安徽省马鞍山市第八初级中学2025-2026学年第一学期期末素质测试 八年级数学试题卷

这是一份安徽省马鞍山市第八初级中学2025-2026学年第一学期期末素质测试 八年级数学试题卷，共31页。试卷主要包含了选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分）
1. 下列图象中，y是x的函数的是（ ）
A. B.
C. D.
2. 誉为全国第三大露天碑林的“浯溪碑林”，摩崖上铭刻着500多方古今名家碑文，其中悬针篆文具有较高的历史意义和研究价值，下面四个悬针篆文文字明显不是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
3. 若一个三角形的三边长分别为2，5，x，则x的值可以是（ ）
A. 9B. 7C. 5D. 3
4. 根据下列已知条件，不能画出唯一的的是（ ）
A ，，B. ，，
C. ，，D. ，，
5. 点，都在直线上，则与的大小关系为（ ）
A. B. C. D. 不能确定
6. 如图，是的角平分线，B，C，E三点共线，则α，β，γ之间的数量关系是（ ）
A. B. C. D.
7. 如图，在中，已知D，E，F分别是边的中点，且阴影部分图形的面积为6，则的面积为（ ）
A 12B. 16C. 18D. 24
8. 在同一平面直角坐标系中，函数和的图象可能是（ ）
A B.
C. D.
9. 如图①，在长方形中，点M从点B出发以每秒1个单位长度的速度沿的方向运动到点D，的面积y与运动时间t的函数关系如图②所示，当的面积为3时，t的值为（ ）
A. 4B. 5C. 6D. 7
10. 如图等边三角形中，点，是线段，上的动点且，连接，交于点，连接，下面结论：①；②；③若，则；④若，则，其中结论正确的是（ ）
A ①②③B. ①②④C. ②③④D. ①②③④
二、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分）
11. 在平面直角坐标系中，点所在的象限是______．
12. 已知是一次函数，则的值为______．
13. 命题“相等的两个角是内错角”的逆命题是______命题（填“真”或“假”）.
14. 如图，在方格中，每个小方格的边长均为，，则的度数为______（用含的代数式表示）．
15. 如图，四边形中，，，，，那么的面积是_______．
16. 一次函数与的图像如图所示，则不等式组的解集为______．
17. 如图，等腰的底边长为3，面积为9，腰的垂直平分线分别交，于点E，F，若点D为底边的中点，点M为线段上一动点，则的最小值是______．
18. 若点P到x轴、y轴的距离和为1，则称点P为“距一点”，例：点到x轴、y轴距离和为1，则点A是“距一点”，点，也是“距一点”．一次函数的图象l经过点，且图象l上存在“距一点”，则k的取值范围为______．
三、解答题（共6小题，其中第19题6分，20-24题每小题8分，共54分）
19. 如图，在中，，，于点D，平分，求的度数．
20. 如图，在平面直角坐标系中，网格上的每个小正方形的边长均为．
（1）在图中作出关于轴对称的，并写出三个顶点的坐标；
（2）直接写出的面积为______．
21. 在平面直角坐标系中，一次函数的图像经过点．
（1）求该函数的表达式；
（2）若点在该函数图像上，求点P的坐标．
22. 如图，在和中，，，．
（1）求证：；
（2）求证：．
23. “卡旺卡”是安徽网红奶茶品牌，今年因“广德三件套”的爆火吸引了无数外省游客．2026年元旦期间，某门店销售“手剥大橘”和“徽州酒酿”两种口味的奶茶，若购买3杯“手剥大橘”和4杯“徽州酒酿”共需136元；若购买1杯“手剥大橘”和3杯“徽州酒酿”共需77元．
（1）“手剥大橘”和“徽州酒酿”分别是多少元一杯？
（2）若旅游团队需要购买两种奶茶共30杯，且“手剥大橘”的数量比“徽州酒酿”多，且差不大于7，怎样购买才能使总费用最少？并求出最少费用．
24. （1）阅读理解：问题：如图1，在四边形中，对角线平分，．求证：．
思考：“角平分线+对角互补”可以通过“截长、补短”等构造全等去解决问题．
方法1：在上截取，连接，得到全等三角形，进而解决问题；
方法2：延长到点，使得，连接，得到全等三角形，进而解决问题．
结合图1，在方法1和方法2中任选一种，添加辅助线并完成证明．
（2）问题解决：如图2，在（1）的条件下，连接，当时，探究线段，，之间的数量关系，并说明理由；
（3）问题拓展：如图3，在四边形中，，，过点作，垂足为点，请写出线段、、之间的数量关系．
马鞍山市第八初级中学2025-2026学年第一学期期末素质测试
八年级数学试题卷
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分）
1. 下列图象中，y是x的函数的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了函数的概念，熟练掌握函数的概念是解题的关键．
根据函数的概念：对于自变量x的每一个值，y都有唯一的值与它对应，逐项分析判断即可得出答案．
【详解】解：A、对于自变量x的每一个值，y不是都有唯一的值与它对应，所以y不是x的函数，不符合题意；
B、对于自变量x的每一个值，y都有唯一的值与它对应，所以y是x的函数，符合题意；
C、对于自变量x的每一个值，y不是都有唯一的值与它对应，所以y不是x的函数，不符合题意；
D、对于自变量x的每一个值，y不是都有唯一的值与它对应，所以y不是x的函数，不符合题意；
故选：B．
2. 誉为全国第三大露天碑林的“浯溪碑林”，摩崖上铭刻着500多方古今名家碑文，其中悬针篆文具有较高的历史意义和研究价值，下面四个悬针篆文文字明显不是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据轴对称图形的概念逐一进行判断即可．
【详解】A、是轴对称图形，故此选项不符合题意；
B、是轴对称图形，故此选项不符合题意；
C、不是轴对称图形，故此选项符合题意；
D、是轴对称图形，故此选项不符合题意，
故选C.
【点睛】本题考查是轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．
3. 若一个三角形的三边长分别为2，5，x，则x的值可以是（ ）
A. 9B. 7C. 5D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了三角形的三边关系，掌握三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解题的关键．
根据三角形三边关系列出不等式组求解即可．
【详解】解：∵三角形的三边长为2，5，x，
∴根据三角形三边关系，有：，即．
∴x的值必须大于3且小于7，即C选项符合题意．
故选C．
4. 根据下列已知条件，不能画出唯一的的是（ ）
A. ，，B. ，，
C. ，，D. ，，
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的判定．根据全等三角形的判定定理即可求解．
【详解】解：A．已知两边和一边的对角，不能画出唯一的，故该选项符合题意；
B．可根据画出唯一的，故该选项不符合题意；
C．可根据画出唯一的，故该选项不符合题意；
D．可根据画出唯一的，故该选项不符合题意；
故选：A．
5. 点，都在直线上，则与的大小关系为（ ）
A. B. C. D. 不能确定
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了一次函数的性质，掌握一次函数的增减性是解题的关键．
由题意可得时，y随x的增大而减小．再比较两点x坐标的大小，即可判断y的大小关系．
【详解】解：∵在直线中，，
∴y随x的增大而减小
∵点的横坐标4大于点的横坐标，
∴．
故选B．
6. 如图，是的角平分线，B，C，E三点共线，则α，β，γ之间的数量关系是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查的是三角形的角平分线的定义、三角形的外角的性质等知识点，弄清角之间的关系是解题的关键．
设，则，利用外角可得，，再进一步即可解答．
【详解】解：设，则，
∴，，
∴，
∴，即．
故选：C．
7. 如图，在中，已知D，E，F分别是边的中点，且阴影部分图形的面积为6，则的面积为（ ）
A. 12B. 16C. 18D. 24
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了与中线有关的三角形面积的计算，利用三角形中线将三角形面积进行转化是解题的关键．
由点F是的中点可得，由点E是的中点可得，，从而得到，再由，进而求得的面积．
【详解】解：∵点F是的中点，
∴，
∵点E是的中点，
∴，，
，
∵，
．
故选：D．
8. 在同一平面直角坐标系中，函数和的图象可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了一次函数图像与系数的关系，对于一次函数（k为常数，）图像与k、b的关系是解题的关键．
根据一次函数图像与系数的关系判断两个函数的图像对应解析式中m的符号，再看是否存在矛盾即可解答．
【详解】解：A．一次函数的图像经过第二、三、四象限，则；一次函数的图像经过第一、三、四象限，则，不存在矛盾，符合题意；
B．一次函数的图像经过第一、二、四象限与矛盾，不符合题意；
C．一次函数的图像经过第一、二、四象限与矛盾，不符合题意；
D．一次函数的图像经过第一、三、四象限，则；一次函数的图像经过第二、三、四象限，则，二者存在矛盾，不符合题意．
故选：A．
9. 如图①，在长方形中，点M从点B出发以每秒1个单位长度的速度沿的方向运动到点D，的面积y与运动时间t的函数关系如图②所示，当的面积为3时，t的值为（ ）
A. 4B. 5C. 6D. 7
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了一次函数的应用、动点问题，求得的面积y随t变化的函数解析式是解题的关键．
根据动点的变化，当点M在边上运动时，，求得；当点M在边上运动时，，，令求解即可．
【详解】解：根据图象可知，即，
当点M在边上运动时，，
∴，解得：，
当点M在边上运动时，，
∴，
令，解得：．
故选：C．
10. 如图等边三角形中，点，是线段，上的动点且，连接，交于点，连接，下面结论：①；②；③若，则；④若，则，其中结论正确的是（ ）
A. ①②③B. ①②④C. ②③④D. ①②③④
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形内角和与外角性质，作辅助线构造全等三角形是解题关键．
利用等边三角形的性质，结合已知条件，通过可得，可证明①；由全等得到，根据等边三角形性质和三角形内角和公式，推导出，可证明②；当时，和是等边三角形两边的垂直平分线，则，可证③；作辅助线构造等边三角形，然后通过证明三角形全等得出，再结合等边三角形性质和得出，可知进而得出，可判断④错误．
【详解】解：在和中，
，
，①正确，
，
是等边三角形，
，
，
，②正确，
如图，当，为中点，则为中点，
是等边三角形，
，，
垂直平分，垂直平分，
，，
，③正确，
如图，延长至点，使，连接，
据②可知，则，
是等边三角形，
，
，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，④错误，
综上，正确的结论有①②③．
故选：．
二、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分）
11. 在平面直角坐标系中，点所在的象限是______．
【答案】四
【解析】
【分析】本题主要考查平面直角坐标系，熟练掌握点的坐标所在象限的符号特征是解题的关键．
根据点的坐标所在象限的符号特征求解即可．
【详解】解：点P的横坐标，纵坐标，符合第四象限的坐标符号特征，
∴点P在第四象限．
故答案为：四．
12. 已知是一次函数，则值为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查一次函数的定义，掌握一次函数的两个条件是解题关键．
根据一次函数的定义，的指数必须为且系数不为零，据此进行计算．
【详解】解：是一次函数，
，即，
系数为，
，即，
可得．
故答案为：．
13. 命题“相等的两个角是内错角”的逆命题是______命题（填“真”或“假”）.
【答案】假
【解析】
【分析】先写出原命题的逆命题，再判断其是真假命题即可.
【详解】∵原命题的条件为：两个角相等，结论为：这两个角是内错角，
∴逆命题为两个角是内错角，那么这两个角相等，此命题是假命题，
故答案为假
【点睛】本题考查了互逆命题的知识和命题的真假判断，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．
14. 如图，在的方格中，每个小方格的边长均为，，则的度数为______（用含的代数式表示）．
【答案】##
【解析】
【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，根据方格特点构造全等三角形是解题关键．
通过在网格中证明两个直角三角形全等，得到，再根据直角三角形的两个锐角互余，推出的度数．
【详解】解：如图，可知，
在和中，
，
，
，
，
．
故答案为：．
15. 如图，四边形中，，，，，那么的面积是_______．
【答案】24
【解析】
【分析】本题考查角平分线的性质，关键是由角平分线的性质得到．过作于，由角平分线的性质得到，而，即可求出的面积．
【详解】解：过作于，
，，
，
，
的面积．
故答案为：24．
16. 一次函数与的图像如图所示，则不等式组的解集为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式，灵活利用数形结合的思想是解题的关键．
不等式组，再结合图像可得其解集为满足且的部分为下方且在x轴上方部分对应的自变量取值范围即可解答．
【详解】解：不等式组的解集为由图像可知满足且的部分为下方且在x轴上方部分对应的自变量取值，即．
故答案为：．
17. 如图，等腰的底边长为3，面积为9，腰的垂直平分线分别交，于点E，F，若点D为底边的中点，点M为线段上一动点，则的最小值是______．
【答案】6
【解析】
【分析】本题主要考查了线段垂直平分线性质、等腰三角形的性质等知识点，正确理解题意推出当点M位于点处时，有最小值是解题的关键．
如图：连接交于点，连接，依据等腰三角形三线合一定理可证明为底边上的高线，依据三角形的面积为9可求得的长；由线段垂直平分线的性质可知，则，故此当A、M、D在一条直线上时，有最小值，即的长．
【详解】解：如图：连接交于点，连接，
∵等腰，点D为底边的中点，
∴，
∴，解得：，
∵是线段的垂直平分线，
∴．
∴．
∴当A、M、D在一条直线上时，即点M位于点处时，有最小值，最小值是6．
故答案为：6．
18. 若点P到x轴、y轴的距离和为1，则称点P为“距一点”，例：点到x轴、y轴距离和为1，则点A是“距一点”，点，也是“距一点”．一次函数的图象l经过点，且图象l上存在“距一点”，则k的取值范围为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了一次函数的性质，求一次函数解析式，掌握分类讨论思想是解题的关键．
由直线过点得到，从而直线为．设图象l上“距一点”为，则．分情况讨论：①当，时，，因此，得到，，根据，列出不等式组，求解即可；同理求出②，；③，；④，时k的取值，综合即可解答．
【详解】解：∵直线过点，
∴，即，
∴直线为．
设图象l上“距一点”为，则．
分情况讨论：
①当，时，，即，
∴，
整理得，
∴，
∴，
∵，，
∴，解得．
②当，时，，即，
∴，
整理得，
当时，，
此时，与矛盾，舍去；
当，即时，直线l为，
则直线l存在“距一点”，如，等，符合题意．
③当，时，，即，
∴，
整理得，
∴，
∴，
∵，，
∴，
解得．
④当，时，，即，
∴，
整理得，
∴，
∴，
∵，，
∴，
解得．
综上所述，k的取值范围为．
故答案为：．
三、解答题（共6小题，其中第19题6分，20-24题每小题8分，共54分）
19. 如图，在中，，，于点D，平分，求的度数．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了三角形内角和定理、三角形外角的性质、角平分线等知识点，弄清角之间的关系是解题的关键．
由三角形内角和定理可得，再根据三角形外角的性质可得，利用角平分线的定义可得，最后运用三角形内角和定理求解即可．
【详解】解：∵于点D，，
∴，
∵，
∴，
∵AE平分，
∴，
∴．
故答案为：．
20. 如图，在平面直角坐标系中，网格上的每个小正方形的边长均为．
（1）在图中作出关于轴对称，并写出三个顶点的坐标；
（2）直接写出的面积为______．
【答案】（1）图见解析，，，
（2）
【解析】
【分析】本题考查轴对称的坐标变换，割补法求网格三角形面积，掌握轴对称的坐标变换规则是解题关键．
（1）先根据关于轴对称的点的坐标变换规则，求出各顶点的坐标，再据此画出对称后的三角形；
（2）用割补法将补入一个规则矩形中，通过矩形面积减去周围三个直角三角形的面积，计算出的面积．
【小问1详解】
解：如图，即为．
关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数，
已知，，，
则，，．
答：，，．
【小问2详解】
解：由图可知，的外接矩形边长分别为和，
其周围的直角三角形边长分别为和，和，和，
则．
答：．
21. 在平面直角坐标系中，一次函数的图像经过点．
（1）求该函数表达式；
（2）若点在该函数图像上，求点P的坐标．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、一次函数上点的坐标特征等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键．
（1）将代入求得k的值即可解答；
（2）将代入（1）所得的函数解析式求得a的值，进而求得点P的坐标．
【小问1详解】
解：将代入中得：，解得：，
∴函数表达式为．
【小问2详解】
解：将代入中，得，解得．
∴．
22. 如图，在和中，，，．
（1）求证：；
（2）求证：．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，灵活运用全等三角形的判定定理证明三角形全等是解题的关键．
（1）先用证明可得，再根据角的和差即可证明结论；
（2）由可得、，易证可得，进而得到，再证明，最后运用全等三角形的对应边相等即可证明结论．
【小问1详解】
证明：∵，
∴在和中，
，
∴．
∴，
∴，
∴．
【小问2详解】
证明：∵，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴．
在和中，
，
∴，
∴．
23. “卡旺卡”是安徽网红奶茶品牌，今年因“广德三件套”的爆火吸引了无数外省游客．2026年元旦期间，某门店销售“手剥大橘”和“徽州酒酿”两种口味的奶茶，若购买3杯“手剥大橘”和4杯“徽州酒酿”共需136元；若购买1杯“手剥大橘”和3杯“徽州酒酿”共需77元．
（1）“手剥大橘”和“徽州酒酿”分别是多少元一杯？
（2）若旅游团队需要购买两种奶茶共30杯，且“手剥大橘”的数量比“徽州酒酿”多，且差不大于7，怎样购买才能使总费用最少？并求出最少费用．
【答案】（1）“手剥大橘”是20元一杯，“徽州酒酿”是19元一杯
（2）所以购买“手剥大橘”16杯，“徽州酒酿”14杯才能使总费用最少，最少费用为586元
【解析】
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用、用一次函数增减性求最值等知识点，正确列出方程组和一次函数的关系式是解题的关键．
（1）设“手剥大橘”是x元一杯，“徽州酒酿”是y元一杯，再根据题意建立方程组求解即可；
（2）设“手剥大橘”m杯，则“徽州酒酿”杯，总费用为w元，根据题意列不等式求出m的取值范围，进而确定m的可能取值，再根据题意列出w与m之间的函数关系式，最后根据一次函数的增减性即可求出w的最小值即可．
【小问1详解】
解：设“手剥大橘”是x元一杯，“徽州酒酿”是y元一杯，
由题意得：，解得．
答：“手剥大橘”是20元一杯，“徽州酒酿”是19元一杯．
【小问2详解】
解：设“手剥大橘”m杯，则“徽州酒酿”杯，总费用为w元，
由“手剥大橘”与“徽州酒酿”数量的差不大于7，
则，解得：，
又∵m为正整数，
∴m的值为16或17或18，
∵总费用，，w随m增大而增大，
∴当时，．
答：所以购买“手剥大橘”16杯，“徽州酒酿”14杯才能使总费用最少，最少费用为586元．
24. （1）阅读理解：问题：如图1，在四边形中，对角线平分，．求证：．
思考：“角平分线+对角互补”可以通过“截长、补短”等构造全等去解决问题．
方法1：在上截取，连接，得到全等三角形，进而解决问题；
方法2：延长到点，使得，连接，得到全等三角形，进而解决问题．
结合图1，在方法1和方法2中任选一种，添加辅助线并完成证明．
（2）问题解决：如图2，在（1）的条件下，连接，当时，探究线段，，之间的数量关系，并说明理由；
（3）问题拓展：如图3，在四边形中，，，过点作，垂足为点，请写出线段、、之间的数量关系．
【答案】（1）见解析；（2），见解析；（3），见解析
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定；
（1）方法1：在上截取，连接，证明，得出，，进而得出，则，等量代换即可得证；方法：延长到，使，连接，证明，得出，，进而得出，则，等量代换即可得证
（2），，之间的数量关系为．方法1：在上截取，连接，由知，得出，为等边三角形，证明，得出，进而即可得证；方法：延长到，使，连接，由知，则，是等边三角形，证明，得出，进而即可得证；
（3）线段、、之间的数量关系为，连接，过点作于点，证明，和，得出，进而即可得证．
【详解】解：（1）方法1：在上截取，连接，
平分，
，
在和中，
，
，
，，
，，
，
，
；
方法2：延长到，使，连接，
平分，
，
在和中，
，
，
，，
，，
，
，
；
（2），，之间的数量关系为．
方法1：理由如下：
如图，在上截取，连接，
由（1）知，
，
，
，
，
为等边三角形，
，，
，
为等边三角形，
，，
，
，
，
．
方法：理由：延长到，使，连接，
由（1）知，
，
是等边三角形，
，，
，
，
，
，
为等边三角形，
，，
，
，
即，
在和中，
，
，
，
，
；
（3）线段、、之间的数量关系为．
连接，过点作于点，
，，
，
在和中，
，
，
，，
在和中，
，
，
，
，
．