2025~2026学年度第一学期期末学习质量检测八年级数学试题卷

这是一份2025~2026学年度第一学期期末学习质量检测八年级数学试题卷，共29页。
1．你拿到的试卷满分150分，考试时间120分钟；
2．试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分，请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的．请仔细审题，认真作答，祝你考出好成绩．
一、选择题（本题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出代号为的四个选项，其中只有一个是正确的．
1. 以下是清华大学、北京大学、浙江大学、上海交通大学校徽的内部图案，其中轴对称图形是（ ）
A. B. C. D.
2. 已知三角形三边长分别为，若为整数，则这样的三角形个数为（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
3. 下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
4. 将一副直角三角尺按如图所示摆放，则图中锐角的度数是（ ）

A. B. C. D.
5. 将多项式因式分解时，应提取的公因式是
A B. C. D.
6. 如图，已知点D在上，点B在上，，，则BC的长为（ ）
A. 7B. 5C. 12D. 6
7. 如图，在中，和角平分线交于点O，，，的面积为，则的面积为（ ）
A. B. C. D.
8. 已知多项式，当时，该多项式的值为n，当时，该多项式的值为m，若，则的值为（ ）
A B. 1C. D. 3
9. 如图，在平面直角坐标系中，已知点的坐标是，以为边在右侧作等边三角形，过作轴的垂线，垂足为点，以为边在右侧作等边三角形，再过点作轴的垂线，垂足为点，以为边在右侧作等边三角形，按此规律继续作下去，得到等边三角形，则点的纵坐标为（ ）
A. B. C. D.
10. 如图，点在等边的边上，，射线，垂足为点，点是射线上一动点，点是线段上一动点，当的值最小时，，则的长为（ ）．
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11. 人体内某种细胞可近似地看作球体，它的直径为0.000000156m，将0.000000156用科学记数法表示为___．
12. 若，则代数式的值为___________．
13. 如图，中，，是的角平分线，点在的垂直平分线上，若，则________．
14. 如图，在中，，是的角平分线，于点E．
（1）若，则______，
（2）若，，则______．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15 因式分解：
16. 先化简，再求值：，其中．
四、（本大题共2个小题，每小题8分，满分16分）
17. 如图，在中，分别是上的点，且．若，求的度数．
18. 人工智能是研究用计算机来模拟人的某些思维过程和智能行为（如学习、推理、思考、规划等）的学科，主要包括计算机实现智能的原理、制造类似于人脑智能的计算机，使计算机能实现更高层次的应用．某校为迎接五十周年校庆举行创新大赛，决赛是用电脑程序控制智能赛车在指定赛道上进行30米比赛，“领航号”和“致远号”两辆赛车在第一轮比赛时，两辆赛车从起点同时出发，当“领航号”到达终点时，“致远号”才行驶到全程的，“领航号”比“致远号”每秒多行驶0.8米，求“致远号”的行驶速度．
五、(本大题共2小题，每小题10分，满分20分)
19. 对于任意有理数、、、，定义一种新运算：．
（1） ；
（2）对于有理数、，若是一个完全平方式，则 ；
（3）对于有理数、，若，．求的值．
20. 在方格纸中，点P、Q都在格点上，请用无刻度的直尺按要求画格点三角形：
（1）在图1中，画一个以为腰等腰（为格点）；
（2）在图2中，画一个以为底的等腰（为格点）．
六、(本题满分12分)
21. 鹿邑老子文化广场位于河南省周口市鹿邑县太清宫镇，在太清宫对面，与太清宫相互辉映．广场中央矗立着地标性建筑老子雕像，总高27米，、两点分别为雕像底座的两端（其中、两点均在地面上）．因为、两点间的实际距离无法直接测量，甲、乙两位同学分别设计出了如下两种方案：
甲：如图1，在平地上取一个可以直接到达点，的点，连接并延长到点，连接并延长到点，使，，连接，测出的长即可．
乙：如图2，先确定直线，过点作直线，在直线上找可以直接到达点的一点，连接，作，交直线于点，最后测量的长即可．
（1）甲、乙两同学的方案哪个可行？_______（填“甲”或“乙”），并说明方案可行的理由；
（2）对于（1）中不可行的方案，请添加一个使该方案可行的条件：_______．
七、(本题满分12分)
22. 某学习小组对“分解因式”这一知识进行“再学习”，小亮将自己的学习成果进行了分享，他发现：在一个关于的多项式中，如果取某个值使得这个多项式等于0，那么是这个多项式的一个因式．利用这点可以对某些二次多项式进行分解因式．例如，在关于的二次多项式中，当时，多项式等于0，于是它有一个因式是，设，展开，得，所以，，解得．
（1）小颖根据小亮的分享，尝试解决以下问题：已知当时，二次多项式等于0，于是这个多项式有一个因式是 ，进一步求出另一个因式是 ．
（2）小红问小亮，如果告诉你当时，二次多项式等于0，那么可以对它分解因式吗？如果可以，请求出，并进一步求出分解因式的结果．如果不可以，请说明理由．
八、(本题满分14分)
23. 【材料阅读】小明在学习完全等三角形后，为了进一步探究，他尝试用三种不同方式摆放一副三角板（在中，，；中，，），并提出了相应的问题．

【发现】（1）如图1，将两个三角板互不重叠地摆放在一起，当顶点摆放在线段上时，过点作，垂足为点，过点作，垂足为点，
①请在图1找出一对全等三角形，在横线上填出推理所得结论；
，
，
∵，，
，，
，
，
∵
，
__________；
②，，则__________；
【类比】（2）如图2，将两个三角板叠放在一起，当顶点B在线段上且顶点A在线段上时，过点作，垂足为点P，猜想，，的数量关系，并说明理由；
【拓展】（3）如图3，将两个三角板叠放在一起，当顶点A在线段上且顶点B在线段上时，若，，连接CE，则的面积为__________．2025~2026学年度第一学期期末学习质量检测
八年级数学试题卷
注意事项：
1．你拿到的试卷满分150分，考试时间120分钟；
2．试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分，请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的．请仔细审题，认真作答，祝你考出好成绩．
一、选择题（本题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出代号为的四个选项，其中只有一个是正确的．
1. 以下是清华大学、北京大学、浙江大学、上海交通大学校徽的内部图案，其中轴对称图形是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查轴对称图形的识别．如果一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形．根据定义逐项判断即可．
【详解】解：A．不是轴对称图形，不合题意；
B．是轴对称图形，符合题意；
C．不是轴对称图形，不合题意；
D．不是轴对称图形，不合题意；
故选：B
2. 已知三角形三边长分别为，若为整数，则这样的三角形个数为（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了三角形的三边关系：三角形两边之和大于第三边，两边差小于第三边；根据三角形的三边关系解答即可．
【详解】解：∵三角形三边长分别为，
∴，
解得，
∵x为整数，
∴x为8、9、10，
∴这样的三角形个数为3．
故选：C．
3. 下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查幂的运算法则，利用同底数幂的乘除法、幂的乘方、积的乘方逐一验证各选项的正确性．
【详解】解：A选项：，而原式错误地写为，故A错误；
B选项：，故B正确；
C选项：，故C错误；
D选项：，原式错误地写，故D错误．
故选：B．
4. 将一副直角三角尺按如图所示摆放，则图中锐角的度数是（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】此题主要考查了三角形内角和定理，以及角的计算，关键是掌握三角形内角和为，正确计算出的度数．
根据直角三角板，，，再根据角的和差关系可得的度数，再利用三角形内角和为计算出的度数．
【详解】解：根据直角三角板，，，

，
，
，
故选：D．
5. 将多项式因式分解时，应提取的公因式是
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查公因式的确定，在找公因式时，一找系数的最大公约数，二找相同字母的最低次幂，据此即可求解．
【详解】解：，
故因式分解时，应提取的公因式是，
故选：A．
6. 如图，已知点D在上，点B在上，，，则BC的长为（ ）
A. 7B. 5C. 12D. 6
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质、线段的和与差等知识点，掌握全等三角形的对应边相等是解题的关键．
由全等三角形的性质可得，再根据线段的和差得到即可解答．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴．
故选A．
7. 如图，在中，和的角平分线交于点O，，，的面积为，则的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了角平分线的性质，掌握角平分线的性质是解题的关键．过点作于点，于点，根据角平分线的性质得出，根据三角形面积得出，代入数据即可求解．
【详解】解：过点作于点，于点，如图，
∵平分，
∴，
∴，
∵，，的面积为，
∴．
故选：A．
8. 已知多项式，当时，该多项式的值为n，当时，该多项式的值为m，若，则的值为（ ）
A. B. 1C. D. 3
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了整式的运算，利用因式分解将等式的左边整理成两个整式的乘积是解题的关键．首先根据题意，将x的值分别代入多项式中，得到两个等式，再将两个等式相减，然后利用因式分解将等式整理得，因为，所以得，即可求得答案．
【详解】解：由题意得，①，②，
①-②得，，
，
，
，
∵，
∴，
∴．
故选：B．
9. 如图，在平面直角坐标系中，已知点的坐标是，以为边在右侧作等边三角形，过作轴的垂线，垂足为点，以为边在右侧作等边三角形，再过点作轴的垂线，垂足为点，以为边在右侧作等边三角形，按此规律继续作下去，得到等边三角形，则点的纵坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了图形和数字规律的知识；解题的关键是熟练掌握等边三角形、含角的直角三角形的性质，从而完成求解．
根据点的坐标是，以为边在右侧作等边三角形，过点作轴的垂线，垂足为点，得点的纵坐标是根据以为边在右侧作等边三角形，过点作轴的垂线，垂足为点，得点的纵坐标是此类推，得点的纵坐标．
【详解】解：点的坐标是，以为边在右侧作等边三角形，过点作轴的垂线，垂足为点，
，，
，点纵坐标是4，
以为边在右侧作等边三角形，过点作轴的垂线，垂足为点，
，，
，点的纵坐标是2，
以为边在右侧作等边三角形，
同理，得点的纵坐标是，
按此规律继续作下去，得：点的纵坐标是，即，
故选：C．
10. 如图，点在等边的边上，，射线，垂足为点，点是射线上一动点，点是线段上一动点，当的值最小时，，则的长为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查最短路径问题、等边三角形的性质、含度角的直角三角形的性质．熟悉利用轴对称性质求最短距离的方法是解题的关键．
作点关于射线的对称点，连接，过作于，交射线于，连接，此时的值最小，利用等边三角形的性质和三角形的内角和定理得到，利用含度角的直角三角形的性质得到，进而得到的长，再得到的长，即的长．
【详解】解：作点关于射线的对称点，连接，过作于，交射线于，连接，如图，则，
，
此时的值最小，，
是等边三角形，
，，
在中，，
，
，
，
，
．
故选：．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11. 人体内某种细胞可近似地看作球体，它的直径为0.000000156m，将0.000000156用科学记数法表示为___．
【答案】
【解析】
【详解】解：．
故答案为：
12. 若，则代数式的值为___________．
【答案】5
【解析】
【分析】本题考查代数式求值，先将代数式展开并化简，再根据已知条件整体代入求值．
【详解】解：∵，
∴．
∴
．
故答案为：5．
13. 如图，中，，是的角平分线，点在的垂直平分线上，若，则________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质、角平分线的定义、等边对等角、直角三角形的性质，由角平分线的定义可得，由线段垂直平分线的性质可得，从而可得，再结合三角形内角和定理求出，最后由直角三角形的性质即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解：∵是的角平分线，
∴，
∵点在垂直平分线上，
∴，
∴，
∵中，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
14. 如图，在中，，是的角平分线，于点E．
（1）若，则______，
（2）若，，则______．
【答案】 ①. ②. 12
【解析】
【分析】（1）运用三角形内角和以及角平分线的定义列式计算，即可作答．
（2）根据和的面积比得，延长交于，根据证明，根据全等三角形的性质得到，进而得到，根据三角形的外角性质和等边对等角得到，进而得到，根据等角对等边得到，则即可作答．
【详解】解：（1）∵，，
∴，
∴，
∵是的角平分线，
∴，
故答案为：；
（2）是的角平分线，
，
∵，
∴，
依题意，延长交于
平分，
，
，
，
和中，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
∵，，
∴，
∴，
故答案为：12．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，三角形内角和性质，等腰三角形的判定与性质，角平分线的性质，等边对等角，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15. 因式分解：
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了分解因式．先提取公因式b，再利用完全平方公式分解因式即可．
【详解】解：
16. 先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【解析】
【分析】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，约分得到最简结果，把的值代入计算即可求出值．
【详解】解：
．
当时，原式．
四、（本大题共2个小题，每小题8分，满分16分）
17. 如图，在中，分别是上的点，且．若，求的度数．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质．证明，可得，从而得到，即可求解．
【详解】解：在和中，
，
．
，
，
．
18. 人工智能是研究用计算机来模拟人的某些思维过程和智能行为（如学习、推理、思考、规划等）的学科，主要包括计算机实现智能的原理、制造类似于人脑智能的计算机，使计算机能实现更高层次的应用．某校为迎接五十周年校庆举行创新大赛，决赛是用电脑程序控制智能赛车在指定赛道上进行30米比赛，“领航号”和“致远号”两辆赛车在第一轮比赛时，两辆赛车从起点同时出发，当“领航号”到达终点时，“致远号”才行驶到全程的，“领航号”比“致远号”每秒多行驶0.8米，求“致远号”的行驶速度．
【答案】“致远号”的行驶速度为米/秒
【解析】
【分析】本题考查了分式方程的应用，设“致远号”的行驶速度为米/秒，则“领航号”的行驶速度为米/秒，根据“当“领航号”到达终点时，“致远号”才行驶到全程的”列出分式方程，解方程即可得解，理解题意，找准等量关系，正确列出分式方程是解此题的关键．
【详解】解：设“致远号”的行驶速度为米/秒，则“领航号”的行驶速度为米/秒，
由题意可得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
答：“致远号”的行驶速度为米/秒．
五、(本大题共2小题，每小题10分，满分20分)
19. 对于任意有理数、、、，定义一种新运算：．
（1） ；
（2）对于有理数、，若是一个完全平方式，则 ；
（3）对于有理数、，若，．求的值．
【答案】（1）
（2）2或
（3）56
【解析】
【分析】本题考查的是整式的混合运算，完全平方公式，求代数式的值，熟练掌握其运算法则是解题的关键．
（1）根据新运算的规则计算即可；
（2）根据新运算的规则可得，再根据是一个完全平方式可得结论；
（3）据新运算的规则化简，然后整体代入计算解题．
【小问1详解】
解：原式．
故答案为：；
【小问2详解】
解：原式，
是完全平方公式，
或．
故答案为：2或；
【小问3详解】
解：原式
，
，，
，，
．
20. 在方格纸中，点P、Q都在格点上，请用无刻度的直尺按要求画格点三角形：
（1）在图1中，画一个以为腰的等腰（为格点）；
（2）在图2中，画一个以为底的等腰（为格点）．
【答案】（1）答案见解析（答案不唯一）
（2）答案见解析（答案不唯一）
【解析】
【分析】本题主要考查作图，等腰三角形的判定等知识，解题的关键是理解题意，正确作出图形．
【小问1详解】
解：如图1中，即为所求（答案不唯一）；
小问2详解】
解：如图2中，即为所求（答案不唯一）．
六、(本题满分12分)
21. 鹿邑老子文化广场位于河南省周口市鹿邑县太清宫镇，在太清宫对面，与太清宫相互辉映．广场中央矗立着地标性建筑老子雕像，总高27米，、两点分别为雕像底座的两端（其中、两点均在地面上）．因为、两点间的实际距离无法直接测量，甲、乙两位同学分别设计出了如下两种方案：
甲：如图1，在平地上取一个可以直接到达点，的点，连接并延长到点，连接并延长到点，使，，连接，测出的长即可．
乙：如图2，先确定直线，过点作直线，在直线上找可以直接到达点的一点，连接，作，交直线于点，最后测量的长即可．
（1）甲、乙两同学的方案哪个可行？_______（填“甲”或“乙”），并说明方案可行的理由；
（2）对于（1）中不可行的方案，请添加一个使该方案可行的条件：_______．
【答案】（1）甲，理由见解析
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了全等三角形的应用，
（1）甲同学作出的是全等三角形，然后根据全等三角形对应边相等测量的，所以是可行的；
（2）甲根据全等三角形的判定和性质定理即可得到结论；
熟练掌握全等三角形的判定定理是解决问题的关键．
【小问1详解】
甲同学的方案可行．
理由：由题意得，
在与中，
，
∴，
∴，
故甲同学的方案可行．
【小问2详解】
；
理由：
∵，
在与中，
，
∴，
∴．
故答案为：．
七、(本题满分12分)
22. 某学习小组对“分解因式”这一知识进行“再学习”，小亮将自己的学习成果进行了分享，他发现：在一个关于的多项式中，如果取某个值使得这个多项式等于0，那么是这个多项式的一个因式．利用这点可以对某些二次多项式进行分解因式．例如，在关于的二次多项式中，当时，多项式等于0，于是它有一个因式是，设，展开，得，所以，，解得．
（1）小颖根据小亮分享，尝试解决以下问题：已知当时，二次多项式等于0，于是这个多项式有一个因式是 ，进一步求出另一个因式是 ．
（2）小红问小亮，如果告诉你当时，二次多项式等于0，那么可以对它分解因式吗？如果可以，请求出，并进一步求出分解因式的结果．如果不可以，请说明理由．
【答案】（1），
（2），理由见解析
【解析】
【分析】本题考查了多项式乘法与因式分解，根据例题的方法求解是解题的关键；
（1）根据例题的方法可得有一个因式是，进而设，展开，即可求解．
（2）同（1）的方法求解，即可．
【小问1详解】
解：∵当时，二次多项式等于0，
∴这个多项式有一个因式是
设，
展开，得，所以，解得．
∴另一个因式是，
故答案为：，．
【小问2详解】
解：分解因式的结果为，理由如下，
∵当时，二次多项式等于0，
∴这个多项式有一个因式是
设，
展开，得，所以，解得．
∴另一个因式是，
∴分解因式的结果为
八、(本题满分14分)
23. 【材料阅读】小明在学习完全等三角形后，为了进一步探究，他尝试用三种不同方式摆放一副三角板（在中，，；中，，），并提出了相应的问题．

【发现】（1）如图1，将两个三角板互不重叠地摆放在一起，当顶点摆放在线段上时，过点作，垂足为点，过点作，垂足为点，
①请在图1找出一对全等三角形，在横线上填出推理所得结论；
，
，
∵，，
，，
，
，
∵
，
__________；
②，，则__________；
【类比】（2）如图2，将两个三角板叠放在一起，当顶点B在线段上且顶点A在线段上时，过点作，垂足为点P，猜想，，的数量关系，并说明理由；
【拓展】（3）如图3，将两个三角板叠放在一起，当顶点A在线段上且顶点B在线段上时，若，，连接CE，则的面积为__________．
【答案】（1）①②；（2）结论，理由见解析；（3）
【解析】
【分析】本题综合考查了全等三角形的判定与性质，熟记相关定理内容进行几何推理是解题关键．
（1）①根据两个三角形全等的判定定理，结合已知求证即可得到答案；
②由①中，利用两个三角形全等的性质，得到，，即可得到；
（2）根据两个三角形全等的判定定理，得到，利用两个三角形全等的性质，得到，，由图中，即可得到三者的数量关系；
（3）延长，过点作于，如图所示，由两个三角形全等的判定定理得到，从而，，则可求得，延长，过点作于，如图所示，由平行线间的平行线段相等可得，代入面积公式得，即可得到答案．
【详解】解：（1）①，
，
∵，，
，，
，
，
∵，，，
∴；
故答案为：
②由①知，
，
∵，，
∴；
故答案为：；
（2）结论：．理由如下：
，
，
，
，
，
，
，
∵，
，
，
，
；
（3）延长，过点作于，如图所示：

，，
，
，，
∴，
，，
，
延长，过点作于，如图所示：

，
，
，
，
由平行线间的平行线段相等可得，
．
故答案为：．