2026年高考数学二轮专题复习14 空间几何体的表面积和体积（六大考点）试题（含答案）

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考点01：斜二测画法及应用
1、画空间图形的直观图，一般先用斜二测画法画出水平放置的平面图形，再画z轴，
并确定竖直方向上的相关的点，最后连点成图便可；
2、直观图画法口诀可以总结为：“横长不变，纵长减半，竖长不变，平行关系不变”；
3、当几何体的形状确定后，用斜二测画法画出相应几何体的直观图.注意用实线表示看得见的部分，用虚线表示看不见的部分，画完直观图后还应注意检验；
结论：直观图与原图面积之间的关系：若一个平面多边形的面积为S，其直观图的面积为S′，
则有S′＝eq \f(\r(2),4)S或S＝2eq \r(2)S′；利用这一公式可由原图形面积求其直观图面积或由直观图面积求原图形面积；
1．一水平放置的平面四边形的直观图如图所示，其中，轴，轴，轴，则四边形的面积为（ ）
A．18B．C．D．12
【答案】C
【分析】根据梯形面积公式求出直观图的面积，然后由直观图面积与平面图面积之间的关系可得.
【详解】记与轴的交点为D，
因为轴，轴，所以，
又轴，所以四边形为平行四边形，，
由题意可知：，
因为，，所以，，
则四边形的面积为，
所以四边形的面积为.
故选：C.
2．如图,直角梯形满足,它是水平放置的平面图形的直观图,则该平面图形的周长是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】结合斜二测画法的规则,将直观图即直角梯形还原成平面图形,结合勾股定理算出各边长度即可求解.
【详解】由题意,,由可得,
由,
可得,所以,
而，
所以，
结合斜二测画法的规则,将直观图即直角梯形还原成平面图形，
如图所示：
由勾股定理可得，
所以满足题意的平面图形的周长是.
故选:C.
3．如图所示，正方形的边长为，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原平面图形的周长是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据斜二测画法画直观图的性质，即平行于轴的线段长度不变，平行于轴的线段的长度减半，结合图形求得原图形的各边长，可得周长．.
【详解】
直观图正方形的边长为，，
原图形为平行四边形，如图：
其中，高，
，
原图形的周长.
故选：A.
4．用斜二测画法画出的水平放置的的直观图如图所示，其中是的中点，且轴， 轴， ，那么（ ）
A．B．2C．D．4
【答案】D
【分析】根据斜二测画法确定原图形，求解即可.
【详解】根据题意，把直观图还原出原平面图形为等腰三角形，如图所示，
其中，，，
原平面图形的面积为.
故选：D．
5．如图，是水平放置的平面图形的斜二测直观图，若，且，则原图形中边上的高为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据题意，由三角形面积公式求出的长，结合斜二测画法可得原图中的长.
【详解】画出平面直角坐标系，在轴上取，即，
在图①中，过作轴，交轴于，在轴上取，
过点作轴，并使，
连接，则即为原来的图形，如图②所示：
原图形中，于点，
则BD为原图形中边上的高，且，
在直观图③中作于点，则的面积，
在直角三角形中，，
所以，
故原图形中AC边上的高为．
故选：D．
6．已知梯形按斜二测画法得到的直观图为如图所示的梯形，且，，，现将梯形绕㯀转一周得到一个几何体，则该几何体的侧面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】将梯形复原为原图即直角梯形，确定相关的边长，结合题意以及圆台的侧面积公式，即可求得答案.
【详解】由题意将梯形复原为原图，即直角梯形，
其中，则，
故将梯形绕㯀转一周得到一个几何体为圆台，
圆台上底面半径为1，下底面半径为4，高为4，母线长为5，
故该几何体的侧面积为，
故选：C
7．如图，是水平放置的用斜二测画法画出的直观图（图中虚线分别与轴和轴平行），，，则的面积为（ ）

A．B．C．24D．48
【答案】D
【分析】由直观图得到平面图形，再求出相应的线段长，最后由面积公式计算可得.
【详解】由直观图可得如下平面图形：
其中，，，轴，且，
所以.
故选：D

8．水平放置的的直观图如图，其中，，那么原是一个（ ）

A．等边三角形B．直角三角形
C．三边中只有两边相等的等腰三角形D．三边互不相等的三角形
【答案】A
【分析】根据斜二测画法的规则求解即可.
【详解】由图形知，在原中，，如图，

因为，所以，
，，
又，.
为等边三角形.
故选：A
9．一个水平放置的平面图形的直观图是一个底角为，腰和上底长均为1的等腰梯形，则该平面图形的面积等于（ ）．
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据斜二测直观图的特点可知原图形为一直角梯形，由梯形面积公式求解.
【详解】解：如图，恢复后的原图形为一直角梯形，
所以.
故选：B.
10．如图所示，一个水平放置的四边形OABC的斜二测画法的直观图是边长为2的正方形，则原四边形的面积是（ ）
A．B．C．16D．8
【答案】B
【分析】根据斜二测画法规则求出，判断的形状，确定，由此求出原四边形的面积.
【详解】在正方形中可得，
由斜二测画法可知，，
且，，
所以四边形为平行四边形，
所以．
故选：B.
考点02：空间几何体的表面积
侧面积和表面积
11．蒙古包是我国蒙古族牧民居住的房子，适于牧业生产和游牧生活．如图所示的蒙古包由圆柱和圆锥组合而成，其中圆柱的高为，底面半径为是圆柱下底面的圆心．若圆锥的侧面与以为球心，半径为的球相切，则圆锥的侧面积为（ ）

A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据题意结合圆柱、圆锥以及球的结构特征解得圆锥母线长，进而可求圆锥的侧面积.
【详解】设为圆锥高，为圆锥母线长
以为球心，半径为4的球与圆锥侧面相切，则，
在中，，可得，
且，则，解得，
所以圆锥的侧面积为.
故选：C.
12．某圆台的下底面周长是上底面周长的4倍，母线长为10，该圆台的侧面积为，则该圆台的体积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】设圆台的上底面的半径为r，下底面的半径为R，则由题意可得，再由圆台的侧面积列方程可求出，从而可求出上下底面面积和圆台的高，进而可求出台的体积.
【详解】设圆台的上底面的半径为r，下底面的半径为R，则，故，
因为该圆台的侧面积为，母线长，
所以，解得，则，
所以圆台上底面的面积为，下底面的面积为，
圆台的高
所以该圆台的体积．
故选：C．
13．已知正三棱台的上底面积为，下底面积为，高为2，则该三棱台的表面积为（ ）
A．B．C．D．18
【答案】A
【分析】由上下底面的面积可求出上下底面边长，构造直角三角形结合棱台的高求出侧面梯形的高，求出侧面积后得表面积.
【详解】由面积公式可得正三棱台上下底面边长分别为和，
设在底面内的射影为，作于，
平面，平面，则有，
又，，平面，所以平面，
平面，所以，
由，，，则，
又，所以，则，
故三棱台的侧面积为，表面积为.
故选：A.
14．在正四棱台中，，若正四棱台的高为，则其表面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】设，则，连接，交于点，连接交于点，连接，即可得到为正四棱台的高，由勾股定理求出，再求出斜高，最后由表面积公式计算可得.
【详解】设，则，
如图，连接，交于点，连接交于点，连接，
由正四棱台的几何性质可知分别是上､下底面的中心，
所以平面平面，所以为正四棱台的高，
所以由题可知，过点作交于点，
则，即，解得，
过点作交于点，则为斜高，此时，
所以正四棱台的表面积为.
故选：D.
15．已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，为底面直径，，，点C在底面圆周上，且二面角为，则（ ）
A．该圆锥的侧面积为B．该圆锥的体积为
C．的面积为D．
【答案】D
【分析】依题意可得底面半径及高，由圆锥的体积公式判断B，由侧面积公式判断B，设是的中点，连接，则是二面角的平面角，求出判断D，再求出的面积判断C.
【详解】依题意，，，所以，
对于A，圆锥的侧面积为，故A错误；
对于B，圆锥的体积为，故B错误；
对于D，设是的中点，连接，
则，所以是二面角的平面角，
则，所以，
故，则，故D正确
对于C，，所以，故C错误；
故选：D
16．已知圆锥的底面半径为2，其侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则该圆锥的侧面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据半径求底面周长，由弧长公式可得母线长，然后可得侧面积.
【详解】因为底面半径，所以底面周长，
又圆锥母线长，所以圆锥侧面积．
故选：A．
17．在一个圆锥中，为圆锥的顶点， 为圆锥底面圆的圆心，为线段的中点，为底面圆的直径， 是底面圆的内接正三角形，
①平面；
②平面；
③圆锥的侧面积为；
④三棱锥的内切球表面积为．
其中正确的结论个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】根据正弦定理求得圆锥的底面半径，从而求得圆锥的高，再计算出圆锥的侧面积即可判断③；采用反证的方法可判断①；根据线面垂直的判定定理可判定平面判断②；求出三棱锥的各个面的面积及体积，再利用等体积法求出内切球的半径，即可判断④．
【详解】由是底面圆的内接正三角形，，
设圆锥的底面半径为r，则可得，即，解得.

因为，故高，
所以圆锥的侧面积，故③正确；
假设平面，由于平面，平面平面，故，
则，而因为为底面圆的直径，
又，且（矛盾），
故、不可能平行，所以与平面不平行；故①错误；
因为为线段的中点，故，
则，，，
故，，又，平面，
所以平面，故②正确；
又，
，
，
设三棱锥的内切球的半径为，
则，
即，解得，，
所以三棱锥的内切球的表面积，故④正确．
综上有②③④正确.
故选：C．
18．已知圆锥的顶点为，母线所成角的余弦值为，且该圆锥的母线是底面半径的倍，若的面积为，则该圆锥的表面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据条件，求圆锥的底面半径和母线长，再根据公式求圆锥的表面积.
【详解】如图：
设圆锥底面为，母线长为，母线，夹角为，则，所以.
因为的面积为，所以.
又.
所以圆锥的表面积为：.
故选：B
19．《九章算术》是我国古代的数学专著，是“算经十书”（汉唐之间出现的十部古算书）中非常重要的一部．在《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”．已知“堑堵”的所有顶点都在球的球面上，且．若球的表面积为，则这个三棱柱的表面积是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由已知条件确定球心的位置，根据球的半径求得棱柱的高，可计算表面积.
【详解】设，的中点分别为，，连接，取的中点．
直三棱柱中，，，
四边形是平行四边形，有，
因为三棱柱的底面是直角三角形，，所以，，
，分别是，的外接圆圆心．
因为平面，所以平面，
所以为的外接球的球心．
连接，因为球的表面积为，所以球的半径为1，即，
，则，，可得，，
所以三棱柱的表面积，
故选：C．
20．如图，为球形物品设计制作正四面体、正六面体、正八面体形状的包装盒，最少用料分别记为，则它们的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】由题意包装盒的最少用料为球形物品的外切多面体，根据多面体的结构特征求出正四面体、正六面体、正八面体形状的包装盒的内切球半径与其表面积的关系，再进行比较.
【详解】由题意包装盒的最少用料为球形物品的外切多面体，下面求正四面体、正六面体、正八面体形状的包装盒的内切球的半径与其表面积的关系.
设球形物品的半径为，则正方体的棱长为，表面积；
设正四面体的棱长为，则正四面体的表面积为，
如图正四面体，由正四面体的对称性与球的对称性可知内切球的球心在正四面体的高上，如图，
底面等边三角形的高，外接圆半径，正四面体的高，
体积，
所以，又，所以，
所以正四面体的表面积；
设正八面体的棱长为，如图，
在正八面体中连接，，，可得，，互相垂直平分，四边形为正方形，，
在中，，
则该正八面体的体积，
该八面体的表面积，
因为，即，解得，
所以，
所以.
故选：B.
考点03：空间几何体的体积
21．某小区花园内现有一个圆台型的石碑底座，经测量发现该石碑底座上底面圆的半径为1，且上底面圆直径的一端点的投影为下底面圆半径的中点，高为3，则这个圆台的体积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据题意可得圆台上下底面的半径以及圆台的高，代入圆台体积公式即可得解.
【详解】如图，设圆台上､下底面圆心分别为为点在底面的投影点，上､下底面圆的半径分别为，，
由题意得，设上底面圆的面积与下底面圆的面积分别为，
所以该圆台容器的容积，
故选：C.
22．如图，是圆锥底面中心到母线的垂线，绕轴旋转一周所得曲面将圆锥分成体积相等的两部分，则母线与轴的夹角余弦值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】设，设所求角并表示出，利用绕轴旋转一周所得曲面将圆锥分成体积相等的两部分，求得关系式，即可得答案.
【详解】
设，则，
令大圆锥的体积为，圆锥和圆锥的体积分别为，
，，
由题意可得：，解得，
故选：B
23．中国载人航天技术发展日新月异.目前，世界上只有3个国家能够独立开展载人航天活动.从神话“嫦娥奔月”到古代“万户飞天”，从诗词“九天揽月”到壁画“仕女飞天”……千百年来，中国人以不同的方式表达着对未知领域的探索与创新.如图，可视为类似火箭整流罩的一个容器，其内部可以看成由一个圆锥和一个圆柱组合而成的几何体.圆柱和圆锥的底面半径均为2，圆柱的高为6，圆锥的高为4.若将其内部注入液体，已知液面高度为7，则该容器中液体的体积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】结合轴截面分析可知，，再利用圆柱以及圆台的体积公式运算求解.
【详解】由题意可知：容器中液体分为：下半部分为圆柱，上半部分为圆台，
取轴截面，如图所示，分别为的中点，
可知：∥∥，且，
可得，即，
所以该容器中液体的体积为.
故选：A.
24．设四棱台的上、下底面积分别为，，侧面积为，若一个小球与该四棱台的每个面都相切，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】利用体积相等可得答案.
【详解】设内切球的球心为，连接，
则把四棱台分割成六个四棱锥，
且六个四棱锥的高都为内切球的半径，
四棱台的高为，所以
，
化简可得.
故选：D.
25．最早的测雨器记载见于南宋数学家秦九韶所著的《数书九章》（1247年）.该书第二章为“天时类”，收录了有关降水量计算的例子，其中“天池测雨”法是下雨时用一个圆台形的天池盆收集雨水来测量平地降雨量（盆中水的体积与盆口面积之比）已知天池盆盆口直径为一尺四寸，盆底直径为六寸，盆深一尺二寸.当盆中积水深六寸（注：1尺寸）时，平地降雨量是（ ）
A．1寸B．2寸C．3寸D．4寸
【答案】B
【分析】根据描述先求解圆台形盆内水面的半径，然后计算水的体积，最后可得降雨量.
【详解】由已知天池盆上底面半径是7寸，下底面半径是3寸，高为12寸，
由积水深6寸知水面半径为寸，
则盆中水体积为(立方寸)；
所以平地降雨量为 (寸)，
故选：B.
26．菏泽市博物馆里，有一条深埋600多年的元代沉船，对于研究元代的发展提供了不可多得的实物资料.沉船出土了丰富的元代瓷器，其中的白地褐彩龙风纹罐（如图）的高约为，把该瓷器看作两个相同的圆台拼接而成（如图），圆台的上底直径约为，下底直径约为，忽略其壁厚，则该瓷器的容积约为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据圆台体积公式求解.
【详解】根据题意，.
故选：B
27．如图，圆柱形容器内部盛有高度为的水，若放入3个相同的铁球（球的半径与圆柱底面半径相等）后，水恰好淹没最上面的铁球，则一个铁球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】设铁球的半径为，根据体积关系列出方程，求得，结合球的表面积公式，即可求解.
【详解】设铁球的半径为，有，解得，
则一个铁球的表面积为．
故选：B．
28．已知是圆锥的轴截面，点C在SA上，且.若过点C且平行于SB的平面恰过点，且该平面与圆锥底面所成的二面角等于，则该圆锥的体积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由题意知，，且且该平面与圆锥地面所成的二面角等于，即，进一步可得是边长为的等边三角形，再由圆锥的体积公式，求解即可．
【详解】

由过点C且平行于SB的平面恰过点O，知，根据二面角定义知，
因为O是AB的中点，
所以C是SA的中点，且，
因为，
所以是边长为的等边三角形，
所以圆锥的底面半径为，圆锥的高为
所以该圆锥的体积为.
故选：C.
29．若一个多面体的各面都与一个球的球面相切，则称这个球是这个多面体的内切球．在四棱锥中，侧面是边长为1的等边三角形，底面为矩形，且平面平面．若四棱锥存在一个内切球，设球的体积为，该四棱锥的体积为，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】过点作出四棱锥的内切球截面大圆，确定球半径表达式，再借助四棱锥体积求出球半径计算作答.
【详解】如图，取中点，中点，连接，，，
因是正三角形，则，又是矩形，有，
而平面平面，平面平面，平面，平面，
因此平面，平面，
又，则平面，平面，则，，
，平面，则平面，又平面，
所以，而，则，显然，
由球的对称性和正四棱锥的特征知，平面截四棱锥的内切球得截面大圆，
此圆是的内切圆，切，分别于，，有四边形为正方形，
设，又，，则球的半径，
又四棱锥的表面积为，
由，解得，
，，
所以.
故选：C.
30．泉州花灯技艺源于唐朝中期从形式上有人物灯、宫物灯、宫灯，绣房灯、走马灯、拉提灯、锡雕元宵灯等多种款式．在2024年元宵节，小明制做了一个半正多面体形状的花灯，他将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，共截去八个三棱锥，得到一个有十四个面的半正多面体，如图所示．已知该半正多面体的体积为，M为的中心，过M截该半正多面体的外接球的截面面积为S，则S的最大值与最小值之比（ ）
A．B．C．3D．9
【答案】C
【分析】利用半正多面体和中心对称性，确定外接球球心和半径，再去找到最大截面圆和最小截面圆的半径，即可求出它们的比值.
【详解】把这个半正多面体补全为正方体，再设该正方体的边长为，
则每个截去的小三棱锥的体积为，
所以该半正多面体的体积：，解得，
由图可知，半正多面体的外接球半径是，
由正方体的性质易证明平面平面：
又因为在正方体中平面，所以平面，
所以过点截外接球的最小截面圆的半径是，最大截面圆的半径是，
即的最小值比最大值等于，则最大值比最小值等于3.
故选：C.
考点04：空间几何体的外接球
球的外接问题
1、公式法
正方体或长方体的外接球的球心为其体对角线的中点
2、补形法（补长方体或正方体）
①墙角模型（三条线两个垂直）
题设：三条棱两两垂直（重点考察三视图）

②对棱相等模型（补形为长方体）
题设：三棱锥（即四面体）中，已知三组对棱分别相等，求外接球半径（，，）
3、单面定球心法（定+算）
步骤：①定一个面外接圆圆心：选中一个面如图：在三棱锥中，选中底面，确定其外接圆圆心（正三角形外心就是中心，直角三角形外心在斜边中点上，普通三角形用正弦定理定外心）；
②过外心做（找）底面的垂线，如图中面,则球心一定在直线（注意不一定在线段上）上；
③计算求半径:在直线上任取一点如图：则，利用公式可计算出球半径.
4、双面定球心法（两次单面定球心）
如图：在三棱锥中：
①选定底面，定外接圆圆心
②选定面，定外接圆圆心
③分别过做面的垂线，和做面的垂线，两垂线交点即为外接球球心.
31．如图，已知在四棱锥中，底面四边形为等腰梯形，，，底面积为，且，则四棱锥外接球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】取的中点为，即可说明点为梯形外接圆的圆心，再证明平面，过的中点作交于点，则平面，即可得到为四棱锥外接球球心，外接球半径为，从而求出表面积.
【详解】取的中点为，因为，等腰梯形的面积为，
所以梯形的高为，所以，则，所以，连接、，
所以、为等边三角形，点为梯形外接圆的圆心，
连接，在中，根据余弦定理得，即，解得.
因为，，所以，所以.
因为，，平面，所以平面，
过的中点作交于点，则平面，且为的中点，
所以点为外接圆圆心，所以为四棱锥外接球球心，
所以外接球半径为，故表面积.
故选：D
32．若某圆锥的内切球与外接球的球心重合，且内切球表面积为，则该圆锥的体积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】过圆锥的旋转轴作轴截面，由题意可求得轴截面内切圆的半径为1，进而求出圆锥的底面半径和高，代入圆锥体积公式，可得答案．
【详解】
如图，由题意知内切圆和外接圆同圆心，即的内心与外心重合，则为正三角形，
因为内切球表面积为，设内切圆的半径为，则，所以内切圆的半径为1，
所以的边长为，
所以圆锥的底面半径为，又高为，
故圆锥体积，
故选：B.
33．已知圆锥的轴截面是一个正三角形，其中是圆锥顶点，AB是底面直径．若C是底面圆O上一点，P是母线SC上一点，，，则三棱锥外接球的表面积是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】取点D在母线SA上且，可证明三棱锥与三棱锥外接球相同，再由正弦定理求出三角形的外接圆半径即为外接球半径得解.
【详解】如图，
设点D在母线SA上且，
因为是直角三角形，所以三棱锥外接球的球心E在SO上，
由 ≌，可得，
即三棱锥外接球的球心E也是三棱锥外接球的球心，且两个外接球的表面积相等．
由，得的外心即为三棱锥外接球的球心E．
在中，，
所以的外接圆的直径，
所以三棱锥外接球的表面积是，
故选：C．
34．在棱长为2的正方体中，，分别为，的中点，则三棱锥外接球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据题意，三棱锥与三棱柱外接球相同.确定球心位置，利用正弦定理，余弦定理，勾股定理，求出球的半径，再利用球的表面积公式即可求解.
【详解】如图，
设，分别为棱，的中点，
则三棱锥与三棱柱外接球相同.
在中，，
由余弦定理，所以；
设外接圆半径为，
在中，由正弦定理，故外接圆半径，
设三棱柱外接球半径为，由勾股定理，
则三棱锥外接球的表面积.
故选：D
35．已知在直三棱柱中，，，为线段的中点，点在线段上，若平面，则三棱锥外接球的体积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】解法一：根据题意，将三棱锥及平面，得到的外接圆圆心为的中点，得到球心在过点且与平面垂直的直线上，设三棱锥的外接球的球心为，连接，，，再设三棱锥的外接球的半径为，在直角梯形中，求得，结合体积公式，即可求解；
解法二： 以为坐标原点，建立空间直角坐标系，设三棱锥的外接球球心为，列出方程组，求得，结合体积公式，即可求解.
【详解】解法一：因为平面，平面，平面平面，
所以，又因为为的中点，所以为的中点，
将三棱锥及平面单独拿出来，如图所示，
可得，，，则，
所以，故的外接圆圆心为的中点，
故三棱锥的外接球的球心在过点且与平面垂直的直线上，
设三棱锥的外接球的球心为，当，在平面的同侧时，
连接，则平面．取的中点，连接，则，，
由于平面平面，平面平面，
因此平面，连接，，
因为为的中点，为的中点，所以，
设三棱锥的外接球的半径为，连接，，
在中，，
所以在直角梯形中，
，得，
当，在平面的两侧时，，无解，
综上可得，则三棱锥的外接球的体积．
解法二： 因为平面，平面，平面平面，
所以．（点拨：线面平行性质定理的应用）
又为的中点，所以为的中点，
以为坐标原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，如图所示，
则，，，，
设三棱锥的外接球球心为，
则，
解得，，，所以，
所以三棱锥的外接球的半径，
体积．
故选：A．
36．在梯形中, ，且，沿对角线将三角形折起，所得四面体外接球的表面积为，则异面直线与所成角为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据折叠前后的几何性质，将三棱锥补成三棱柱，利用三棱柱的外接球即可求得答案.
【详解】如下图，将梯形补成长方形，折后得到直三棱柱，
因为，所以，
异面直线与所成角即为与所成角，即或其补角，
又该三棱柱的外接球即为三棱锥的外接球，设外接球半径为R，则，
所以，设外接圆半径为r，圆心为，外接圆圆心为，
则三棱柱的外接球的球心为的中点O，连接，则，
所以，又，即，
又中，，
即，
化简得，即，所以，
故选：C.

37．在直三棱柱中，为等边三角形，，则三棱柱的外接球的体积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】分别是正三棱柱上、下底面中心，则的中点是该三棱柱外接球的球心，求出球半径后可得体积．
【详解】如图，分别是正三棱柱上、下底面中心，是棱柱的高，则的中点是该三棱柱外接球的球心，
外接球半径．其中点为外接圆圆心，为外接圆半径，
为正三角形，（是边中点）．
所以外接球半径．从而外接球体积为．
故选：D．
38．“阿基米德多面体”也称半正多面体，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，它体现了数学的对称美．如图是以正方体的各条棱的中点为顶点的多面体，这是一个有八个面为正三角形，六个面为正方形的“阿基米德多面体”，若该多面体的棱长为，则该多面体外接球的表面积为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】将该多面体补全为正方体，得出该多面体的外接球即为正方体的棱切球，求出该正方体的棱长得出棱切球半径，计算得到表面积.
【详解】将“阿基米德多面体”补全为正方体，如下图所示：
不妨取两棱中点为，由题知，
易知，可得，
所以正方体的棱长为2，该多面体的外接球即为正方体的棱切球，
所以棱切球的直径为该正方体的面对角线，长度为，
因此该多面体的外接球的半径为，所以其表面积为.
故选：A
39．榫卯结构是中国古代建筑文化的瑰宝，在连接部分通过紧密的拼接，使得整个结构能够承受大量的重量，并且具有较高的抗震能力.这其中木楔子的运用，使得榫卯配合的牢度得到最大化满足，木楔子是一种简单的机械工具，是用于填充器物的空隙使其牢固的木橛､木片等.如图为一个木楔子的直观图，其中四边形是边长为2的正方形，且均为正三角形，，则该木楔子的外接球的体积为（ ）

A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据几何体的结构特征可知球心在直线上，由勾股定理可得，进而可得，进而，即可求解，由体积公式即可求解.
【详解】如图，分别过点作的垂线，垂足分别为，连接，则，故.
取的中点，连接，
又，则.
由对称性易知，过正方形的中心且垂直于平面的直线必过线段的中点，且所求外接球的球心在这条直线上，如图.
设球的半径为，则，且，
从而，即，
当点在线段内（包括端点）时，有，可得，
从而，即球心在线段的中点，其半径.
当点在线段外时，，解得（舍）.
故所求外接球的体积.
故选：C

40．如图，在矩形中，，，，分别在线段，上，，将沿折起，使到达的位置，且平面平面，则四面体的外接球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】设的中点为，先证明，四面体的外接球球心在的中点处垂直平面方向上，由求得，从而求得球的表面积.
【详解】设的中点为，连接，由题可知为等腰直角三角形，
，又平面平面，平面平面，
平面，所以平面，
根据题意，，所以的外心为的中点，
设四面体的外接球的球心为，则平面，
作分别交于，
，
又，，
则，所以，
所以，，
由，得，
即，解得，
，所以四面体外接球的表面积为.
故选：A.
考点05： 空间几何体的内切球
球的内切问题（等体积法）
例如：在四棱锥中，内切球为球，求球半径.方法如下：
即：，可求出.
41．六氟化硫，化学式为，在常压下是一种无色、无臭、无毒、不燃的稳定气体，有良好的绝缘性，在电器工业方面具有广泛用途．六氟化硫分子结构为正八面体结构（正八面体每个面都是正三角形，可以看作是将两个棱长均相等的正四棱锥将底面粘接在一起的几何体）．如图所示，正八面体的棱长为，此八面体的外接球与内切球的体积之比为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据给定条件，确定八面体的外接球球心及半径，利用体积法求出内切球半径，再利用球的体积公式求解即得.
【详解】正八面体的棱长为，连接，
由四边形为正方形，得，
则四边形亦为正方形，即点到各顶点距离相等，
于是此八面体的外接球球心为，半径为，
此八面体的表面积为，设此八面体的内切球半径为，
由，得，即，解得，
所以此八面体的外接球与内切球的体积之比为.
故选：A
42．已知球内切于圆台（即球与该圆台的上、下底面以及侧面均相切），且圆台的上、下底面半径分别为，，且，则圆台的体积与球的体积之比为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】画出圆台的轴截面图，由几何知识可确定球的半径，即可得答案.
【详解】如图：为该几何体的轴截面，其中圆是等腰梯形的内切圆，
设圆与梯形的腰相切于点，与上、下底的分别切于点，，
设球的半径为，圆台上下底面的半径为，.注意到与均为角平分线，
因此，从而，故.
设圆台的体积为，球的体积为，则.
故选：B.
43．已知圆锥PO的顶点为P，其三条母线PA，PB，PC两两垂直，且母线长为6，则圆锥PO的内切球表面职与圆锥侧面积之和为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由已知和正弦定理，勾股定理求出圆锥底面圆的半径和高，再由三角形面积相等求出圆锥内切球半径，然后由球的表面积公式和圆锥的侧面积公式求出结果即可.
【详解】因为三条母线PA，PB，PC两两垂直，且母线长为6，
所以为圆锥底面圆的内接正三角形，且边长，
由正弦定理可得底面圆的半径，
所以圆锥的高，
如图，圆锥轴截面三角形的内切圆半径即为圆锥内切球半径，
轴截面三角形面积为，
所以内切球半径，
内切球的表面积为，
圆锥的侧面积为，
所以其和为，
故选：C.
44．六氟化硫，化学式为，在常压下是一种无色、无臭、无毒、不燃的稳定气体，有良好的绝缘性，在电器工业方面具有广泛用途.六氟化硫分子结构为正八面体结构（正八面体每个面都是正三角形，可以看作是将两个棱长均相等的正四棱锥将底面粘接在一起的几何体）.如图所示，正八面体的棱长为，下列说法中正确的个数有（ ）
①异面直线与所成的角为45°；
②此八面体的外接球与内切球的体积之比为；
③若点为棱上的动点，则的最小值为；
④若点为四边形的中心，点为此八面体表面上动点，且，则动点的轨迹长度为.
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【分析】对①：借助等角定理，找到与平行，与相交的线段，计算即可得；对②：借助外接球与内切球的性质计算即可得；对③：空间中的距离和的最值问题可将其转化到同意平面中进行计算.对④，计算的值，并比较它们的大小，即可得出当点在平面内时，点在三角形的内切圆上运动，结合对称性即可验算.
【详解】对①：连接，取中点，连接、，
由题意可得、为同一直线，、、、四点共面，
又，故四边形为菱形，
故，故异面直线与所成的角等于直线与所成的角，
即异面直线与所成的角等于，故①错误；
对②：由四边形为正方形，有，
故四边形亦为正方形，即点到各顶点距离相等，
即此八面体的外接球球心为，半径为，
设此八面体的内切球半径为，
则有，化简得，
则此八面体的外接球与内切球的体积之比为，故②正确；
对③：将延折叠至平面中，如图所示：
则在新的平面中，、、三点共线时，有最小值，
则，故③错误.
对于④，设三角形的内切圆半径为，则由等面积法，有，
解得，
由②可知，点到平面的距离为，
所以，
这表明当点在平面内时，点在三角形的内切圆上运动，
它的周长是，
根据对称性可知动点的轨迹长度为，故④正确.
正确的编号有②④.
故选：B.
45．已知四棱锥的底面是边长为2的正方形，侧棱长都等于2，则该四棱锥的内切球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】求出棱锥的高，进而得到棱锥体积，设出内切球半径，根据体积得到方程，求出半径，进而得到表面积.
【详解】设内切球的半径为的中点为，则⊥平面，
因为四棱锥的底面是边长为2的正方形，所以，
因为，由勾股定理得，
故棱锥的体积为，棱锥的表面积为，
设内切球的半径为，

则由等体积法可得，解得，
所以．
故选：A
46．已知圆台存在内切球（与圆台的上、下底面及侧面都相切的球），若圆台的上、下底面面积之和与它的侧面积之比为，设圆台与球的体积分别为，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据给定条件，结合圆台轴截面等腰梯形的内切圆是球的截面大圆，探讨圆台两底半径与母线的关系，再利用圆台侧面积公式及圆台、球的体积公式求解即得.
【详解】设圆台的上、下底面半径分别为，母线长为，高为，内切球的半径为，
显然圆台轴截面等腰梯形的内切圆是球的截面大圆，则，，
由，整理得，而，解得，，
因此圆台的高，，
则圆台的体积，
内切球的体积，所以.
故选：D
47．六氟化硫，化学式为，在常压下是一种无色、无臭、无毒、不燃的稳定气体，有良好的绝缘性，在电器工业方面具有广泛用途.六氟化硫结构为正八面体结构，如图所示，硫原子位于正八面体的中心，6个氟原子分别位于正八面体的6个顶点，若相邻两个氟原子之间的距离为，则下列错误的是（ ）
A．该正八面体结构的外接球表面积为
B．该正八面体结构的内切球表面积为
C．该正八面体结构的表面积为
D．该正八面体结构的体积为
【答案】D
【分析】分析正八面体结构特征，计算其表面积，体积，外接球半径，内切球半径，验证各选项.
【详解】对A：底面中心到各顶点的距离相等，故为外接球球心，
外接球半径，故该正八面体结构的外接球表面积
，故A正确；
对D：连接，，则，底面，
故该正八面体结构的体积，故D错误；
对C：由题知，各侧面均为边长为的正三角形，故该正八面体结构的表面积
，故C正确；
对B：底面中心到各面顶点的距离相等，故为内切球球心，
设该正八面体结构的内切球半径，则，
所以，
故内切球的表面积，故B正确.
故选：D.
48．如图，已知四棱锥的底面是边长为2的菱形，为的交点，平面，，则四棱锥的内切球的体积为（ ）

A．B．C．D．
【答案】C
【分析】求出四棱锥的高和侧棱长，再利用四棱锥的体积与其内切球半径之间的关系求四棱锥的内切球半径即可得解.
【详解】因为四边形为菱形，，所以是正三角形，
则.
因为平面平面，所以.
设，则，.
在中，由，
可得，解得，
所以.
因为为的中点，，所以.又，，
所以，同理可证，，
所以.
设四棱锥的内切球的半径为，则，
所以，
所以四棱锥的内切球的体积，
故选：C.
49．已知一圆台内切球与圆台各个面均相切，记圆台上、下底面半径为，若，则圆台的体积与球的体积之比为（ ）
A．B．C．2D．
【答案】A
【分析】根据相切，可得，即可得，进而根据体积公式即可求解.
【详解】如图为该几何体的轴截面，
其中圆是等腰梯形的内切圆，
设圆与梯形的腰相切于点，与上、下底的分别切于点，
设球的半径为，圆台上下底面的半径为．注意到与均为角平分线，
因此，从而，故．
设圆台的体积为，球的体积为，则
故选：A．
50．如图，该几何体为两个底面半径为1，高为1的相同的圆锥形成的组合体，设它的体积为，它的内切球的体积为，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】画出该几何体的轴截面，利用几何知识求出内切球半径，结合球的体积公式以及圆柱体积公式即可求解.
【详解】如图，四边形为该几何体的轴截面，
则四边形的内切圆的半径即为该几何体内切球的半径，设内切球的半径为，
由，得，则，，
所以.
故选：D.
考点06：空间几何体的截面问题
在立体几何中，把空间问题转化为平面问题，历来是立体几何的一个基本问题.过已知不共线三点，作几何体的截面，既是转化为平面问题一个方法，也是深化理解空间点、线、面关系的一个很好的途径.
1、确定截面的主要依据有
（1）平面的四个公理及推论．（2）直线和平面平行的判定和性质．
（3）两个平面平行的性质．（4）球的截面的性质．
2、作截面的几种方法
（1）直接法：有两点在几何体的同一个面上，连接该两点即为几何体与截面的交线，找截面实际就是找交线的过程。
（2）延长线法：同一个平面有两个点，可以连线并延长至与其他平面相交找
51．已知直四棱柱的侧棱长为3，底面是边长为2的菱形，为棱上的一点，且为底面内一动点（含边界），则下列命题正确的是（ ）
A．若与平面所成的角为，则点的轨迹与直四棱柱的交线长为
B．若点到平面的距离为，则三棱锥体积的最大值为
C．若以为球心的球经过点，则该球与直四棱柱的公共部分的体积为
D．经过三点的平面截直四棱柱所得的截面面积为4
【答案】AD
【分析】判断P点轨迹与直四棱柱的交线，根据弧长公式求解判断A，判断P点位置求出体积最大值判断B，计算球与直四棱柱公共部分体积判断C，利用，求得，得出四边形面积判断D.
【详解】如图，
对于A，可知的轨迹是以为圆心，半径为1的圆，所以点的轨迹与直四棱柱的交线为圆弧，圆弧长为，故A正确．
对于B，可知点在线段上，所以当点与点重合时，三棱锥体积最大，且最大值为，所以B错误．
对于C，可知该球的半径为1，球与直四棱柱的公共部分的体积为，所以C错误．
对于D，经过三点的平面截直四棱柱所得的截面为平行四边形，其中，可得．设的中点为的中点为，连接，可得平面，所以，求得，所以，D正确．
故选：AD
52．正方体的棱长为6，，分别是棱，的中点，过，，作正方体的截面，则（ ）
A．该截面是五边形
B．四面体外接球的球心在该截面上
C．该截面与底面夹角的正切值为
D．该截面将正方体分成两部分，则较小部分的体积为75
【答案】ACD
【分析】对于A，过三点作正方体的截面即可；对于B，计算四面体外接球半径，以及外接圆半径，比较球心与圆心是否重合即可；对于C，建立空间直角坐标系，计算平面和平面的法向量即可；对于D，将被截正方体较小部分体积分为5个三棱锥计算即可.
【详解】对于A，如图①所示，延长交的延长线于，延长交的延长线于，
连接交于，连接交于，
连接，，则五边形为平面截正方体所得的截面，故A正确；
对于B， 如图②所示，设三棱锥底面外心为，
三棱锥外接球球心为，
且,
在中，,，
所以外接圆半径为,
所以在中，三棱锥外接球半径
,
所以三棱锥外接球球心到三点的距离都为.
在中，，
所以外接圆半径,
所以四面体外接球的球心不在该截面上，故B错误；
对于C，如图③所示，以分别为轴建立如图空间直角坐标系，
且正方体边长为6，即，
所以，
设为平面的法向量，则
，取，
所以，
又因为平面，
故为平面的法向量，
则，
，故C正确；
对于D，如图④所示，取中点，连接,
因为，所以，即，
又因为，所以，即，
同理，由得，
由得，
所以，
，
，
，
,
所以该截面将正方体分成两部分，较小部分体积为，故D正确.
故选：ACD.

53．已知一圆锥的底面半径为，该圆锥的母线长为2，A，B为底面圆的一条直径上的两个端点，则下列说法正确的是（ ）
A．其侧面展开图是圆心角为的扇形
B．该圆锥的体积为π
C．从A点经过圆锥的侧面到达B点的最短距离为
D．过该圆锥的顶点作圆锥的截面，则截面面积的最大值为2
【答案】ABD
【分析】求出底面圆周期判断A；求出圆锥的高并求出体积判断B；展开半圆锥的侧求出弦长判断C；求出轴截面顶角，再求出截面最大值判断D.
【详解】对于A，圆锥底面圆周长为，而圆锥侧面展开图扇形半径为2，所以侧面展开图的圆心角为，A正确；
对于B，圆锥的高，因此圆锥的体积，B正确；
对于C，依题意，将半圆锥的侧面展开，如图，
则从A点经过圆锥的侧面到达B点的最短距离为，C错误；
对于D，圆锥轴截面顶角为，则，，则圆锥轴截面顶角为，
因此过该圆锥的顶点的圆锥截面等腰三角形顶角，
此截面三角形积，当且仅当时取等号，D正确.
故选：ABD
54．已知正方体的棱长为2，棱的中点为，过点作正方体的截面，且，若点在截面内运动（包含边界），则（ ）
A．当最大时，与所成的角为
B．三棱锥的体积为定值
C．若，则点的轨迹长度为
D．若平面，则的最小值为
【答案】BCD
【分析】记的中点分别为， 构建空间直角坐标系，证明共面，且平面，由此确定平面，找到最大时的位置，确定MN与BC所成角的平面角即可判断A，证明与平面平行，应用向量法求到面的距离，结合体积公式，求三棱锥的体积，判断B；根据球的截面性质确定 N的轨迹，进而求周长判断C，由平面确定的位置，通过翻折为平面图形，利用平面几何结论求解判断D.
【详解】记的中点分别为，
连接，连接，
因为，又
所以，，所以四边形为平行四边形，
连接，记其交点为，
根据正方体性质，可构建如下图示的空间直角坐标系，则，，，，,，，，，，，，

因为，，，，
，，，
所以，，，
，，
所以六点共面，
因为，，，
所以，，
所以，，
所以，又平面，
所以平面，故平面即为平面，
对于A，与重合时，最大，且，
所以MN与BC所成的角的平面角为，
又，
所以，故MN与BC所成的角为，所以A错误；
对于B，因为所以，，，
所以，，
所以，，
所以，又平面，
所以平面，又平面，
所以平面平面，
所以点到平面的距离与点到平面的距离相等，
所以，
向量为平面的一个法向量，又，
所以到面的距离，
又为等边三角形，则，
所以三棱锥的体积为定值，B正确；
对于C：若，点在截面内，
所以点N的轨迹是以为球心， 半径为的球体被面所截的圆（或其一部分），
因为，，所以，
所以平面，所以截面圆的圆心为，
因为是面的法向量，而，
所以到面的距离为，
故轨迹圆的半径，又，
故点N的轨迹长度为，C正确.
对于D，平面，平面，
又平面与平面的交线为，
所以点的轨迹为线段，
翻折，使得其与矩形共面，如图，

所以当三点共线时，取最小值，最小值为，
由已知，，，
过作，垂足为，则，
所以
所以，
所以的最小值为，D正确；
故选：BCD
55．已知正方体的棱长为3，点是线段上靠近点的三等分点，是中点，则（ ）
A．该正方体外接球的表面积为
B．直线与所成角的余弦值为
C．平面截正方体所得截面为等腰梯形
D．点到平面的距离为
【答案】ABD
【分析】根据正方体的外接球的直径是正方体的体对角线可求外接球的表面积，可判断A的真假；利用平行把异面直线所成的角转化为平面角，再利用三角形的边角关系可求异面直线所成角的三角函数，判断B的真假；做出截面，判断截面形状，可判断C的真假；构造三棱锥，利用体积法求点到面的距离，可判断D的真假.
【详解】对A：棱长为3的正方体的体对角线长为：，
所以所求正方体的外接球表面积为：，故A正确；
对B：如图
连接，∵，所以即为异面直线与所成的角，设为.
在中，，，，
所以，所以，故B正确；
对C：如图：
取中点，连接，过点作，交于点，则，
所以平面截正方体所得截面为梯形.
由，所以.
所以，，所以，
所以梯形不是等腰梯形，故C错误；
对D：如图：
设点到平面的距离为，则，
而，
，
所以：，故D正确.
故选：ABD
56．如图，在棱长为的正方体中，，分别是棱，的中点，为底面上的动点，则下列说法正确的是（ ）
A．当为的中点时，
B．若在线段上运动，三棱锥的体积为定值
C．存在点，使得平面截正方体所得的截面面积为
D．当为的中点时，三棱锥的外接球表面积为
【答案】ACD
【分析】
对于，以B为坐标原点，建立空间直角坐标系，，，利用向量的坐标运算即可证明；对于，当点与点重合时，当点与点重合时，等体积法转化即可得三棱锥的体积；对于，当为中点时，平面截正方体所得的截面为正六边形，可得截面面积；对于，设的外接圆半径为，三棱锥的外接球半径为，由可求外接球半径，根据球的表面积公式即可判断.
【详解】
对于选项，以为坐标原点，建立如图1所示的空间直角坐标系，

则，，，，
所以，，
因为，所以，故选项正确；
对于选项，当点与点重合时，如图2所示，，

当点与点重合时，如图3所示，，
所以三棱锥的体积不是定值，故选项错误；
对于选项，当为中点时，平面截正方体所得的截面为正六边形，如图4所示，其中，，为相应边的中点，则正六边形的边长为，

所以该截面的面积为，故存在点，符合题意，故选项正确；
对于选项，当为的中点时，如图5所示，易知平面，
因为，，
所以由余弦定理的推论得，
所以，设的外接圆半径为，
则，所以，
设三棱锥的外接球半径为，则，
所以三棱锥的外接球的表面积为，故选项正确，
故选：ACD．
57．在棱长为1的正方体中，E为的中点，则（ ）
A．
B．平面
C．平面截正方体所得截面面积为
D．四棱锥与四棱锥的体积相等
【答案】ACD
【分析】先证明平面，即可判断选项A; 通过平面平面，可得选项B错误；找到平面截正方体所得截面菱形，即可求出面积，判定选项C；分别求出四棱锥与四棱锥的体积，可判定选项D.
【详解】在正方体中，平面，
平面，所以，又，
, 平面，平面，
所以平面，平面，所以，A正确；
，平面，平面，所以平面，
同理平面，平面，平面，，
所以平面平面，平面，
所以与平面不平行，B错误；
平面平面，平面，
所以平面，平面，
设平面平面，则，
因为，所以，
又，，
所以，所以，，
同理，且，
所以菱形为所求截面，，，
则面积为，C正确；
由题可知，
取的四等分点，则，
所以，，又，
，平面，平面，
所以平面，
则，D正确.
故选：ACD.

58．在三棱锥中，已知，棱AC，BC，AD的中点分别是E，F，G，，则（ ）
A．过点的平面截三棱锥所得截面是菱形
B．平面平面
C．异面直线互相垂直
D．三棱锥外接球的半径为
【答案】ABD
【分析】A项，利用中位线证明平行关系与长度关系得四边形为菱形；B项，取CD的中点P，由勾股定理证明，由等腰三角形三线合一得，由线线垂直证线面垂直再证面面垂直即可；C项，假设垂直推证，由斜边与直角边关系可推出矛盾；D项，取的中心，由面面垂直性质定理得线面垂直关系，由勾股定理得，利用球心到各顶点距离相等可得正三角形的中心即为球心.
【详解】选项A，如图，连接EF，EG，取BD的中点H，连接GH，FH，
由F是BC的中点，得，，
同理得，，所以，，
四边形EFHG是平行四边形，
于是过点E，F，G的平面截三棱锥所得截面即为四边形EFHG，
且由E，F分别是AC，BC的中点，得，，因此，
所以四边形EFHG为菱形，故A正确；
选项B，取CD的中点P，连接，
由，得，
由，得，又，所以，
所以，
又，，又平面BCD，所以平面BCD，
又平面ADC，所以平面平面BCD， 故B正确；
选项C，假设，已知 ，且平面，
所以平面，所以，所以，
这与已知“”矛盾， 故C错误；
选项D，取正三角形的中心，连接，
则，
由于是直角三角形，CD为斜边，则，
由平面平面BCD，平面平面，
由，且平面，所以平面，
所以，则，
所以的外心就是三棱锥的外接球球心，
所以外接球半径R就是的外接圆半径，
于是，故D正确．
故选：ABD.
59．与那些英雄们的墓志铭相比，大概只有数学家的墓志铭最为言简意赅．他们的墓碑上往往只是刻着一个图形或写着一个数，这些形和数，展现着他们一生的执着追求和闪光的业绩．古希腊数学家阿基米德就是这样，他的墓碑上刻着一个圆柱，圆柱里内切着一个球．这个球的直径恰与圆柱的高相等．这个称为“等边圆柱”的图形如图所示，记内切球的球心为，圆柱上、下底面的圆心分别为，，四边形是圆柱的一个轴截面，为底面圆的一条直径，若圆柱的高为4，则（ ）

A．内切球的表面积与圆柱的表面积之比为2：3
B．圆柱的外接球的体积与圆柱的体积之比为4：3
C．四面体的体积的最大值为
D．平面截得球的截面面积的取值范围为
【答案】AD
【分析】根据题意，结合内切球和圆柱的表面积公式，求得内切球和圆柱的表面积之比，可判定A正确；解球的体积和圆柱的体积公式，求得外接球和圆柱的体积比，可判定B错误；求得，得到的体积，可判定C错误；作结合，得到平面截得球的截面面积最小值，进而可判定D正确.
【详解】由题知，圆柱的高为4，底面圆的半径为2，内切球的半径，
则内切球的表面积为，圆柱的表面积为，
所以内切球的表面积与圆柱的表面积之比为，所以A正确；
由题意知，圆柱的外接球的半径为，
所以圆柱的外接球的体积为，圆柱的体积为，
所以圆柱的外接球的体积与圆柱的体积之比为，所以B错误；
由题图易知，，又点到平面的距离，
，所以，
当时，四面体的体积取得最大值，最大值为，所以C错误；
过点作于点，如图所以，由题可得，
设点到平面的距离为，平面截球所得的截面圆的半径为，
则，，
所以平面截得球的截面面积最小值为，
当直径与重合时，平面截得球的截面面积最大，且最大值为，所以平面截得球的截面面积的取值范围为，所以D正确.
故选：AD．

60．如图，透明塑料制成的直三棱柱容器内灌进一些水，，，若水的体积恰好是该容器体积的一半，容器厚度忽略不计，则（ ）
A．当底面水平放置后，固定容器底面一边于水平地面上，将容器绕着转动，则没有水的部分一定是棱柱
B．转动容器，当平面水平放置时，容器内水面形成的截面与各棱的交点都是所在棱的中点
C．在翻滚、转动容器的过程中，有水的部分可能是三棱锥
D．容器中水的体积与直三棱柱外接球体积之比至多为
【答案】AD
【分析】根据直观想象，结合棱柱、三棱锥的概念即可判断AC；根据棱柱和棱台的体积公式计算，即可判断B；根据题意确定棱柱的外接球，结合外接球的体积公式，利用基本不等式计算即可判断D.
【详解】
A：当平面水平放置时（始终保持水平），则平面平面，
所以有水的部分是棱柱，由图可知，没有水的部分也是棱柱，故A正确；
B：当平面水平放置时，假设都为所在棱的中点，
设水面到底面的的距离为，，
所以水的体积为，
又转动前水的体积为，
所以不为所在棱的中点，故B错误；
C：在翻滚､转动容器的过程中，
当平面水平放置时，三棱锥的体积取到最大值，如图，
此时，
而水的体积为，所以有水的部分不可能是三棱锥，故C错误；
D：取的中点，连接，取的中点O，连接OA，
则D为的外接圆圆心，O为三棱柱外接球的球心，
所以为外接球的半径，且，
所以直三棱柱外接球体积.
由选项B可知，容器中水的体积为，
又，所以，
当且仅当时等号成立，所以，
则水的体积与直三棱柱外接球体积之比为，
即容器中水的体积与直三棱柱外接球体积之比至多为，故D正确.
故选：AD.
几何体
棱柱
棱锥
棱台
侧面展开图
侧面积公式
ch
(c为底面周长，h为侧棱长)
ch′
(c为底面周长，h′为侧面等腰三角形底边上的高)
(c+c′)h′
(c′，c分别为上、下底面周长，h′为侧面等腰梯形的高)
表面积公式
几何体
圆柱
圆锥
圆台
球
侧面展开图
侧面积公式


表面积公式


几何体
体积
柱
(S为底面面积，h为高)
锥
(S为底面面积，h为高)，
台
(S′、S分别为上、下底面面积，h为高)，
球
(为球的半径)