安徽省马鞍山市第八中学2023-2024学年八年级下学期期末数学试题

这是一份安徽省马鞍山市第八中学2023-2024学年八年级下学期期末数学试题，共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1. 下列根式中是最简二次根式的是( )
A B. C. D.
2. 一次数学测试后，某班40名学生的成绩被分为5组，第1～4组的频数分别为12、10、6、8，则第5组的频率是（ ）
A 0.1B. 0.2C. 0.3D. 0.4
3. 下列条件中，不能判断是直角三角形的是（ ）
A. B. C. D.
4. 已知ABCD中，∠A+∠C=200°，则∠B的度数是（ ）
A. 100°B. 160°C. 80°D. 60°
5. 某市2019年年底自然保护区覆盖率为，经过两年努力，预计该市2021年年底自然保护区覆盖率达到，则该市这两年自然保护区面积的平均增长率是（ ）
A B. C. D.
6. 将一根长为的筷子，置于底面直径为，高为的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长度为，则的取值的范围是（ ）
A. B. C. D.
7. 下列一元二次方程两个实数根之和为的是（ ）
A. B. C. D.
8. 如图所示，为的中位线，点在上，且，若，则的长为（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 5
9. 若顺次连接四边形ABCD各边中点所得到的四边形是矩形，则四边形ABCD一定满足（ ）
A. 对角线相等B. 对角线互相垂直C. 对角线互相平分D. 对角线相等且互相平分
10. 如图四边形ABCD是菱形，且∠ABC=60，△ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM，则下列五个结论中正确的是（ ）
①若菱形ABCD的边长为1，则AM+CM的最小值1；
②△AMB≌△ENB；
③S四边形AMBE=S四边形ADCM；
④连接AN，则AN⊥BE；
⑤当AM+BM+CM的最小值为2时，菱形ABCD的边长为2．
A. ①②③B. ②④⑤C. ①②⑤D. ②③⑤
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
11. 若代数式 有意义，则实数x的取值范围是________ ．
12. 已知一组数据：、、，小明用计算这一组数据的方差，那么 ______ .
13. 若关于x一元二次方程有实数根，则k的取值范围为______．
14. 化简：__．
15. 如图，是由一块正方形瓷砖与另外一种正多边形瓷砖铺成的无缝隙、不重叠的地面的一部分，则该正多边形的边数为_________．
16. 甲、乙两艘客轮同时离开港口，航行的速度都是．甲客轮用到达点，乙客轮用到达点．若两点的直线距离为，甲客轮沿着北偏东的方向航行，则乙客轮的航行方向为______．
17. 如图，中，，，，点为边上一动点，于点，于点，为中点，则的最小值为______．
18. 如图，矩形中，，，点E是边上一点，连接，把沿折叠，使点B落在点处，当为直角三角形时，的周长为______．
三、解答题（共46分）
19. 计算：
（1）；
（2）．
20. 用指定的方法解一元二次方程：
（1）；（配方法）
（2）．（公式法）
21. 已知如图一块钢板，，，，，，求这块钢板的面积．
22. 2024年是中国航天的重要一年，也是中国航天继续迈向辉煌的一年！其中，神舟十八号载人飞船预计将于2024年4月下旬发射，将接任神舟十七号继续执行空间站任务．某校为了解本校学生对我国航天事业的了解情况，在全校范围内开展了航天知识竞赛；现从该校七、八年级中各随机抽取n名学生的竞赛成绩（百分制，单位：分），并将竞赛成绩进行收集与整理，下面给出了部分信息．
信息一：将每个年级学生的竞赛成绩数据分成6组：A：，B：，C：，D：，E：，F：．
信息二：七年级竞赛成绩频数分布直方图和八年级竞赛成绩扇形统计图
信息三：八年级竞赛成绩的众数落在D组，八年级竞赛成绩D组和F组的数据为：
D组：85，86，86，86，87，88，89；F组：95，98，99．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：______，七年级竞赛成绩的中位数落在______组，八年级竞赛成绩的众数是______分；
（2）若把频数分布直方图中每组学生的平均成绩用这组数据的组中值代替（如的组中值为72.5），请求出七年级此次所抽取学生的平均成绩；
（3）若七、八年级各有600名学生参加此次竞赛，试估计该校这两个年级此次竞赛成绩不低于95分的总人数．
23. 已知如图所示，学校准备在教学楼后面搭建两个连在一起的简易矩形的自行车车棚（如图），一边利用教学楼的后墙（可利用的增长为），另外的边利用学校现有总长的铁栏围成，开有两个长为1米的木质门．
（1）求线段的取值范围；
（2）若围成的面积为，试求出自行车车棚的长和宽．
（3）能围成面积为的自行车车棚吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由．
24. 如图，在中，，过点的直线，为边上一点，过点作，交直线于，垂足为，连接．

（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）当在中点，四边形是什么特殊四边形？请说明你的理由；
（3）若为中点，则当的大小满足什么条件时，四边形是正方形？请说明你的理由．
马鞍山市第八中学2023—2024学年第二学期期末素质测试
八年级数学 试题卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1. 下列根式中是最简二次根式的是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】直接利用最简二次根式的定义分析得出答案．
【详解】A、，故此选项错误；
B、是最简二次根式，故此选项正确；
C、，故此选项错误；
D、，故此选项错误；
故选：B．
【点睛】本题主要考查了最简二次根式，正确把握定义是解题关键．
2. 一次数学测试后，某班40名学生的成绩被分为5组，第1～4组的频数分别为12、10、6、8，则第5组的频率是（ ）
A. 0.1B. 0.2C. 0.3D. 0.4
【答案】A
【解析】
【分析】根据第1~4组频数求得第5组的频数，再根据即可得到结论．
【详解】解：第5组的频数为：，
∴第5组的频率为：，
故选：A．
【点睛】此题主要考查了频数与频率，正确掌握频率求法是解题关键．
3. 下列条件中，不能判断是直角三角形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据勾股定理的逆定理、三角形的内角和为180度进行判定即可．
【详解】解：A、a：b：c=3：4：5，所以设a=3x，b=4x，c=5x，而（3x）2+（4x）2=（5x）2，故为直角三角形；
B、,所以设a=x，b=2x，c=x，而 符合勾股定理的逆定理，故为直角三角形；
C、因为∠A+∠B=∠C，∠A+∠B+∠C=180°，则∠C=90°，故为直角三角形；
D、因为，所以设∠A=3x，则∠B=4x，∠C=5x，故3x+4x+5x=180°，解得x=15°，3x=15×3=45°，4x=15×4=60°，5x=15×5=75°，故此三角形是锐角三角形．
故选：D
【点睛】此题考查了解直角三角形的相关知识，根据勾股定理的逆定理、三角形的内角和定理结合解方程是解题的关键．
4. 已知ABCD中，∠A+∠C=200°，则∠B的度数是（ ）
A. 100°B. 160°C. 80°D. 60°
【答案】C
【解析】
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A=∠C，AD∥BC．
∵∠A+∠C=200°，
∴∠A=100°．
∴∠B=180°﹣∠A=80°．
故选C．
5. 某市2019年年底自然保护区覆盖率为，经过两年努力，预计该市2021年年底自然保护区覆盖率达到，则该市这两年自然保护区面积的平均增长率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设该市这两年自然保护区面积的平均增长率为，根据该市2019年及2021年年底自然保护区覆盖率，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【详解】解：设该市这两年自然保护区面积的平均增长率为，
依题意得：，
解得：，（不合题意，舍去）．
故选：B．
6. 将一根长为的筷子，置于底面直径为，高为的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长度为，则的取值的范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，明确题意，准确构造直角三角形是解题的关键．如图，当筷子的底端在点时，筷子露在杯子外面的长度最短；当筷子的底端在点时，筷子露在杯子外面的长度最长．然后分别利用已知条件根据勾股定理即可求出的取值范围．
【详解】解：如图1所示，当筷子的底端在点时，筷子露在杯子外面的长度最长，
，
如图2所示，当筷子的底端在点时，筷子露在杯子外面的长度最短，
在中，，，
，
此时，
的取值范围是．
故选：B．
7. 下列一元二次方程的两个实数根之和为的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，掌握根与系数的关系以及使用的前提条件是一元二次方程有实根，掌握一元二次方程根与系数的关系和根的判别式是解题的关键．
根据根的判别式判断一元二次方程根的情况，再根据根与系数的关系求解即可
【详解】解：A. ，，，不符合题意；
B. ，，该方程无实根，不符合题意；
C. ，，该方程有实根，且，符合题意；
D. ，，该方程无实根，不符合题意；
故选C．
8. 如图所示，为的中位线，点在上，且，若，则的长为（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 5
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．根据三角形中位线定理求出，根据直角三角形的性质求出，计算即可．
【详解】解：为的中位线，
，
，是的中点，
，
，
故选：A．
9. 若顺次连接四边形ABCD各边中点所得到的四边形是矩形，则四边形ABCD一定满足（ ）
A. 对角线相等B. 对角线互相垂直C. 对角线互相平分D. 对角线相等且互相平分
【答案】B
【解析】
【分析】此题要根据矩形的性质和三角形中位线定理求解；首先根据三角形中位线定理知：所得四边形的对边都平行且相等，那么其必为平行四边形，若所得四边形是矩形，那么邻边互相垂直，故原四边形的对角线必互相垂直，由此得解．
【详解】解：已知：如下图，四边形EFGH是矩形，且E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD的中点，
求证：四边形ABCD是对角线垂直的四边形，
证明：由于E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD的中点，
根据三角形中位线定理得：EH∥FG∥BD，EF∥AC∥HG，
∵四边形EFGH是矩形，即EF⊥FG，
∴AC⊥BD，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质和三角形中位线定理，解题的关键是构造三角形利用三角形的中位线定理解答．
10. 如图四边形ABCD是菱形，且∠ABC=60，△ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM，则下列五个结论中正确的是（ ）
①若菱形ABCD的边长为1，则AM+CM的最小值1；
②△AMB≌△ENB；
③S四边形AMBE=S四边形ADCM；
④连接AN，则AN⊥BE；
⑤当AM+BM+CM的最小值为2时，菱形ABCD的边长为2．
A. ①②③B. ②④⑤C. ①②⑤D. ②③⑤
【答案】C
【解析】
【详解】解：①连接AC，交BD于点O，∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC，BD⊥AC，AO=BO
∴点A，点C关于直线BD对称，∴M点与O点重合时AM+CM的值最小为AC的值
∵∠ABC=60，∴△ABC是等边三角形，∴AB=AC，∵AB=1，∴AC=1，即AM+CM的值最小为1，故①正确．
②∵△ABE是等边三角形，∴BA=BE，∠ABE=60°．
∵∠MBN=60°，∴∠MBN﹣∠ABN=∠ABE﹣∠ABN．
即∠MBA=∠NBE．
又∵MB=NB，∴△AMB≌△ENB（SAS），故②正确．
③∵S△ABE+S△ABM=S四边形AMBE
S△ACD+S△AMC=S四边形ADCM，且S△AMB≠S△AMC，∴S△ABE+S△ABM≠S△ACD+S△AMC，∴S四边形AMBE≠S四边形ADCM，故③错误．
④假设AN⊥BE，且AE=AB，∴AN是BE的垂直平分线，∴EN=BN=BM=MN，∴M点与O点重合，∵条件没有确定M点与O点重合，故④错误．
⑤如图，连接MN，由（1）知，△AMB≌△ENB，∴AM=EN，∵∠MBN=60°，MB=NB，∴△BMN是等边三角形，∴BM=MN，∴AM+BM+CM=EN+MN+CM．
根据“两点之间线段最短”，得EN+MN+CM=EC最短
∴当M点位于BD与CE的交点处时，AM+BM+CM的值最小，即等于EC的长．
过E点作EF⊥BC交CB的延长线于F，∴∠EBF=180°﹣120°=60°，设菱形的边长为x，∴BF=x，EF=x，在Rt△EFC中，∵EF2+FC2=EC2，∴ ，解得x=2，故⑤正确．
综上所述，正确的答案是：①②⑤，故选C．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
11. 若代数式 有意义，则实数x的取值范围是________ ．
【答案】且
【解析】
【分析】本题考查了二次根式以及分式有意义的条件，根据，即可解决．
【详解】解： 在实数范围内有意义，
，解得：且，
故答案为：且．
12. 已知一组数据：、、，小明用计算这一组数据的方差，那么 ______ .
【答案】
【解析】
【分析】根据方差公式可以确定这组数据的平均数和数据个数，相乘即可得出答案．
【详解】解：由，可知这个数据的平均数为，
所以，
故答案为：．
【点睛】本题考查了方差公式，解题关键是熟记方差计算公式，根据公式确定平均数与数据个数．
13. 若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围为______．
【答案】且
【解析】
【分析】根据二次项系数非零及根的判别式△，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出的取值范围．
【详解】解：关于的方程有两个实数根，
，
解得：，
，
，
的取值范围为且，
故答案为：且．
【点睛】本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，根据二次项系数非零及根的判别式，列出关于的一元一次不等式组是解题的关键．
14. 化简：__．
【答案】0
【解析】
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，利用二次根式的性质进行化简，完全平方公式等知识．熟练掌握二次根式有意义的条件，利用二次根式的性质进行化简，完全平方公式是解题的关键．
由题意知，，可求，根据，求解作答即可．
【详解】解：由题意知，，
解得，，
∴，
故答案为：0．
15. 如图，是由一块正方形瓷砖与另外一种正多边形瓷砖铺成的无缝隙、不重叠的地面的一部分，则该正多边形的边数为_________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查平面镶嵌，先确定正边形的内角，然后确定的值即可．判断一种或几种图形是否能够镶嵌，只要看一看拼在同一顶点处的几个角能否构成周角，若能构成，则说明能够进行平面镶嵌，反之则不能．也考查了多边形的内角和．
【详解】解：设正多边形的边数为，
∵正方形的内角为，
∴正边形的内角为：，
根据题意可得：
，
解得：，
∴该正多边形的边数为．
故答案为：．
16. 甲、乙两艘客轮同时离开港口，航行的速度都是．甲客轮用到达点，乙客轮用到达点．若两点的直线距离为，甲客轮沿着北偏东的方向航行，则乙客轮的航行方向为______．
【答案】南偏东
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理的逆定理以及方向角，根据、、的长度，利用勾股定理的逆定理找出是解题的关键．依照题意画出图形，根据路程速度时间可求出、，根据、、的长度，利用勾股定理的逆定理即可得出，结合的度数即可求出的度数，此题得解．
【详解】解：依照题意画出图形，如图所示．
，，，
，
，
为直角三角形，且，
，
乙客轮的航行方向为南偏东；
故答案为：南偏东．
17. 如图，中，，，，点为边上一动点，于点，于点，为中点，则的最小值为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查矩形的性质，勾股定理，三角形的面积公式，垂线段最短等知识点．求出的最小值是解题的关键．如图，连接，证明四边形是矩形，得，推出，根据垂线段最短得出时，的值最小，继而确定的最小值，由勾股定理求出，根据面积关系建立等式求出其解即可．
【详解】解：如图，连接，
∵，，，
∴，
∴四边形是矩形，
∴与互相平分且，
∵为中点，
∴与的交点就是点，
∴，即，
即当的值最小时，的值最小，
当时，的值最小，此时取最小值，
∵，
∴，
在中，，，，
∴，
∴，
∴，
∴的最小值为．
故答案为：．
18. 如图，矩形中，，，点E是边上一点，连接，把沿折叠，使点B落在点处，当为直角三角形时，的周长为______．
【答案】12或
【解析】
【分析】本题考查的是折叠变换的性质，掌握折叠变换是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解题的关键．
当点落在矩形内部时，连接，先利用勾股定理计算出，根据折叠性质得，而当为直角三角形时，只能得到，所以点A、、C共线，即沿折叠，使点B落在对角线上的点处，则，，可计算出，设，则，然后在中运用勾股定理可计算出x，最后根据三角形的周长是三条边的长度和即可得出答案；当点落在边上时，根据此时四边形为正方形解答．
【详解】解：当为直角三角形时，有两种情况：
①当点落在矩形内部时，如图1，连接，
在中，，，
∵沿折叠，使点B落在点处，
∴，
当为直角三角形时，得到，
∴点A、、C共线，即沿折叠，使点B落在对角线上的点处，
∴，，
∴，
设，则，
中，
∵，
∴，
解得，
∴，
的周长为；
②当点落在边上时，如图2，
此时为正方形，
∴，
折叠
∴
在中，
的周长为；
综上所述，的周长为12或．
故答案为：12或．
三、解答题（共46分）
19. 计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）3 （2）2
【解析】
【分析】本题考查了根式的混合运算，去绝对值符号，零指数幂，
（1）利用二次根式的混合运算法则计算即可；
（2）去括号，去绝对值符号，算零指数幂，然后再算加减即可．
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
解：
．
20. 用指定的方法解一元二次方程：
（1）；（配方法）
（2）．（公式法）
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】此题分别考查了利用配方法和公式法解一元二次方程，其中配方法的关键是方程两边同时加上一次项系数一半的平方，公式法的关键 熟练掌握求根公式．
（1）首先移项，然后方程两边同时加上16即可完成配方，然后解方程即可求解；
（2）利用求根公式即可求解．
【小问1详解】
解：（配方法），
，
，
，
，
，；
【小问2详解】
解：
，，，
，
，
．
21. 已知如图一块钢板，，，，，，求这块钢板的面积．
【答案】24平方厘米
【解析】
【分析】本题考查正确运用勾股定理．善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．连接．利用勾股定理可求出的长，根据的三边关系可得是直角三角形，根据三角形的面积公式可求出与的面积，进而求出四边形的面积．
【详解】解：如图，连接，
由勾股定理得，
，，，即，
故是直角三角形，，
故四边形的面积
22. 2024年是中国航天的重要一年，也是中国航天继续迈向辉煌的一年！其中，神舟十八号载人飞船预计将于2024年4月下旬发射，将接任神舟十七号继续执行空间站任务．某校为了解本校学生对我国航天事业的了解情况，在全校范围内开展了航天知识竞赛；现从该校七、八年级中各随机抽取n名学生的竞赛成绩（百分制，单位：分），并将竞赛成绩进行收集与整理，下面给出了部分信息．
信息一：将每个年级学生的竞赛成绩数据分成6组：A：，B：，C：，D：，E：，F：．
信息二：七年级竞赛成绩频数分布直方图和八年级竞赛成绩扇形统计图
信息三：八年级竞赛成绩的众数落在D组，八年级竞赛成绩D组和F组的数据为：
D组：85，86，86，86，87，88，89；F组：95，98，99．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：______，七年级竞赛成绩的中位数落在______组，八年级竞赛成绩的众数是______分；
（2）若把频数分布直方图中每组学生的平均成绩用这组数据的组中值代替（如的组中值为72.5），请求出七年级此次所抽取学生的平均成绩；
（3）若七、八年级各有600名学生参加此次竞赛，试估计该校这两个年级此次竞赛成绩不低于95分的总人数．
【答案】（1）20；C；86
（2）83.75 （3）估计该校这两个年级此次竞赛成绩不低于95分的总人数为120人
【解析】
【分析】本题考查条形统计图、扇形统计图的意义，理解统计图表中各个数量之间的关系是正确解答的前提，样本估计总体是统计中常用的方法．
（1）根据八年级D组有7人，占总人数的，即可求出总人数，从而求出七年级B组人数和中位数；
（2）根据平均数的计算公式求解即可；
（3）用600×七年级和八年级成绩不低于95分人数所占比例即可．
【小问1详解】
八年级D组有7人，占总人数的，
∴；
总人数是20人，
∴B组人数有
∴中位数是第10，11人
∴七年级竞赛成绩中位数落在C组；
∵八年级竞赛成绩的众数落在D组，
∴众数是86；
【小问2详解】
由题意得：
【小问3详解】
由题意得：人
∴估计该校这两个年级此次竞赛成绩不低于95分的总人数为120人
23. 已知如图所示，学校准备在教学楼后面搭建两个连在一起的简易矩形的自行车车棚（如图），一边利用教学楼的后墙（可利用的增长为），另外的边利用学校现有总长的铁栏围成，开有两个长为1米的木质门．
（1）求线段的取值范围；
（2）若围成的面积为，试求出自行车车棚的长和宽．
（3）能围成面积为的自行车车棚吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由．
【答案】（1）
（2）自行车车棚的长和宽分别为，
（3）不能围成面积为的自行车车棚，见解析
【解析】
【分析】（1）设线段的长为，则的长为，根据可利用的增长为，即可求解；
（2）表示出矩形面积，求出即可；
（3）由长方形的面积列出方程，解方程，即可解决问题．
此题主要考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
【小问1详解】
解：设线段的长为，则的长为，
根据题意得，解得，
线段取值范围为；
【小问2详解】
解：根据题意列方程，得，
解得，；
当时，，
当时，，而墙长，不合题意舍去，
答：若围成的面积为，自行车车棚的长和宽分别为，；
【小问3详解】
解：不能围成面积为的自行车车棚．理由如下：
根据题意得，
整理得：，
，
方程无实数根，
不能围成面积为的自行车车棚．
24. 如图，在中，，过点的直线，为边上一点，过点作，交直线于，垂足为，连接．

（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）当在中点，四边形是什么特殊四边形？请说明你的理由；
（3）若为中点，则当的大小满足什么条件时，四边形是正方形？请说明你的理由．
【答案】（1）见解析 （2）四边形是菱形，理由见解析
（3）当时，四边形是正方形，理由见解析
【解析】
【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质、正方形的判定、等腰三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）由题意得出，结合即可证明四边形是平行四边形；
（2）先证明四边形是平行四边形，结合即可得出四边形是菱形；
（2）当时，求出，结合菱形的性质求出，即可得解．
【小问1详解】
证明：∵，，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形；
【小问2详解】
解：四边形是菱形，理由如下：
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，在中点，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形；
【小问3详解】
解：当时，四边形是正方形，理由如下：
∵，，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是正方形．