安徽省安庆市第四中学 2025-2026学年八年级上学期期末数学试题

这是一份安徽省安庆市第四中学 2025-2026学年八年级上学期期末数学试题，共33页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。
温馨提示：满分150分，时间120分钟
一、选择题（本题共10小题，每小题4分，满分40分）
1. 2025年11月21日第十五届全运会在广州落下帷幕，请同学们在以下给出的运动图片中选出是轴对称图形的运动（ ）
A. B. C. D.
2. 下列计算正确是（ ）
A. B.
C. D.
3. 如图，将一片枫叶固定在正方形网格中，若点A的坐标为，点B的坐标为，则点C的坐标为（ ）
A. B. C. D.
4. 下列命题中，一定是真命题的是：（ ）
A. 等腰三角形的角平分线，高，中线互相重合
B. 线段垂直平分线上的点到线段上任意两点距离相等
C. 三角形三条角平分线交于一点，并且这一点到三个顶点距离相等
D. 两角分别相等且其中一组等角的对边分别相等的两个三角形全等
5. 在平面直角坐标系中，将直线沿轴向下平移6个单位后，得到一条新的直线，该直线与x轴的交点坐标是（ ）
A. B. C. D.
6. 如图，，点A在射线上，以点O为圆心，长为半径画弧，交射线于点B．若分别以点A，B为圆心，长为半径画弧，两弧在内部交于点C，连接，则的大小为（ ）
A. B. C. D.
7. 如图，直线与直线交于点，则方程的解是（ ）
A. B. C. D.
8. 如图，在中，线段是的角平分线、是边上的中线，垂直于，已知：，则长是（ ）
A. 4B. 5C. 6D. 7
9. 对于正整数，规定函数．在平面直角坐标系中，将点中的分别按照上述规定，同步进行运算得到新的点的横、纵坐标（其中，均为正整数）．例如，点经过第次运算得到点．经过第次运算得到点，经过第次运算得到点，经过有限次运算后，必进入循环圈，按上述规定，将点经过第2026次运算后得到点是（ ）
A. B. C. D.
10. 如图，在中，，过点作于点，过点作于点，连接，过点作，交于点，与相交于点，若点是的中点，下列结论中①；②；③是等腰直角三角形；④正确的有（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11. 在中，是最简二次根式的是___________
12. 为节约用水，某城市对居民用水制定以下收费标准：一户水费由使用费和污水处理费组成，每月用水量不超过时，使用费为每立方米元；超过时，超过部分的使用费为每立方米元；污水处理费为每立方米元．设一户每月用水量为，应缴水费元，则与之间的函数表达式为___________
13. 如图，在中，，过点作，且，连接，若，则的长为___________．
14. 在平面直角坐标系中，函数的图象经过点和．
（1）的值为___________；
（2）当时，对于的每一个值，函数的值既小于函数的值，也小于函数的值，请写出的取值范围___________．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15. （1）；
（2）实数在数轴上的位置如图所示，请化简．
16 已知与成正比例函数关系，且当时，．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）当时，求y的值．
四、（本大题共2小题，每题8分，共16分）
17. 如图，在平面直角坐标系中，如图所示．
（1）的面积为___________；
（2）在图中画出关于轴的对称图形，点的坐标为___________，点的坐标为___________；
（3）若点是轴上的一个动点，当点的坐标为___________时，周长最小．
18. 求证：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等．（注意：不可直接应用“”证明）
五、（本大题共2小题，每题10分，共20分）
19. 如图，在和中，，，．
（1）求证：；
（2）求证：．
20. 如图，点是等边内一点，点是外一点，，连接．
（1）求证：是等边三角形；
（2）若，求的长．
六、（本大题共12分）
21. 如图，已知：在中，，平分交于点．
（1）用尺规作图：过点作于点，并交于点（不要求写作法，但保留作图痕迹）；
（2）求证：．
七、（本大题共12分）
22. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数图象与轴交于点，且与一次函数图象相交于点，一次函数图象与轴相交于点C．
（1） ___________， ___________；
（2）若在一次函数上存在点，使得，求点的坐标．
23. 已知是边长为的等边三角形，点在射线上运动，点在线段上运动，连接，以为边向右作等边，连接．
（1）如图，当点与点重合，点在点右侧时，求证；
（2）如图，在（1）的条件下，过点作于，且，求线段的长；
（3）如图，当点与点不重合，点在点左侧，且时，求线段的最小值．安庆四中2025-2026学年度第一学期期末调研
八年级数学试题
温馨提示：满分150分，时间120分钟
一、选择题（本题共10小题，每小题4分，满分40分）
1. 2025年11月21日第十五届全运会在广州落下帷幕，请同学们在以下给出的运动图片中选出是轴对称图形的运动（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了轴对称图形，
根据定义逐项判断即可，将一个图形沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能够重合，这样的图形叫做轴对称图形．
【详解】解：因为图A不是轴对称图形，所以不符合题意；
因为图B不是轴对称图形，所以不符合题意；
因为图C是轴对称图形，所以符合题意；
因为图D不是轴对称图形，所以不符合题意．
故选：C．
2. 下列计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查二次根式的性质、二次根式的加法法则、二次根式的乘法法则、二次根式的除法法则，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键．根据二次根式的性质、二次根式的加法法则、二次根式的乘除法法则进行判断即可．
【详解】解：A、，故本选项不符合题意；
B、，故本选项不符合题意；
C、，故本选项符合题意；
D、，不是同类二次根式不能合并，故本选项不符合题意；
故选：C．
3. 如图，将一片枫叶固定在正方形网格中，若点A的坐标为，点B的坐标为，则点C的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了坐标确定位置．根据点的坐标为，点的坐标为确定坐标原点，建立平面直角坐标系，由坐标系可以直接得到答案．
【详解】解：如图，
点的坐标为．
故选：D．
4. 下列命题中，一定是真命题的是：（ ）
A. 等腰三角形的角平分线，高，中线互相重合
B. 线段垂直平分线上的点到线段上任意两点距离相等
C. 三角形三条角平分线交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等
D. 两角分别相等且其中一组等角的对边分别相等的两个三角形全等
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了命题与定理，命题的真假是就命题的内容而言，正确掌握定理是解题的关键．根据等腰三角形的性质即可对A进行判断；根据垂直平分线的性质即可对B进行判断；根据角平分线的性质即可对C进行判断；根据三角形全等的证明即可对D进行判断．
【详解】解：A、等腰三角形顶角的角平分线，底边上的高，中线互相重合，原命题为假命题，故A不符合题意；
B、线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，原命题是假命题，故B不符合题意；
C、三角形三条角平分线交于一点，并且这一点到三边的距离相等，原命题是假命题，故C不符合题意；
D、两角分别相等且其中一组等角的对边分别相等的两个三角形全等，原命题是真命题，故D符合题意．
故选：D．
5. 在平面直角坐标系中，将直线沿轴向下平移6个单位后，得到一条新的直线，该直线与x轴的交点坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了一次函数图象的平移，熟练掌握一次函数图象的平移规律是解题关键．先根据一次函数图象的平移规律可得平移后新的直线的解析式，再求出当时，的值，由此即可得．
【详解】解：将直线沿轴向下平移6个单位后，得到一条新的直线的解析式为，即为，
将代入得：，
解得，
则平移后，新的直线与轴的交点坐标是，
故选：B．
6. 如图，，点A在射线上，以点O为圆心，长为半径画弧，交射线于点B．若分别以点A，B为圆心，长为半径画弧，两弧在内部交于点C，连接，则的大小为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，三角形内角和定理等知识点，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键．
连接，则由作图可得，那么为等边三角形，可证明，再根据全等三角形性质以及三角形内角和定理即可求解．
详解】解：如图，连接，
由作图可得，，
∴为等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
故选：B．
7. 如图，直线与直线交于点，则方程的解是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查一次函数与二元一次方程组的关系，函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解．
根据一次函数与二元一次方程组的关系可得方程组的解是，对比方程组，可得第二方程组中与第一个方程组中对应，第二方程组中与第一个方程组中对应，故，由此解答即可．
【详解】∵直线与直线交于点，
∴方程组的解是．
∴方程组中，，
解得．
故选：D．
8. 如图，在中，线段是的角平分线、是边上的中线，垂直于，已知：，则长是（ ）
A. 4B. 5C. 6D. 7
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了三角形面积公式．
过点作于点，如图，先利用三角形面积公式得到，再根据角平分线的性质得到，然后根据三角形面积公式，利用可求出的长．
【详解】解：过点作于点，如图，
∵是边上的中线，
∴，
∴，
∵线段是的角平分线，，
∴，
∵，
∴，
解得．
故答案为：B．
9. 对于正整数，规定函数．在平面直角坐标系中，将点中的分别按照上述规定，同步进行运算得到新的点的横、纵坐标（其中，均为正整数）．例如，点经过第次运算得到点．经过第次运算得到点，经过第次运算得到点，经过有限次运算后，必进入循环圈，按上述规定，将点经过第2026次运算后得到点是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了数字类规律探究，点的坐标规律，求函数值．通过计算点每次运算后的结果，发现其变化呈现周期性循环，周期为3次．利用周期性规律，确定第2026次运算后的结果．
【详解】解：初始点：（第0次运算）．
第1次：横坐标为偶数，； 纵坐标为奇数，； 得到点；
第2次： 横坐标为奇数，； 纵坐标为偶数，； 得到点；
第3次：横坐标为偶数，；纵坐标为偶数，；得到点，与初始点相同，
即三次一循环，
，
∴第次运算后对应点与第1次运算后的点相同，即．
故选：A．
10. 如图，在中，，过点作于点，过点作于点，连接，过点作，交于点，与相交于点，若点是的中点，下列结论中①；②；③是等腰直角三角形；④正确的有（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的判定、性质直角三角形的性质、等腰直角三角形的判定和性质，作出正确的辅助线是解决本题的关键．根据已知证明是等腰直角三角形，则，通过角的转换进而证明和，即可利用证明；得到，，推出是等腰直角三角形；过点作于，根据等腰直角三角形的判定和性质可得，再根据题意可知，进而利用证明，则，可得，进而即可证明；得到，设，则可得，，证明可得，再根据等底同高可知，则可求出，进而即可得出结果．
【详解】解：∵，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，，
∴；
又∵，
∴，
在和中，，
∴，故①正确；
∴，，
∴是等腰直角三角形，故③正确；
过点作于，如图，
则，
∵是等腰直角三角形，
∵，
∴，
点是的中点，
，
在与中，，
，
，
，
，
∴，
∴，
∴，故②正确；
，
∴，
∴，
设，
，
，
在和中，，
，
，
点是的中点，
，
，
，即，故④正确．
综上，正确的结论有①②③④共4个．
故选：D．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11. 在中，是最简二次根式的是___________
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了最简二次根式，根据最简二次根式的定义，被开方数不含分母且不含能开得尽方的因数或因式，逐一判断各二次根式即可．
【详解】解：，不是最简二次根式；
，不是最简二次根式；
的被开方数15不含平方因子，是最简二次根式；
被开方数含分母，不是最简二次根式；
被开方数含分母，不是最简二次根式，
故答案为：．
12. 为节约用水，某城市对居民用水制定以下收费标准：一户的水费由使用费和污水处理费组成，每月用水量不超过时，使用费为每立方米元；超过时，超过部分的使用费为每立方米元；污水处理费为每立方米元．设一户每月用水量为，应缴水费元，则与之间的函数表达式为___________
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，理解题意正确列出函数表达式是解题的关键；
水费由使用费和污水处理费组成，污水处理费每立方米1.2元；使用费分段计费：用水量不超过16立方米时，每立方米1.3元，超过部分每立方米2.0元，因此分段写出函数表达式即可．
【详解】解：①当时，使用费为元，污水处理费为元，
故；
②当时，使用费为元，污水处理费为元，
故，
∴与之间的函数表达式为，
故答案为：．
13. 如图，在中，，过点作，且，连接，若，则的长为___________．
【答案】8
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质等知识．作交延长线于点，证明得到，根据得到，即可求出．
【详解】解：如图，作交延长线于点．
∵，，，
∴，
∴，
∴．
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
即，
∴（负值已舍）．
故答案为：．
14. 在平面直角坐标系中，函数的图象经过点和．
（1）的值为___________；
（2）当时，对于的每一个值，函数的值既小于函数的值，也小于函数的值，请写出的取值范围___________．
【答案】（1）1 （2）
【解析】
【分析】本题考查一次函数与不等式的关系，找准临界值与函数的关系是关键．
（1）将点和代入函数解析式求k和b，再计算；
（2）根据不等式条件结合求m的取值范围．
【小问1详解】
解：函数经过点和，
代入得方程组：，
解得：，，
，
故答案为：1；
【小问2详解】
解：由（1）知，，
即，
即，
对于，有且，
即且，
当，恒成立，且对于恒成立，故成立，
当时，需且对于恒成立，故需且，解得，即，
当时，，不等式可化为，
要使该不等式对任意都成立是不可能的，故不符合题意，
综上，m取值范围为．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15. （1）；
（2）实数在数轴上的位置如图所示，请化简．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】本题考查了数轴，二次根式的性质进行化简及二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质及二次根式的运算法则是解此题的关键．
（1）根据根据二次根式的混合运算法则计算即可；
（2）由数轴可得，，由二次根式的性质得出即可解答．
【详解】解：（1）
；
（2）由数轴可得，，
．
16. 已知与成正比例函数关系，且当时，．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）当时，求y的值．
【答案】（1）与x之间的函数关系式为
（2）
【解析】
【分析】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式．
（1）根据与成正比例函数关系，设出函数的解析式，再把当时，代入函数解析式即可求出k的值，进而求出与之间的函数表达式．
（2）根据（1）中所求函数解析式，将代入其中，求得的值．
【小问1详解】
解：设，
将，代入，得，解得．
与x之间的函数关系式为；
【小问2详解】
由（1）知，，
则当时，，
．
四、（本大题共2小题，每题8分，共16分）
17. 如图，在平面直角坐标系中，如图所示．
（1）的面积为___________；
（2）在图中画出关于轴的对称图形，点的坐标为___________，点的坐标为___________；
（3）若点是轴上的一个动点，当点的坐标为___________时，周长最小．
【答案】（1）11 （2）图见解析，；
（3）
【解析】
【分析】本题主要考查了作图—轴对称变换，解题的关键掌握轴对称变换的定义和性质，并据此得出变换后的对称点．
（1）利用割补法求面积即可；
（2）分别作出三个顶点关于y轴的对称点，写出坐标，再首尾顺次连接即可；
（3）根据轴对称的性质，与y轴交点即为所求．
【小问1详解】
解：网格中三角形的面积可以用长方形面积减去三个直角三角形的面积得到，
；
故答案为：；
【小问2详解】
解：如图所示，
由轴对称的性质可得，点的坐标为，点的坐标为；
故答案为：；；
【小问3详解】
解：如图，根据轴对称的性质，,
周长为，
则当在与y轴交点时，周长最小，
设直线的解析式为，，，
，解得，
直线的解析式为，与y轴交点，
，
故答案为：．
18. 求证：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等．（注意：不可直接应用“”证明）
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题考查命题的证明，勾股定理、全等三角形的判定．掌握全等三角形的判定和直角三角形的性质是解题的关键．通过勾股定理推导出另一条直角边相等，再利用、判定全等．
【详解】证明：设和，其中，．
已知，．
，
．
，
．
，，
．
，
．
．
（边长取正值）．
在和中，
．
或在和中，
，
五、（本大题共2小题，每题10分，共20分）
19. 如图，在和中，，，．
（1）求证：；
（2）求证：．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键．
（1）根据定理证得，得到，即可证得结论；
（2）证明得到，证明，即可得到．
【小问1详解】
证明：∵，
在与中，
，
∴，
∴，
∴，
∴；
【小问2详解】
，
，，
在和中，
，
，
，
，
，
和中，
，
，
∴．
20. 如图，点是等边内一点，点是外的一点，，连接．
（1）求证：是等边三角形；
（2）若，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）6
【解析】
【分析】本题主要考查了三角形全等的性质，等边三角形的性质与判定，以及直角三角形角所对的边等于斜边的一半，解题的关键是熟练掌握并灵活运用相关知识点．
（1）根据得出，再根据为等边三角形，得出，从而得到，即可进行求证；
（2）三角形全等的性质得出，结合等边三角形的性质，得出，，最后根据直角三角形角所对的边等于斜边的一半即可求解．
【小问1详解】
证明：∵，
∴，
∵为等边三角形，
∴，
∴，
即，
∴是等边三角形；
【小问2详解】
解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∵是等边三角形．
∴，，
∴，
，
∴在中，，
∴．
六、（本大题共12分）
21. 如图，已知：在中，，平分交于点．
（1）用尺规作图：过点作于点，并交于点（不要求写作法，但保留作图痕迹）；
（2）求证：．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了尺规作角平分线，三角形外角的性质，全等三角形的性质和判定，等知识点，解题的关键是掌握以上知识点．
（1）以点C为圆心任意长为半径画弧交于，再以为圆心，大于的长为半径分别画弧交于点K，连接交于点，即为所求．
（2）在上截取，连接，证明，得出，根据三角形外角的性质得出，再证明，证出，即可得，即可证明．
【小问1详解】
解：如图，点，点即为所求．
【小问2详解】
证明：在上截取，连接，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
七、（本大题共12分）
22. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数图象与轴交于点，且与一次函数图象相交于点，一次函数图象与轴相交于点C．
（1） ___________， ___________；
（2）若在一次函数上存在点，使得，求点的坐标．
【答案】（1）；
（2）点的坐标为或
【解析】
【分析】本题主要考查了一次函数图象的应用，两直线的交点坐标，用一次函数求三角形的面积，分类讨论是解题的关键．
（1）根据两个一次函数图象交于点，可求出，再把点坐标代入即可求；
（2）设点的坐标为，根点在点B下方和点在点B上方两种情况求解即可．
【小问1详解】
解：一次函数与一次函数相交于点
点既在上也在上，
由可得：，
；
点的坐标为，
把点B代入可得，即；
故答案为：；；
【小问2详解】
解：，
设点的坐标为，
当点在点B下方时，，
，
解得：，
此时点的坐标为；
当点在点B上方时，，
，
解得：，
此时点的坐标为，
综上分析可知：点的坐标为或．
23. 已知是边长为的等边三角形，点在射线上运动，点在线段上运动，连接，以为边向右作等边，连接．
（1）如图，当点与点重合，点在点右侧时，求证；
（2）如图，在（1）的条件下，过点作于，且，求线段的长；
（3）如图，当点与点不重合，点在点左侧，且时，求线段的最小值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据等边三角形的性质证明，再根据全等三角形的性质即可得证；
（2）如图，过点作于点，交于点，证明得，进而得出，进而得出的长；
（3）如图，过点作于，作射线，过点作于，证明得，从而得出，则点在与成的定直线上运动，进一步得出结果．
【小问1详解】
证明：∵是等边三角形，
∴，，
∵是等边三角形，点与点重合，
∴是等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：如图，过点作于点，交于点，
∴，
∵，，
∴，
由（1）知：，即，
在和中，
，
∴，
∴，
∵是边长为的等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵∠BPO=∠ABC-∠POB=60°-30°，
∴，
∴；
【小问3详解】
如图，过点作于，作射线，过点作于，
∴，，
∵是边长为的等边三角形，
∴，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵是等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴点在与成定直线上运动，
∴当点在处时，最小，
∵，，，
∴，
∴的最小值为．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，含角的直角三角形的性质，直角三角形两锐角互余，等角对等边、垂线段最短等知识，通过作辅助线构造全等三角形、确定点的运动路径是解题的关键．