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安徽省安庆市第四中学2022-2023学年八年级下学期期末考试数学试卷
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这是一份安徽省安庆市第四中学2022-2023学年八年级下学期期末考试数学试卷，共22页。试卷主要包含了下列运算结果正确的是，在平面中，下列说法正确的是，某选手在比赛中的成绩等内容，欢迎下载使用。
安庆四中2022-2023学年第二学期八年级数学期末考试试卷
八年级数学试卷
一、 选择题（本大题10小题，每小题4分，共40分。每小题所给的四个选项中只有一个是正确的，请将正确选项的代号填在题后的括号内）
1．下列运算结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．若△ABC的三边长为a，b，c，则下列条件不能判定△ABC为直角三角形的是（ ）
A．a＝2，b＝3，c＝4 B．∠A+∠B＝∠C
C．∠A：∠B：∠C＝1：3：2 D．（b+c）（b﹣c）＝a2
3．下列一元二次方程中，没有实数根的是（ ）
A．x2﹣2x﹣3＝0 B．x2＝1 C．x2﹣x+1＝0 D．x2+2x+1＝0
4．在平面中，下列说法正确的是（ ）
A．四个角相等的四边形是矩形 B．对角线垂直的四边形是菱形
C．对角线相等的四边形是矩形 D．四边相等的四边形是正方形
5．如图，将一个长为10cm，宽为8cm的矩形纸片对折两次后，沿所得矩形两邻边中点的连线（虚线）剪下，再打开，得到的菱形的面积为（ ）
A．10cm2 B．20cm2 C．40cm2 D．80cm2
6．某选手在比赛中的成绩（单位：分）分别是90，87，92，88，93，方差是5.2（单位：分2），如果去掉一个最高分和一个最低分，那么该选手成绩的方差会（ ）
A．变大 B．不变 C．变小 D．不确定
7．如图，正方形ABCD中，∠DAF＝25°，AF交对角线BD于点E，那么∠BEC等于（ ）
A．45° B．60° C．70° D．75°
8．若关于x的一元二次方程x2+2x+kb+1＝0有两个不相等的实数根，则一次函数y＝kx+b的大致图象可能是（ ）
9．对于多项式x2+2x+4，由于x2+2x+4＝（x+1）2+3≥3，所以x2+2x+4有最小值3．已知关于x的多项式﹣x2+6x﹣m的最大值为10，则m的值为（ ）
A．1 B．﹣1 C．﹣10 D．﹣19
10．如图，点O为正六边形的中心，P，Q分别从点A（1，0）同时出发，沿正六边形按图示方向运动，点P的速度为每秒1个单位长度，点Q的速度为每秒2个单位长度，则第2023次相遇地点的坐标为（ ）
A． B．（1，0） C． D．（﹣1，0）
二、 填空题（本大题5小题，每小题5分，共25分.请将答案直接填在题后的横线上）
11．适合＝3﹣a的正整数a的值有 个．
12．如图，延长矩形ABCD的边BC至点E，使CE＝BD，连接AE，如果∠ADB＝30°，则∠E＝ 度．
13．若关于x的一元二次方程x2﹣3x+p＝0（p≠0）的两个不相等的实数根分别为a和b，且a2﹣ab+b2＝18，则+的值是 ．
14．在△ABC中，AB＝10，AC＝2，BC边上的高AD＝6，则BC的长为 ．
15．如图，在正方形纸片ABCD中，对角线AC，BD交于点O，折叠正方形纸片ABCD，使AD落在BD上，点A恰好与BD上的点F重合，展开后折痕DE分别交AB，AC于点E，G，连接GF，EF，给出下列结论：①∠ADG＝22.5°；②四边形AEFG是菱形；③S△AGD＝S△OGD；④BE＝2OG．其中正确的结论是 ．（将所有正确结论的序号都填写在横线上）
三、 解答题（本大题8小题，共85分）
16．（本小题满分8分）计算：（1）
（2）；
17．（本小题满分8分）用适当的方法解下列方程：
（1）（7x+3）2＝2（7x+3）； （2）．
18．（本小题满分8分）如图，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，已知O是AC的中点，AE＝CF，DF∥BE．
（1）求证：△BOE≌△DOF；
（2）若OD＝AC，则四边形ABCD是什么特殊四边形？请证明你的结论．
19．（本小题满分10分）为迎接我市青少年读书活动，某校倡议同学们利于课余时间多阅读，为了了解同学们的读书情况，在全校随机调查了部分同学在一周内的阅读时间，并用得到的数据绘制了统计图，根据图中信息解答下列问题：
（1）被抽查学生阅读时间的中位数为 小时，众数为 小时，平均数为 小时；
（2）已知全校学生人数为2400人，请你估算该校学生一周内阅读时间不少于三小时的有多少人？
20．（本小题满分12分）某商品根据以往销售经验，每天的售价与销售量之间有如下表的关系：
设当单价从38元/千克下调到x元时，销售量为y千克，已知y与x之间的函数关系是一次函数．
（1）求y与x的函数解析式；
（2）如果某商品的成本价是20元/千克，为使某一天的利润为780元，那么这一天的销售价应为多少元？（利润＝销售总金额﹣成本）
21．（本小题满分10分）阅读下列例题．
在学习二次根式性质时我们知道，
例题：求的值．
解：设x＝，两边平方得：
x2＝（）2＝（）2+（）2+2（）（），
即，x2＝10，
∴x＝±．
∵，∴．
请利用上述方法，求的值．
22．（本小题满分14分）关于x的方程（k﹣1）x2+2kx+2＝0．
（1）求证：无论k为何值，方程总有实数根．
（2）设x1，x2是方程（k﹣1）x2+2kx+2＝0的两个根，记S＝++x1+x2，S的值能为2吗？若能，求出此时k的值；若不能，请说明理由．
23．（本小题满分15分）如图①，已知正方形ABCD中，E，F分别是边AD，CD上的点（点E，F不与端点重合），且AE＝DF，BE，AF交于点P，过点C作CH⊥BE交BE于点H．
（1）写出AF与BE的数量关系为 ，位置关系为 ．
（2）若AB＝2，AE＝2，试求线段BH的长．
（3）如图②，连接CP并延长交AD于点Q，若点H是BP的中点，试求的值．
安庆四中2022-2023学年第二学期八年级数学期末考试试卷
八年级数学试卷 解析版
一、选择题（本大题10小题，每小题4分，共40分。每小题所给的四个选项中只有一个是正确的，请将正确选项的代号填在题后的括号内）
1．下列运算结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】利用平方根的定义对A进行判断；根据二次根式的性质对B、C进行判断；根据二次根式的加减法对D进行判断．
【解答】解：A、原式＝±3，所以A选项错误；
B、原式＝6，所以B选项正确；
C、原式＝2，所以C选项错误；
D、与﹣不能合并，所以D选项错误．
故选：B．
2．若△ABC的三边长为a，b，c，则下列条件不能判定△ABC为直角三角形的是（ ）
A．a＝2，b＝3，c＝4 B．∠A+∠B＝∠C
C．∠A：∠B：∠C＝1：3：2 D．（b+c）（b﹣c）＝a2
【分析】根据勾股定理的逆定理和三角形内角和解答即可．
【解答】解：A、因为22+32≠42，所以△ABC不为直角三角形，说法符合题意；
B、因为∠A+∠B＝∠C，所以∠C＝90°，△ABC为直角三角形，说法不符合题意；
C、因为∠A：∠B：∠C＝1：3：2，所以∠B＝90°，△ABC为直角三角形，说法不符合题意；
D、因为（b+c）（b﹣c）＝a2，所以a2+c2＝b2，△ABC为直角三角形，说法不符合题意；
故选：A．
3．下列一元二次方程中，没有实数根的是（ ）
A．x2﹣2x﹣3＝0 B．x2＝1 C．x2﹣x+1＝0 D．x2+2x+1＝0
【分析】分别找出一元二次方程中的二次项系数a，一次项系数b、常数项c，再利用一元二次方程根的判别式（Δ＝b2﹣4ac）判断方程的根的情况．
【解答】解：A、a＝1，b＝﹣2，c＝﹣3，b2﹣4ac＝4+12＝16＞0，有两个不相等的实数根，故此选项错误；
B、a＝1，b＝0，c＝﹣1，b2﹣4ac＝4＞0，有两个不相等的实数根，故此选项错误；
C、a＝1，b＝﹣1，c＝1，b2﹣4ac＝1﹣4＝﹣3＜0，没有实数根，故此选项正确；
D、a＝1，b＝2，c＝1，b2﹣4ac＝4﹣4＝0，有两个相等的实数根，故此选项错误；
故选：C．
4．在平面中，下列说法正确的是（ ）
A．四个角相等的四边形是矩形 B．对角线垂直的四边形是菱形
C．对角线相等的四边形是矩形 D．四边相等的四边形是正方形
【分析】根据矩形、菱形、正方形的判定定理，即可解答．
【解答】解：A．四个角相等的四边形是矩形，正确；
B．对角线垂直的平行四边形是菱形，故错误；
C．对角线相等的平行四边形是矩形，故错误；
D．四边相等的四边形应是菱形，故错误；
故选：A．
5．如图，将一个长为10cm，宽为8cm的矩形纸片对折两次后，沿所得矩形两邻边中点的连线（虚线）剪下，再打开，得到的菱形的面积为（ ）
A．10cm2 B．20cm2 C．40cm2 D．80cm2
【分析】矩形对折两次后，再沿两邻边中点的连线剪下，所得菱形的两条对角线的长分别原来矩形长和宽的一半，即5cm，4cm，所以菱形的面积可求．
【解答】解：矩形对折两次后，所得的矩形的长、宽分别为原来的一半，即为5cm，4cm，
而沿两邻边中点的连线剪下，剪下的部分打开前相当于所得菱形的沿对角线两次对折的图形，
所以菱形的两条对角线的长分别为5cm，4cm，
所以S菱形＝×5×4＝10 cm2．
故选：A．
6．某选手在比赛中的成绩（单位：分）分别是90，87，92，88，93，方差是5.2（单位：分2），如果去掉一个最高分和一个最低分，那么该选手成绩的方差会（ ）
A．变大 B．不变 C．变小 D．不确定
【分析】先求出去掉一个最高分和一个最低分的平均数，再代入方差公式求出去掉后的方差，然后进行比较即可得出答案．
【解答】解：如果去掉一个最高分和一个最低分，该选手的平均数是：（90+88+92）＝90，
则方差是：[（90﹣90）2+（88﹣90）2+（92﹣90）2]＝，
所以如果去掉一个最高分和一个最低分，那么该选手成绩的方差会变小；
故选：C．
7．如图，正方形ABCD中，∠DAF＝25°，AF交对角线BD于点E，那么∠BEC等于（ ）
A．45° B．60° C．70° D．75°
【分析】首先证明△AED≌△CED，即可证明∠ECF＝∠DAF＝25°，从而求得∠BEC，再根据三角形内角和定理即可求解．
【解答】解：∵AD＝CD，∠ADE＝∠CDE，DE＝DE
∴△AED≌△CED
∴∠ECF＝∠DAF＝25°，
又∵在△DEC中，∠CDE＝45°，
∴∠CED＝180°﹣25°﹣45°＝110°，
∴∠BEC＝180°﹣110°＝70°．
故选：C．
8．若关于x的一元二次方程x2+2x+kb+1＝0有两个不相等的实数根，则一次函数y＝kx+b的大致图象可能是（ ）
【分析】利用判别式的意义得到Δ＝22﹣4（kb+1）＞0，则 kb＜0，然后根据一次函数的性质对各选项进行判断．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+2x+kb+1＝0有两个不相等的实数根，
∴Δ＝22﹣4（kb+1）＞0，
∴kb＜0，
当k＞0，b＜0时，一次函数经过第一、三、四象限；当k＜0，b＞0时，一次函数经过第一、二、四象限．
故选：B．
9．对于多项式x2+2x+4，由于x2+2x+4＝（x+1）2+3≥3，所以x2+2x+4有最小值3．已知关于x的多项式﹣x2+6x﹣m的最大值为10，则m的值为（ ）
A．1 B．﹣1 C．﹣10 D．﹣19
【分析】原式配方后，利用非负数的性质确定出m的值即可．
【解答】解：原式＝﹣x2+6x﹣m＝﹣（x﹣3）2+9﹣m，
当x﹣3＝0，即x＝3时，原式取得最大值9﹣m＝10，
解得m＝﹣1．
故选：B．
10．如图，点O为正六边形的中心，P，Q分别从点A（1，0）同时出发，沿正六边形按图示方向运动，点P的速度为每秒1个单位长度，点Q的速度为每秒2个单位长度，则第2023次相遇地点的坐标为（ ）
A． B．（1，0） C． D．（﹣1，0）
【分析】根据A（1，0），O为正六边形的中心，可得OA＝AB＝1，连接OB，作BG⊥OA于点G，可得AG＝OA＝，BG＝，可得C（﹣，），E（﹣，﹣），根据题意可得，P，Q第一次相遇地点的坐标在点C（﹣，），以此类推：第二次相遇地点在点E（﹣，﹣），第三次相遇地点在点A（1，0），…如此循环下去，即可求出第2023次相遇地点的坐标．
【解答】解：∵A（1，0），O为正六边形的中心，
∴OA＝AB＝1，
连接OB，作BG⊥OA于点G，
则AG＝OA＝，BG＝，
∴B（，），
∴C（﹣，），
E（﹣，﹣），
∵正六边形的边长＝1，
∴正六边形的周长＝6，
∵点P的速度为每秒1个单位长度，点Q的速度为每秒2个单位长度，
∴第1次相遇需要的时间为：6÷（1+2）＝2（秒），
此时点P的路程为1×2＝2，点Q的路程为2×2＝4，
此时P，Q相遇地点的坐标在点C（﹣，），
以此类推：第二次相遇地点在点E（﹣，﹣），
第三次相遇地点在点A（1，0），
…如此下去，
∵2023÷3＝674……1，
∴第2023次相遇地点在点C，C的坐标为（﹣，）．
故选：A．
二、填空题（本大题5小题，每小题5分，共25分.请将答案直接填在题后的横线上）
11．适合＝3﹣a的正整数a的值有 3 个．
【分析】根据二次根式的性质，等式左边为算术平方根，右边的结果3﹣a应为非负数．
【解答】解：∵＝3﹣a
∴3﹣a≥0
∴a≤3
∴正整数a为1，2，3三个
故答案为：3
12．如图，延长矩形ABCD的边BC至点E，使CE＝BD，连接AE，如果∠ADB＝30°，则∠E＝ 15 度．
【分析】连接AC，由矩形性质可得∠E＝∠DAE、BD＝AC＝CE，知∠E＝∠CAE，而∠ADB＝∠CAD＝30°，可得∠E度数．
【解答】解：连接AC，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BE，AC＝BD，且∠ADB＝∠CAD＝30°，
∴∠E＝∠DAE，
又∵BD＝CE，
∴CE＝CA，
∴∠E＝∠CAE，
∵∠CAD＝∠CAE+∠DAE，
∴∠E+∠E＝30°，即∠E＝15°，
故答案为：15．
13．若关于x的一元二次方程x2﹣3x+p＝0（p≠0）的两个不相等的实数根分别为a和b，且a2﹣ab+b2＝18，则+的值是 ﹣5 ．
【分析】根据根与系数的关系得出a+b＝3，ab＝p，把a2﹣ab+b2＝18变形后代入，求出p的值，再变形代入求出即可．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣3x+p＝0（p≠0）的两个不相等的实数根分别为a和b，
∴a+b＝3，ab＝p，
∵a2﹣ab+b2＝18，
∴（a+b）2﹣3ab＝18，
∴9﹣3p＝18，
解得：p＝﹣3，
即ab＝﹣3，
所以+＝＝＝＝﹣5，
故答案为：﹣5
14．在△ABC中，AB＝10，AC＝2，BC边上的高AD＝6，则BC的长为 10或6 ．
【分析】分两种情况考虑，如图所示，分别在Rt△ABC与Rt△ACD中，利用勾股定理求出BD与CD的长，即可求出BC的长．
【解答】解：根据题意画出图形，如图所示，
如图1所示，AB＝10，AC＝2，AD＝6，
在Rt△ABD和Rt△ACD中，
根据勾股定理得：BD＝＝8，CD＝＝2，
此时BC＝BD+CD＝8+2＝10；
如图2所示，AB＝10，AC＝2，AD＝6，
在Rt△ABD和Rt△ACD中，
根据勾股定理得：BD＝＝8，CD＝＝2，
此时BC＝BD﹣CD＝8﹣2＝6，
则BC的长为6或10．
故答案为：10或6．
15．如图，在正方形纸片ABCD中，对角线AC，BD交于点O，折叠正方形纸片ABCD，使AD落在BD上，点A恰好与BD上的点F重合，展开后折痕DE分别交AB，AC于点E，G，连接GF，EF，给出下列结论：①∠ADG＝22.5°；②四边形AEFG是菱形；③S△AGD＝S△OGD；④BE＝2OG．其中正确的结论是 ．（将所有正确结论的序号都填写在横线上）
【分析】根据正方形的性质，折叠轴对称的性质，菱形的判定和性质以及直角三角形的边角关系逐项进行判断即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，BD是对角线，
∴∠ADB＝45°，
由折叠得，
∠ADG＝∠GDB＝∠ADB＝22.5°，
因此①正确；
由折叠得，EA＝EF，GA＝GF，∠ADG＝∠GDB＝22.5°，
又∵∠ADB+∠AED＝90°，∠GDB+∠DGO＝90°，∠AGE＝∠DGO，
∴∠AEG＝∠AGE，
∴AE＝AG，
∴AE＝AG＝EF＝FG，
∴四边形AEFG是菱形，
因此②正确；
过点G作GM⊥AD于点M，则GM＝GO，
此时△GMD≌GOD，
即S△GMD＝S△GOD≠S△ADG，
因此③不正确；
由题意可得，△BEF，△FGO是等腰直角三角形，
∴FG＝OG，BE＝EF，
又∵FG＝EF，
∴BE＝2OG，
因此④正确；
综上所述正确的结论有：①②④，
故答案为：①②④．
三、解答题（本大题8小题，共85分）
16．（本小题满分8分）计算：（1）
（2） ；
【分析】（1）先去绝对值，然后把二次根式化为最简二次根式后合并即可．
【分析】（2）直接利用二次根式的混合运算法则计算得出答案．
【解答】解：（1）原式＝+2+5﹣3
＝+5．
（2）原式＝
＝4﹣2；
17．（本小题满分8分）用适当的方法解下列方程：
（1）（7x+3）2＝2（7x+3）； （2）．
【分析】（1）利用因式分解法求解即可；
（2）利用配方法求解即可．
【解答】解：（1）∵（7x+3）2＝2（7x+3），
∴（7x+3）2﹣2（7x+3）＝0，
则（7x+3）（7x+1）＝0，
∴7x+3＝0或7x+1＝0，
解得x1＝﹣，x2＝﹣；
（2）∵，
∴，
∴（x﹣）2＝3，
∴x﹣＝±，
∴x1＝，x2＝﹣．
18．（本小题满分8分）如图，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，已知O是AC的中点，AE＝CF，DF∥BE．
（1）求证：△BOE≌△DOF；
（2）若OD＝AC，则四边形ABCD是什么特殊四边形？请证明你的结论．
【分析】（1）由DF与BE平行，得到两对内错角相等，再由O为AC的中点，得到OA＝OC，又AE＝CF，得到OE＝OF，利用AAS即可得证；
（2）若OD＝AC，则四边形ABCD为矩形，理由为：由OD＝AC，得到OB＝AC，即OD＝OA＝OC＝OB，利用对角线互相平分且相等的四边形为矩形即可得证．
【解答】（1）证明：∵DF∥BE，
∴∠FDO＝∠EBO，∠DFO＝∠BEO，
∵O为AC的中点，
∴OA＝OC，
∵AE＝CF，
∴OA﹣AE＝OC﹣CF，
即OE＝OF，
在△BOE和△DOF中，
，
∴△BOE≌△DOF（AAS）；
（2）若OD＝AC，则四边形ABCD是矩形，理由为：
证明：∵△BOE≌△DOF，
∴OB＝OD，
∵OD＝AC，
∴OA＝OB＝OC＝OD，且BD＝AC，
∴四边形ABCD为矩形．
19．（本小题满分10分）为迎接我市青少年读书活动，某校倡议同学们利于课余时间多阅读，为了了解同学们的读书情况，在全校随机调查了部分同学在一周内的阅读时间，并用得到的数据绘制了统计图，根据图中信息解答下列问题：
（1）被抽查学生阅读时间的中位数为 小时，众数为 小时，平均数为 小时；
（2）已知全校学生人数为2400人，请你估算该校学生一周内阅读时间不少于三小时的有多少人？
【分析】（1）根据统计图中的数据确定出学生阅读时间的众数、中位数和平均数即可；
（2）根据总人数×阅读时间不少于三小时的百分比可得结果．
【解答】解：（1）12+20+10+5+3＝50（个），
被抽查学生阅读时间的中位数为：第25和第26个学生阅读时间的平均数＝2，
众数为2，
平均数，
故答案为：2，2，2.34；
（2）（人），
答：估算该校学生一周内阅读时间不少于三小时的有864人．
20．（本小题满分12分）某商品根据以往销售经验，每天的售价与销售量之间有如下表的关系：
设当单价从38元/千克下调到x元时，销售量为y千克，已知y与x之间的函数关系是一次函数．
（1）求y与x的函数解析式；
（2）如果某商品的成本价是20元/千克，为使某一天的利润为780元，那么这一天的销售价应为多少元？（利润＝销售总金额﹣成本）
【分析】从表中任取两对数值，利用待定系数法求一次函数的解析式．再利用利润＝销售总金额﹣成本，可得到关于x的二次方程，解即可．当然都应该是正数．
【解答】解：（1）设y与x之间的函数解析式是y＝kx+b（k≠0）．
根据题意，得．（2分）
解得．（1分）
所以，所求的函数解析式是y＝﹣2x+126．（1分）
（2）设这一天的销售价为x元．（1分）
根据题意，得（x﹣20）（﹣2x+126）＝780．（2分）
整理后，得x2﹣83 x+1650＝0．（1分）
解得x1＝33，x2＝50．（1分）
答：这一天的销售价应为33元或50元．（1分）
21．（本小题满分10分）阅读下列例题．
在学习二次根式性质时我们知道，
例题：求的值．
解：设x＝，两边平方得：
x2＝（）2＝（）2+（）2+2（）（），
即，x2＝10，
∴x＝±．
∵，∴．
请利用上述方法，求的值．
【分析】根据给定的方法求解即可．
【解答】解：设x＝，
则＝＝8﹣6＝2，
∴x＝±，
∵＜0，
∴＝．
22．（本小题满分14分）关于x的方程（k﹣1）x2+2kx+2＝0．
（1）求证：无论k为何值，方程总有实数根．
（2）设x1，x2是方程（k﹣1）x2+2kx+2＝0的两个根，记S＝++x1+x2，S的值能为2吗？若能，求出此时k的值；若不能，请说明理由．
【分析】（1）分k＝1和k≠1两种情况考虑，验证即可；
（2）利用根与系数的关系表示出两根之和与两根之积，代入S＝2中计算，判断即可．
【解答】解：（1）当k＝1时，方程为2x+2＝0，此时解为x＝﹣1；
当k≠1时，关于x的方程（k﹣1）x2+2kx+2＝0，
∵Δ＝4k2﹣8（k﹣1）＝4k2﹣8k+8＝4（k﹣1）2+4＞0，
∴此时方程有实数根，
综上所示，无论k为何值，方程总有实数根；
（2）∵x1，x2是方程（k﹣1）x2+2kx+2＝0的两个根，
∴x1+x2＝﹣，x1x2＝，
代入S＝2得：++x1+x2＝+x1+x2＝+x1+x2＝﹣2﹣＝2，
整理得：﹣＝4，即2k2﹣2k＝4（k﹣1），
化简得：k2﹣3k+2＝0，即（k﹣1）（k﹣2）＝0，
解得：k＝1或k＝2，
当k＝1时，方程不是一元二次方程；
则k＝2．
23．（本小题满分15分）如图①，已知正方形ABCD中，E，F分别是边AD，CD上的点（点E，F不与端点重合），且AE＝DF，BE，AF交于点P，过点C作CH⊥BE交BE于点H．
（1）写出AF与BE的数量关系为 AF＝BE ，位置关系为 AF⊥BE ．
（2）若AB＝2，AE＝2，试求线段BH的长．
（3）如图②，连接CP并延长交AD于点Q，若点H是BP的中点，试求的值．
【分析】（1）证明△ABE≌△DAF（SAS），得出∠ABE＝∠DAF，得出∠APB＝90°，可得出结论；
（2）根据三角形ABE的面积可求出AP＝，证明△ABP≌△BCH（AAS），由全等三角形的性质得出BH＝AP＝，则PH＝BP﹣BH＝BP﹣AP，可求出答案；
（3）证得∠CBP＝∠CPB，∠QPE＝∠QEP，可得出QE＝QP＝QA，在四边形QABC中，设QP＝a，CP＝b，则AB＝BC＝b，AQ＝a，QC＝a+b，由b2+（b﹣a）2＝（a+b）2可得出a，b的关系式，则可求出答案．
【解答】解：（1）AF＝BE，AF⊥BE，
理由：在正方形ABCD中，AB＝DA，∠EAB＝∠D＝90°，
又∵AE＝DF，
∴△ABE≌△DAF（SAS），
∴∠ABE＝∠DAF，AF＝BE，
又∵∠DAF+∠FAB＝∠EAB＝90°，
∴∠ABE+∠FAB＝90°，
∴∠APB＝90°，
∴AF⊥BE，
故答案为：AF＝BE，AF⊥BE；
（2）在正方形ABCD中，∠EAB＝90°，AB＝2，AE＝2，
∴BE＝＝＝4，
∵S△ABE＝AB•AE＝BE•AP，
∴AP＝＝，
在Rt△ABP中，BP＝＝＝3，
∵∠APB＝∠ABC＝90°，
∴∠ABP+∠HBC＝90°，∠HCB+∠HBC＝90°，
∴∠ABP＝∠HCB，
∵CH⊥BE，
∴∠HCB＝90°，
又∵AB＝BC，
∴△ABP≌△BCH（AAS），
∴BH＝AP＝，
（3）在正方形ABCD中，AB＝BC，AD∥BC，
∵CH⊥BP，PH＝BH，
∴CP＝BC，
∴∠CBP＝∠CPB，
∵∠CPB＝∠QPE，∠CBP＝∠QEP，
∴∠QPE＝∠QEP，
在Rt△APE中，∠QAP＝∠QPA，
∴QE＝QP＝QA，
在四边形QABC中，设QP＝a，CP＝b，
则AB＝BC＝b，AQ＝a，QC＝a+b，
∵DC2+DQ2＝CQ2，
∴b2+（b﹣a）2＝（a+b）2，
∴b2＝4ab，
即b＝4a，
∴CP：PQ＝4．
安庆四中2022-2023学年第二学期八年级数学期末考试试卷
八年级数学试卷
一、 选择题（本大题10小题，每小题4分，共40分。每小题所给的四个选项中只有一个是正确的，请将正确选项的代号填在题后的括号内）
1．下列运算结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．若△ABC的三边长为a，b，c，则下列条件不能判定△ABC为直角三角形的是（ ）
A．a＝2，b＝3，c＝4 B．∠A+∠B＝∠C
C．∠A：∠B：∠C＝1：3：2 D．（b+c）（b﹣c）＝a2
3．下列一元二次方程中，没有实数根的是（ ）
A．x2﹣2x﹣3＝0 B．x2＝1 C．x2﹣x+1＝0 D．x2+2x+1＝0
4．在平面中，下列说法正确的是（ ）
A．四个角相等的四边形是矩形 B．对角线垂直的四边形是菱形
C．对角线相等的四边形是矩形 D．四边相等的四边形是正方形
5．如图，将一个长为10cm，宽为8cm的矩形纸片对折两次后，沿所得矩形两邻边中点的连线（虚线）剪下，再打开，得到的菱形的面积为（ ）
A．10cm2 B．20cm2 C．40cm2 D．80cm2
6．某选手在比赛中的成绩（单位：分）分别是90，87，92，88，93，方差是5.2（单位：分2），如果去掉一个最高分和一个最低分，那么该选手成绩的方差会（ ）
A．变大 B．不变 C．变小 D．不确定
7．如图，正方形ABCD中，∠DAF＝25°，AF交对角线BD于点E，那么∠BEC等于（ ）
A．45° B．60° C．70° D．75°
8．若关于x的一元二次方程x2+2x+kb+1＝0有两个不相等的实数根，则一次函数y＝kx+b的大致图象可能是（ ）
9．对于多项式x2+2x+4，由于x2+2x+4＝（x+1）2+3≥3，所以x2+2x+4有最小值3．已知关于x的多项式﹣x2+6x﹣m的最大值为10，则m的值为（ ）
A．1 B．﹣1 C．﹣10 D．﹣19
10．如图，点O为正六边形的中心，P，Q分别从点A（1，0）同时出发，沿正六边形按图示方向运动，点P的速度为每秒1个单位长度，点Q的速度为每秒2个单位长度，则第2023次相遇地点的坐标为（ ）
A． B．（1，0） C． D．（﹣1，0）
二、 填空题（本大题5小题，每小题5分，共25分.请将答案直接填在题后的横线上）
11．适合＝3﹣a的正整数a的值有 个．
12．如图，延长矩形ABCD的边BC至点E，使CE＝BD，连接AE，如果∠ADB＝30°，则∠E＝ 度．
13．若关于x的一元二次方程x2﹣3x+p＝0（p≠0）的两个不相等的实数根分别为a和b，且a2﹣ab+b2＝18，则+的值是 ．
14．在△ABC中，AB＝10，AC＝2，BC边上的高AD＝6，则BC的长为 ．
15．如图，在正方形纸片ABCD中，对角线AC，BD交于点O，折叠正方形纸片ABCD，使AD落在BD上，点A恰好与BD上的点F重合，展开后折痕DE分别交AB，AC于点E，G，连接GF，EF，给出下列结论：①∠ADG＝22.5°；②四边形AEFG是菱形；③S△AGD＝S△OGD；④BE＝2OG．其中正确的结论是 ．（将所有正确结论的序号都填写在横线上）
三、 解答题（本大题8小题，共85分）
16．（本小题满分8分）计算：（1）
（2）；
17．（本小题满分8分）用适当的方法解下列方程：
（1）（7x+3）2＝2（7x+3）； （2）．
18．（本小题满分8分）如图，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，已知O是AC的中点，AE＝CF，DF∥BE．
（1）求证：△BOE≌△DOF；
（2）若OD＝AC，则四边形ABCD是什么特殊四边形？请证明你的结论．
19．（本小题满分10分）为迎接我市青少年读书活动，某校倡议同学们利于课余时间多阅读，为了了解同学们的读书情况，在全校随机调查了部分同学在一周内的阅读时间，并用得到的数据绘制了统计图，根据图中信息解答下列问题：
（1）被抽查学生阅读时间的中位数为 小时，众数为 小时，平均数为 小时；
（2）已知全校学生人数为2400人，请你估算该校学生一周内阅读时间不少于三小时的有多少人？
20．（本小题满分12分）某商品根据以往销售经验，每天的售价与销售量之间有如下表的关系：
设当单价从38元/千克下调到x元时，销售量为y千克，已知y与x之间的函数关系是一次函数．
（1）求y与x的函数解析式；
（2）如果某商品的成本价是20元/千克，为使某一天的利润为780元，那么这一天的销售价应为多少元？（利润＝销售总金额﹣成本）
21．（本小题满分10分）阅读下列例题．
在学习二次根式性质时我们知道，
例题：求的值．
解：设x＝，两边平方得：
x2＝（）2＝（）2+（）2+2（）（），
即，x2＝10，
∴x＝±．
∵，∴．
请利用上述方法，求的值．
22．（本小题满分14分）关于x的方程（k﹣1）x2+2kx+2＝0．
（1）求证：无论k为何值，方程总有实数根．
（2）设x1，x2是方程（k﹣1）x2+2kx+2＝0的两个根，记S＝++x1+x2，S的值能为2吗？若能，求出此时k的值；若不能，请说明理由．
23．（本小题满分15分）如图①，已知正方形ABCD中，E，F分别是边AD，CD上的点（点E，F不与端点重合），且AE＝DF，BE，AF交于点P，过点C作CH⊥BE交BE于点H．
（1）写出AF与BE的数量关系为 ，位置关系为 ．
（2）若AB＝2，AE＝2，试求线段BH的长．
（3）如图②，连接CP并延长交AD于点Q，若点H是BP的中点，试求的值．
安庆四中2022-2023学年第二学期八年级数学期末考试试卷
八年级数学试卷 解析版
一、选择题（本大题10小题，每小题4分，共40分。每小题所给的四个选项中只有一个是正确的，请将正确选项的代号填在题后的括号内）
1．下列运算结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】利用平方根的定义对A进行判断；根据二次根式的性质对B、C进行判断；根据二次根式的加减法对D进行判断．
【解答】解：A、原式＝±3，所以A选项错误；
B、原式＝6，所以B选项正确；
C、原式＝2，所以C选项错误；
D、与﹣不能合并，所以D选项错误．
故选：B．
2．若△ABC的三边长为a，b，c，则下列条件不能判定△ABC为直角三角形的是（ ）
A．a＝2，b＝3，c＝4 B．∠A+∠B＝∠C
C．∠A：∠B：∠C＝1：3：2 D．（b+c）（b﹣c）＝a2
【分析】根据勾股定理的逆定理和三角形内角和解答即可．
【解答】解：A、因为22+32≠42，所以△ABC不为直角三角形，说法符合题意；
B、因为∠A+∠B＝∠C，所以∠C＝90°，△ABC为直角三角形，说法不符合题意；
C、因为∠A：∠B：∠C＝1：3：2，所以∠B＝90°，△ABC为直角三角形，说法不符合题意；
D、因为（b+c）（b﹣c）＝a2，所以a2+c2＝b2，△ABC为直角三角形，说法不符合题意；
故选：A．
3．下列一元二次方程中，没有实数根的是（ ）
A．x2﹣2x﹣3＝0 B．x2＝1 C．x2﹣x+1＝0 D．x2+2x+1＝0
【分析】分别找出一元二次方程中的二次项系数a，一次项系数b、常数项c，再利用一元二次方程根的判别式（Δ＝b2﹣4ac）判断方程的根的情况．
【解答】解：A、a＝1，b＝﹣2，c＝﹣3，b2﹣4ac＝4+12＝16＞0，有两个不相等的实数根，故此选项错误；
B、a＝1，b＝0，c＝﹣1，b2﹣4ac＝4＞0，有两个不相等的实数根，故此选项错误；
C、a＝1，b＝﹣1，c＝1，b2﹣4ac＝1﹣4＝﹣3＜0，没有实数根，故此选项正确；
D、a＝1，b＝2，c＝1，b2﹣4ac＝4﹣4＝0，有两个相等的实数根，故此选项错误；
故选：C．
4．在平面中，下列说法正确的是（ ）
A．四个角相等的四边形是矩形 B．对角线垂直的四边形是菱形
C．对角线相等的四边形是矩形 D．四边相等的四边形是正方形
【分析】根据矩形、菱形、正方形的判定定理，即可解答．
【解答】解：A．四个角相等的四边形是矩形，正确；
B．对角线垂直的平行四边形是菱形，故错误；
C．对角线相等的平行四边形是矩形，故错误；
D．四边相等的四边形应是菱形，故错误；
故选：A．
5．如图，将一个长为10cm，宽为8cm的矩形纸片对折两次后，沿所得矩形两邻边中点的连线（虚线）剪下，再打开，得到的菱形的面积为（ ）
A．10cm2 B．20cm2 C．40cm2 D．80cm2
【分析】矩形对折两次后，再沿两邻边中点的连线剪下，所得菱形的两条对角线的长分别原来矩形长和宽的一半，即5cm，4cm，所以菱形的面积可求．
【解答】解：矩形对折两次后，所得的矩形的长、宽分别为原来的一半，即为5cm，4cm，
而沿两邻边中点的连线剪下，剪下的部分打开前相当于所得菱形的沿对角线两次对折的图形，
所以菱形的两条对角线的长分别为5cm，4cm，
所以S菱形＝×5×4＝10 cm2．
故选：A．
6．某选手在比赛中的成绩（单位：分）分别是90，87，92，88，93，方差是5.2（单位：分2），如果去掉一个最高分和一个最低分，那么该选手成绩的方差会（ ）
A．变大 B．不变 C．变小 D．不确定
【分析】先求出去掉一个最高分和一个最低分的平均数，再代入方差公式求出去掉后的方差，然后进行比较即可得出答案．
【解答】解：如果去掉一个最高分和一个最低分，该选手的平均数是：（90+88+92）＝90，
则方差是：[（90﹣90）2+（88﹣90）2+（92﹣90）2]＝，
所以如果去掉一个最高分和一个最低分，那么该选手成绩的方差会变小；
故选：C．
7．如图，正方形ABCD中，∠DAF＝25°，AF交对角线BD于点E，那么∠BEC等于（ ）
A．45° B．60° C．70° D．75°
【分析】首先证明△AED≌△CED，即可证明∠ECF＝∠DAF＝25°，从而求得∠BEC，再根据三角形内角和定理即可求解．
【解答】解：∵AD＝CD，∠ADE＝∠CDE，DE＝DE
∴△AED≌△CED
∴∠ECF＝∠DAF＝25°，
又∵在△DEC中，∠CDE＝45°，
∴∠CED＝180°﹣25°﹣45°＝110°，
∴∠BEC＝180°﹣110°＝70°．
故选：C．
8．若关于x的一元二次方程x2+2x+kb+1＝0有两个不相等的实数根，则一次函数y＝kx+b的大致图象可能是（ ）
【分析】利用判别式的意义得到Δ＝22﹣4（kb+1）＞0，则 kb＜0，然后根据一次函数的性质对各选项进行判断．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+2x+kb+1＝0有两个不相等的实数根，
∴Δ＝22﹣4（kb+1）＞0，
∴kb＜0，
当k＞0，b＜0时，一次函数经过第一、三、四象限；当k＜0，b＞0时，一次函数经过第一、二、四象限．
故选：B．
9．对于多项式x2+2x+4，由于x2+2x+4＝（x+1）2+3≥3，所以x2+2x+4有最小值3．已知关于x的多项式﹣x2+6x﹣m的最大值为10，则m的值为（ ）
A．1 B．﹣1 C．﹣10 D．﹣19
【分析】原式配方后，利用非负数的性质确定出m的值即可．
【解答】解：原式＝﹣x2+6x﹣m＝﹣（x﹣3）2+9﹣m，
当x﹣3＝0，即x＝3时，原式取得最大值9﹣m＝10，
解得m＝﹣1．
故选：B．
10．如图，点O为正六边形的中心，P，Q分别从点A（1，0）同时出发，沿正六边形按图示方向运动，点P的速度为每秒1个单位长度，点Q的速度为每秒2个单位长度，则第2023次相遇地点的坐标为（ ）
A． B．（1，0） C． D．（﹣1，0）
【分析】根据A（1，0），O为正六边形的中心，可得OA＝AB＝1，连接OB，作BG⊥OA于点G，可得AG＝OA＝，BG＝，可得C（﹣，），E（﹣，﹣），根据题意可得，P，Q第一次相遇地点的坐标在点C（﹣，），以此类推：第二次相遇地点在点E（﹣，﹣），第三次相遇地点在点A（1，0），…如此循环下去，即可求出第2023次相遇地点的坐标．
【解答】解：∵A（1，0），O为正六边形的中心，
∴OA＝AB＝1，
连接OB，作BG⊥OA于点G，
则AG＝OA＝，BG＝，
∴B（，），
∴C（﹣，），
E（﹣，﹣），
∵正六边形的边长＝1，
∴正六边形的周长＝6，
∵点P的速度为每秒1个单位长度，点Q的速度为每秒2个单位长度，
∴第1次相遇需要的时间为：6÷（1+2）＝2（秒），
此时点P的路程为1×2＝2，点Q的路程为2×2＝4，
此时P，Q相遇地点的坐标在点C（﹣，），
以此类推：第二次相遇地点在点E（﹣，﹣），
第三次相遇地点在点A（1，0），
…如此下去，
∵2023÷3＝674……1，
∴第2023次相遇地点在点C，C的坐标为（﹣，）．
故选：A．
二、填空题（本大题5小题，每小题5分，共25分.请将答案直接填在题后的横线上）
11．适合＝3﹣a的正整数a的值有 3 个．
【分析】根据二次根式的性质，等式左边为算术平方根，右边的结果3﹣a应为非负数．
【解答】解：∵＝3﹣a
∴3﹣a≥0
∴a≤3
∴正整数a为1，2，3三个
故答案为：3
12．如图，延长矩形ABCD的边BC至点E，使CE＝BD，连接AE，如果∠ADB＝30°，则∠E＝ 15 度．
【分析】连接AC，由矩形性质可得∠E＝∠DAE、BD＝AC＝CE，知∠E＝∠CAE，而∠ADB＝∠CAD＝30°，可得∠E度数．
【解答】解：连接AC，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BE，AC＝BD，且∠ADB＝∠CAD＝30°，
∴∠E＝∠DAE，
又∵BD＝CE，
∴CE＝CA，
∴∠E＝∠CAE，
∵∠CAD＝∠CAE+∠DAE，
∴∠E+∠E＝30°，即∠E＝15°，
故答案为：15．
13．若关于x的一元二次方程x2﹣3x+p＝0（p≠0）的两个不相等的实数根分别为a和b，且a2﹣ab+b2＝18，则+的值是 ﹣5 ．
【分析】根据根与系数的关系得出a+b＝3，ab＝p，把a2﹣ab+b2＝18变形后代入，求出p的值，再变形代入求出即可．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣3x+p＝0（p≠0）的两个不相等的实数根分别为a和b，
∴a+b＝3，ab＝p，
∵a2﹣ab+b2＝18，
∴（a+b）2﹣3ab＝18，
∴9﹣3p＝18，
解得：p＝﹣3，
即ab＝﹣3，
所以+＝＝＝＝﹣5，
故答案为：﹣5
14．在△ABC中，AB＝10，AC＝2，BC边上的高AD＝6，则BC的长为 10或6 ．
【分析】分两种情况考虑，如图所示，分别在Rt△ABC与Rt△ACD中，利用勾股定理求出BD与CD的长，即可求出BC的长．
【解答】解：根据题意画出图形，如图所示，
如图1所示，AB＝10，AC＝2，AD＝6，
在Rt△ABD和Rt△ACD中，
根据勾股定理得：BD＝＝8，CD＝＝2，
此时BC＝BD+CD＝8+2＝10；
如图2所示，AB＝10，AC＝2，AD＝6，
在Rt△ABD和Rt△ACD中，
根据勾股定理得：BD＝＝8，CD＝＝2，
此时BC＝BD﹣CD＝8﹣2＝6，
则BC的长为6或10．
故答案为：10或6．
15．如图，在正方形纸片ABCD中，对角线AC，BD交于点O，折叠正方形纸片ABCD，使AD落在BD上，点A恰好与BD上的点F重合，展开后折痕DE分别交AB，AC于点E，G，连接GF，EF，给出下列结论：①∠ADG＝22.5°；②四边形AEFG是菱形；③S△AGD＝S△OGD；④BE＝2OG．其中正确的结论是 ．（将所有正确结论的序号都填写在横线上）
【分析】根据正方形的性质，折叠轴对称的性质，菱形的判定和性质以及直角三角形的边角关系逐项进行判断即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，BD是对角线，
∴∠ADB＝45°，
由折叠得，
∠ADG＝∠GDB＝∠ADB＝22.5°，
因此①正确；
由折叠得，EA＝EF，GA＝GF，∠ADG＝∠GDB＝22.5°，
又∵∠ADB+∠AED＝90°，∠GDB+∠DGO＝90°，∠AGE＝∠DGO，
∴∠AEG＝∠AGE，
∴AE＝AG，
∴AE＝AG＝EF＝FG，
∴四边形AEFG是菱形，
因此②正确；
过点G作GM⊥AD于点M，则GM＝GO，
此时△GMD≌GOD，
即S△GMD＝S△GOD≠S△ADG，
因此③不正确；
由题意可得，△BEF，△FGO是等腰直角三角形，
∴FG＝OG，BE＝EF，
又∵FG＝EF，
∴BE＝2OG，
因此④正确；
综上所述正确的结论有：①②④，
故答案为：①②④．
三、解答题（本大题8小题，共85分）
16．（本小题满分8分）计算：（1）
（2） ；
【分析】（1）先去绝对值，然后把二次根式化为最简二次根式后合并即可．
【分析】（2）直接利用二次根式的混合运算法则计算得出答案．
【解答】解：（1）原式＝+2+5﹣3
＝+5．
（2）原式＝
＝4﹣2；
17．（本小题满分8分）用适当的方法解下列方程：
（1）（7x+3）2＝2（7x+3）； （2）．
【分析】（1）利用因式分解法求解即可；
（2）利用配方法求解即可．
【解答】解：（1）∵（7x+3）2＝2（7x+3），
∴（7x+3）2﹣2（7x+3）＝0，
则（7x+3）（7x+1）＝0，
∴7x+3＝0或7x+1＝0，
解得x1＝﹣，x2＝﹣；
（2）∵，
∴，
∴（x﹣）2＝3，
∴x﹣＝±，
∴x1＝，x2＝﹣．
18．（本小题满分8分）如图，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，已知O是AC的中点，AE＝CF，DF∥BE．
（1）求证：△BOE≌△DOF；
（2）若OD＝AC，则四边形ABCD是什么特殊四边形？请证明你的结论．
【分析】（1）由DF与BE平行，得到两对内错角相等，再由O为AC的中点，得到OA＝OC，又AE＝CF，得到OE＝OF，利用AAS即可得证；
（2）若OD＝AC，则四边形ABCD为矩形，理由为：由OD＝AC，得到OB＝AC，即OD＝OA＝OC＝OB，利用对角线互相平分且相等的四边形为矩形即可得证．
【解答】（1）证明：∵DF∥BE，
∴∠FDO＝∠EBO，∠DFO＝∠BEO，
∵O为AC的中点，
∴OA＝OC，
∵AE＝CF，
∴OA﹣AE＝OC﹣CF，
即OE＝OF，
在△BOE和△DOF中，
，
∴△BOE≌△DOF（AAS）；
（2）若OD＝AC，则四边形ABCD是矩形，理由为：
证明：∵△BOE≌△DOF，
∴OB＝OD，
∵OD＝AC，
∴OA＝OB＝OC＝OD，且BD＝AC，
∴四边形ABCD为矩形．
19．（本小题满分10分）为迎接我市青少年读书活动，某校倡议同学们利于课余时间多阅读，为了了解同学们的读书情况，在全校随机调查了部分同学在一周内的阅读时间，并用得到的数据绘制了统计图，根据图中信息解答下列问题：
（1）被抽查学生阅读时间的中位数为 小时，众数为 小时，平均数为 小时；
（2）已知全校学生人数为2400人，请你估算该校学生一周内阅读时间不少于三小时的有多少人？
【分析】（1）根据统计图中的数据确定出学生阅读时间的众数、中位数和平均数即可；
（2）根据总人数×阅读时间不少于三小时的百分比可得结果．
【解答】解：（1）12+20+10+5+3＝50（个），
被抽查学生阅读时间的中位数为：第25和第26个学生阅读时间的平均数＝2，
众数为2，
平均数，
故答案为：2，2，2.34；
（2）（人），
答：估算该校学生一周内阅读时间不少于三小时的有864人．
20．（本小题满分12分）某商品根据以往销售经验，每天的售价与销售量之间有如下表的关系：
设当单价从38元/千克下调到x元时，销售量为y千克，已知y与x之间的函数关系是一次函数．
（1）求y与x的函数解析式；
（2）如果某商品的成本价是20元/千克，为使某一天的利润为780元，那么这一天的销售价应为多少元？（利润＝销售总金额﹣成本）
【分析】从表中任取两对数值，利用待定系数法求一次函数的解析式．再利用利润＝销售总金额﹣成本，可得到关于x的二次方程，解即可．当然都应该是正数．
【解答】解：（1）设y与x之间的函数解析式是y＝kx+b（k≠0）．
根据题意，得．（2分）
解得．（1分）
所以，所求的函数解析式是y＝﹣2x+126．（1分）
（2）设这一天的销售价为x元．（1分）
根据题意，得（x﹣20）（﹣2x+126）＝780．（2分）
整理后，得x2﹣83 x+1650＝0．（1分）
解得x1＝33，x2＝50．（1分）
答：这一天的销售价应为33元或50元．（1分）
21．（本小题满分10分）阅读下列例题．
在学习二次根式性质时我们知道，
例题：求的值．
解：设x＝，两边平方得：
x2＝（）2＝（）2+（）2+2（）（），
即，x2＝10，
∴x＝±．
∵，∴．
请利用上述方法，求的值．
【分析】根据给定的方法求解即可．
【解答】解：设x＝，
则＝＝8﹣6＝2，
∴x＝±，
∵＜0，
∴＝．
22．（本小题满分14分）关于x的方程（k﹣1）x2+2kx+2＝0．
（1）求证：无论k为何值，方程总有实数根．
（2）设x1，x2是方程（k﹣1）x2+2kx+2＝0的两个根，记S＝++x1+x2，S的值能为2吗？若能，求出此时k的值；若不能，请说明理由．
【分析】（1）分k＝1和k≠1两种情况考虑，验证即可；
（2）利用根与系数的关系表示出两根之和与两根之积，代入S＝2中计算，判断即可．
【解答】解：（1）当k＝1时，方程为2x+2＝0，此时解为x＝﹣1；
当k≠1时，关于x的方程（k﹣1）x2+2kx+2＝0，
∵Δ＝4k2﹣8（k﹣1）＝4k2﹣8k+8＝4（k﹣1）2+4＞0，
∴此时方程有实数根，
综上所示，无论k为何值，方程总有实数根；
（2）∵x1，x2是方程（k﹣1）x2+2kx+2＝0的两个根，
∴x1+x2＝﹣，x1x2＝，
代入S＝2得：++x1+x2＝+x1+x2＝+x1+x2＝﹣2﹣＝2，
整理得：﹣＝4，即2k2﹣2k＝4（k﹣1），
化简得：k2﹣3k+2＝0，即（k﹣1）（k﹣2）＝0，
解得：k＝1或k＝2，
当k＝1时，方程不是一元二次方程；
则k＝2．
23．（本小题满分15分）如图①，已知正方形ABCD中，E，F分别是边AD，CD上的点（点E，F不与端点重合），且AE＝DF，BE，AF交于点P，过点C作CH⊥BE交BE于点H．
（1）写出AF与BE的数量关系为 AF＝BE ，位置关系为 AF⊥BE ．
（2）若AB＝2，AE＝2，试求线段BH的长．
（3）如图②，连接CP并延长交AD于点Q，若点H是BP的中点，试求的值．
【分析】（1）证明△ABE≌△DAF（SAS），得出∠ABE＝∠DAF，得出∠APB＝90°，可得出结论；
（2）根据三角形ABE的面积可求出AP＝，证明△ABP≌△BCH（AAS），由全等三角形的性质得出BH＝AP＝，则PH＝BP﹣BH＝BP﹣AP，可求出答案；
（3）证得∠CBP＝∠CPB，∠QPE＝∠QEP，可得出QE＝QP＝QA，在四边形QABC中，设QP＝a，CP＝b，则AB＝BC＝b，AQ＝a，QC＝a+b，由b2+（b﹣a）2＝（a+b）2可得出a，b的关系式，则可求出答案．
【解答】解：（1）AF＝BE，AF⊥BE，
理由：在正方形ABCD中，AB＝DA，∠EAB＝∠D＝90°，
又∵AE＝DF，
∴△ABE≌△DAF（SAS），
∴∠ABE＝∠DAF，AF＝BE，
又∵∠DAF+∠FAB＝∠EAB＝90°，
∴∠ABE+∠FAB＝90°，
∴∠APB＝90°，
∴AF⊥BE，
故答案为：AF＝BE，AF⊥BE；
（2）在正方形ABCD中，∠EAB＝90°，AB＝2，AE＝2，
∴BE＝＝＝4，
∵S△ABE＝AB•AE＝BE•AP，
∴AP＝＝，
在Rt△ABP中，BP＝＝＝3，
∵∠APB＝∠ABC＝90°，
∴∠ABP+∠HBC＝90°，∠HCB+∠HBC＝90°，
∴∠ABP＝∠HCB，
∵CH⊥BE，
∴∠HCB＝90°，
又∵AB＝BC，
∴△ABP≌△BCH（AAS），
∴BH＝AP＝，
（3）在正方形ABCD中，AB＝BC，AD∥BC，
∵CH⊥BP，PH＝BH，
∴CP＝BC，
∴∠CBP＝∠CPB，
∵∠CPB＝∠QPE，∠CBP＝∠QEP，
∴∠QPE＝∠QEP，
在Rt△APE中，∠QAP＝∠QPA，
∴QE＝QP＝QA，
在四边形QABC中，设QP＝a，CP＝b，
则AB＝BC＝b，AQ＝a，QC＝a+b，
∵DC2+DQ2＝CQ2，
∴b2+（b﹣a）2＝（a+b）2，
∴b2＝4ab，
即b＝4a，
∴CP：PQ＝4．
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