长方形EFBA及△SAB,将它们置于同一平面内,连接SE,如图,取EF中点H,连接SH,则SH=53+52,而EH=5,所以最短路程为SE=EH2+SH2=52+(52+53)2=150+506(cm),所以D正确.故选ACD.
7.68π 解析 由题意可知阴影部分以AB所在直线为轴,旋转一周形成的旋转体为一个圆台挖去一个半球,其中圆台的上、下底面半径分别为2和5,高为4,母线长为(5-2)2+42=5,挖去半球的半径为2,故形成的旋转体的表面积为π×52+π(2+5)×5+12×4π×22=68π.
8.48π 解析 设圆锥的母线长为l,底面半径为r=4,则2πl=2×2πr,解得l=2r=8,所以圆锥的表面积为π×8×4+π×42=48π.
9.64 解析 如图,由题意,可知V甲V乙=h甲h乙=4(r2-r1)2-(r2-r1)29(r2-r1)2-(r2-r1)2=322=64.
甲
乙
10.1423 解析 如图,延长三棱台ABC-A1B1C1的侧棱交于一点O,可以得到正三棱锥O-ABC,
设三棱台的上底面边长为x,下底面边长为2x,则有2x+x2=3,即x=2,由题可得正三棱锥的侧棱长为2×2=4,过点O作OP⊥平面ABC,交平面A1B1C1于点E,记BC的中点为H,则AP=23AH=23×23=433,则OP=42-(433) 2=463,故三棱台的体积为78×13×(34×42)×463=1423.
11.D 解析 设底面三角形ABC的面积为S,当底面ABC水平放置时,水面高度为16,所以水的体积V=16S,设侧面AA1B1B水平放置时,水呈四棱柱体,设四棱柱体的底面梯形的面积为S',则V=18S',所以16S=18S',所以S'S=1618=89,设四棱柱体的底面梯形的高为h',则可得(h-h'h)2=19,解得h'=23h.
12.C 解析 如图,甲、乙两个圆锥的侧面展开图刚好拼成一个圆,设圆的半径(即圆锥的母线长)为3,
则圆的周长为6π,甲、乙两个圆锥的底面半径分别为r1,r2,高分别为h1,h2,则2πr1=4π,2πr2=2π,则r1=2,r2=1,由勾股定理得,h1=5,h2=22,所以V甲V乙=13πr12h113πr22h2=22×512×22=10,故选C.
13.BD 解析 由图可知该多面体有24个顶点,36条棱,故A错误,B正确;
该多面体的棱长为1,且表面由6个正方形和8个正六边形组成,故该多面体的表面积为6×1+8×6×12×1×1×sin 60°=6+123,故C错误;
正八面体E-ABCD-F可分为两个全等的正四棱锥,其各棱长均为3,在四棱锥E-ABCD中,过E作EO⊥平面ABCD于点O,连接AO,如图所示.
因为EO⊥平面ABCD,且OA⊂平面ABCD,所以OE⊥OA.在正方形ABCD中,因为边长为3,所以OA=322.
在Rt△AOE中,EO=AE2-AO2=322,则正八面体E-ABCD-F的体积为13×32×322×2=92.
切割掉6个棱长均为1的正四棱锥,减少的体积为6×13×12×22=2,所以该阿基米德多面体的体积为92-2=82,故D正确.
故选BD.
14.BCD 解析 如图1,圆锥SO的轴截面为等腰三角形SAB,则OA=2.
图1
图2
因为SA与底面所成角的正弦值为223,所以SOSA=223,所以SA2-OA2SA=223,解得SA=6,故A错误;
如图2,在圆锥SO的侧面展开图中,SA=6,∠ASA'=4π6=2π3,则圆锥的侧面积为12×2π3×62=12π,所以圆锥SO的表面积为12π+4π=16π,故B正确;
如图2,易知AP为蚂蚁所爬的最短路径,过点S作SH⊥AP,垂足为H.
在△ASP中,AS=6,SP=3,∠ASP=2π3,由余弦定理可得AP=AS2+SP2-2AS·SPcs∠ASP=37,则12AS·SPsin∠ASP=12AP·SH,即12×6×3×32=12×37SH,解得SH=3217,故C正确;
如图1,设圆锥SO内切球的球心为O',过点O'作O'E⊥SA,O'F⊥SB,垂足分别为E,F,由题意可知sin∠SAO=223,则sin∠ASO=13,所以O'ESO'=O'OSO-OO'=13.因为SA=6,OA=2,所以SO=42,所以O'O42-OO'=13,解得O'O=2.
设该正方体棱长的最大值为a,则3a2=(22)2,解得a=263,所以该正方体的体积的最大值是a3=1669,故D正确.故选BCD.
15.123+615 66 解析 cs∠ACD=AC2+CD2-AD22AC×CD=14,
所以sin∠ACD=1-cs2∠ACD=154,
所以该四角粽的表面积S=2×34×(26)2+2×12×26×26×154=123+615.
取BC的中点为O,连接OA,OD,则OA⊥BC,OA=OD=32×26=32,
所以OA2+OD2=AD2,即OD⊥OA,
又BC∩OD=O,BC,OD⊂平面BCD,所以OA⊥平面BCD,所以该四角粽的体积V=13×S△BCD×OA=13×34×(26)2×32=66.
16.C 解析 设球体O0的半径为r1,Oi(i=1,2,…,8)的半径为r2,所以2r1+2r2=3,即得r1+r2=32,0