安徽黄山地区2025-2026学年第一学期期末质量监测七年级数学试题

这是一份安徽黄山地区2025-2026学年第一学期期末质量监测七年级数学试题，共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。
（考试时间：100分钟 满分：100分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题所给的四个选项中，只有一项正确． 请在答题卷的相应区域答题．）
1. 在这四个数中，最小的数是（ ）
A. B. C. D.
2. 夏明今年a岁了，爸爸比夏明大21岁，则6年后，爸爸比夏明大（ ）岁．
A. B. 21C. D. 6
3. 年6月6日，嫦娥六号在距离地球约千米外上演“太空牵手”，完成月球轨道的交会对接．数据用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
4. 点是直线上一点，，．点是线段的中点，则线段的长为（ ）
A. 或B. 或C. 或D. 或
5. 下列结论中正确的是（ ）
A. 单项式的系数是，次数是
B. 单项式系数是，次数是
C. 多项式是二次三项式
D. 多项式的常数项是
6. 如图，一副三角尺（度数分别为、、和、、）按下面不同的方式摆放，其中的图形有（ ）
A. （1）（2）B. （2）（3）
C. （1）（2）（3）D. （1）（2）（3）（4）
7. 生物学中，描述、解释和预测种群数量的变化，常常需要建立数学模型．在营养和生存空间没有限制的情况下，某种细胞可通过分裂来繁殖后代，我们就用数学模型来表示．即：，，，，……，请你推算的个位数字是（ ）
A. 8B. 6C. 4D. 2
8. 在古代，人们通过在绳子上打结来计数．即“结绳计数”．当时有位父亲为了准确记录孩子的出生天数，在粗细不同的绳子上打结（如图），由细到粗（右细左粗），满七进一，那么孩子已经出生了（ ）
A. 1335天B. 516天C. 435天D. 54天
9. “燕几”是世界上最早的组合家具，由七张桌子（包括2张长桌、2张中桌和3张小桌）拼成，每张桌子高度、宽度均相同，只有桌面的长度不同，七张桌面可以拼成不同的图形．如图是《燕几图》中名为“回文”的桌面拼合方式．如果设长桌的长为尺，中桌的长为尺，小桌的长为尺，那么下列关系式正确的是（ ）
A. B. C. D.
10. 均为有理数，以下说法：①若，则；②若，则；③若，则；④若，则；⑤若，那么；⑥若，那么．其中正确的个数有（ ）
A 个B. 个C. 个D. 个
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分． 请在答题卷的相应区域答题．）
11. 下列各数：0，，3.151151115，，中，有理数有_______个．
12. 比小的数是___________．
13. 计算：___________．
14. 已知油用去一半时，桶和油的质量一共是．当再次装满油时，桶和油的质量一共是，则桶的质量是___________．
15. 已知是关于的二次多项式，且实数，，满足，则________．
16. 若整式值为，则_________；
17. 分别从正面、上面、左面观察下列物体，得到的平面图形完全相同的是______填写序号．
18. 一个四位正整数的千位、百位、十位、个位上的数字分别为a，b，c，d（，，且a，b，c，d均为整数），如果，那么我们把这个四位正整数叫作“等和数”，例如四位正整数2947，因为，所以2 947叫作“等和数”，已知m是一个“等和数”，个位上的数字是5，百位上的数字是3，且m能被7整除，则______．
三、计算题（本大题共3小题，共18分． 请在答题卷的相应区域答题．）
19 计算：
（1）
（2）
20. 解方程：
（1）
（2）
21. 已知代数式，．
（1）求；
（2）当、时，求的值．
四、解答题（本大题共3小题，共28分． 请在答题卷的相应区域答题．）
22. 某学校掀起一股足球热，举行了班级联赛，七（1）班开局11场保持不败，共积25分，按照比赛规则，胜一场积3分，平一场积1分，负一场积0分，求该班获胜的场数．
23. 综合与实践
【阅读与思考】
场景1：某奶茶店一个收银台，每2分钟服务一位顾客．店庆活动时，已有4位顾客在排队． 收银台开始工作后，每4分钟来一位新顾客．分析问题，完成表格（单位：分钟）
收银台开始工作前已有4位顾客在排队等候，若把到达时间看作是0分钟，表示收银台开始工作后到达的“新顾客”．
①上表中第 位“新顾客”是第一个到达时无需排队的顾客．
场景2：若店庆活动时已有6位顾客排队，其他条件不变（每2分钟服务一位顾客，每4分钟来一位新顾客）
②上表中第 位“新顾客”是第一个到达时无需排队的顾客．
【发现问题】
①若还有“新顾客”在排队，则“新顾客”服务结束的时间 “新顾客”服务开始的时间（填“＞”、“”或“＜”）；
②当 ，则当“新顾客”到达时无排队现象（填“≥”、“”或“≤”）．
【解决问题】
①如果服务窗口办理业务的速度为每分钟服务一位顾客，“新顾客”增加的速度为每分钟到达一位（）服务窗口开始服务前已有位顾客在等待，假设从第位“新顾客”开始不需要排队．当 时，排队现象消失（直接写出与的关系）；
②根据以上结论，从数学解决问题的角度，就数值的变化，为解决学校食堂就餐时排队较长问题，提出两条合理化建议．
24. 拓广与探索
【问题情境】
射线是内部的一条射线，若，则我们称射线是射线的伴随线．例如，如图1，，，则，称射线是射线的伴随线；同时，由于，称射线是射线的伴随线．
【学习任务1】
如图2，若的度数是，射线是射线的伴随线，射线是的平分线，则的度数为 用含的代数式表示；
【学习任务2】
如图3，若，射线与射线重合，并绕点以每秒的速度逆时针转动，射线与射线重合，并绕点以每秒的速度顺时针转动，当射线与射线重合时，运动停止．
①是否存在某个时刻（秒），使得度数是？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；
②当的值为多少时，射线中恰好有一条射线是其余两条射线中任意一条射线的伴随线？
顾客
…
到达时间
0
0
0
0
4
8
…
服务开始时间
0
2
4
6
8
10
…
服务结束时间
2
4
6
8
10
12
…
顾客
…
到达时间
0
0
0
0
0
0
4
8
…
▲
服务开始时间
0
2
4
6
8
10
12
14
…
▲
▲
服务结束时间
2
4
6
8
10
12
14
16
…
▲
2025—2026学年度第一学期期末质量监测
七年级数学试题
（考试时间：100分钟 满分：100分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题所给的四个选项中，只有一项正确． 请在答题卷的相应区域答题．）
1. 在这四个数中，最小的数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查有理数的大小比较，需掌握负数、0、正数的大小关系及两个负数比较大小的规则，即负数小于0和正数，两个负数比较时绝对值大的反而小．
【详解】解：∵正数大于0，0大于负数，
∴先比较和的大小，
∵，，，
又∵ ，
∴，即，
∴四个数的大小关系为，
∴最小数是，
故选：A．
2. 夏明今年a岁了，爸爸比夏明大21岁，则6年后，爸爸比夏明大（ ）岁．
A. B. 21C. D. 6
【答案】B
【解析】
【分析】本题题考查的是用字母表示数，熟练掌握用字母表示数及数量关系是解题的关键．
根据夏明今年a岁了，爸爸比夏明大21岁，分别用含有字母的式子表示出爸爸今年的岁数、夏明6年后的岁数、爸爸6年后的岁数，用减法即可计算出爸爸6年后比夏明大的岁数．本题还可以根据“年龄差不变”直接得出答案．
【详解】爸爸今年：岁；
6年后，夏明岁；
爸爸：岁；
爸爸比夏明大：
（岁）；
故答案为：B
3. 年6月6日，嫦娥六号在距离地球约千米外上演“太空牵手”，完成月球轨道的交会对接．数据用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的形式为，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．
【详解】解：∵将384000转变为时，小数点向左移动了5位，且，
∴
故选：B．
4. 点是直线上一点，，．点是线段的中点，则线段的长为（ ）
A. 或B. 或C. 或D. 或
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了线段的和与差，以及线段的中点坐标计算，解决本题的关键是分类讨论点的位置．
需分两种情况讨论，先根据已知条件求出的长度，再利用线段中点的性质求出相关线段长度，进而计算的长即可．
【详解】解：∵，，
∴，
①当点在线段上时，如图，
∵，
∵是线段的中点，
∴，
∴；
②当点在线段上时，如图，
∵，
∵是线段的中点，
∴，
∴；
综上，的长为或．
故选：C．
5. 下列结论中正确的是（ ）
A. 单项式的系数是，次数是
B. 单项式的系数是，次数是
C. 多项式二次三项式
D. 多项式的常数项是
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了单项式与多项式的相关概念，包括单项式的系数、次数，多项式的项数、次数、常数项等，熟练掌握相应知识是解题的关键．
依据定义逐一判断各选项即可．
【详解】解：A、单项式的系数是，次数是，故选项不符合题意；
B、单项式的次数是字母的指数，故选项不符合题意；
C、多项式中，次数最高项为，次数为，故选项不符合题意；
D、多项式的常数项是，故选项符合题意．
故选：D．
6. 如图，一副三角尺（度数分别为、、和、、）按下面不同的方式摆放，其中的图形有（ ）
A. （1）（2）B. （2）（3）
C. （1）（2）（3）D. （1）（2）（3）（4）
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了余角和补角，三角板中角度的计算，掌握邻补角的定义及“同角的余角相等”、“等角的补角相等”是解决本题的关键．
利用互余、互补关系，邻补角定义逐个分析得结论．
【详解】解：图（1）中，由于，，可得到；
图（2）中，根据“同角的余角相等”，可得到；
图（3）中，根据“等角的补角相等“，可得到；
图（4）中，由于，，所以．
∴的图形有（1）（2）（3）．
故选：C．
7. 生物学中，描述、解释和预测种群数量的变化，常常需要建立数学模型．在营养和生存空间没有限制的情况下，某种细胞可通过分裂来繁殖后代，我们就用数学模型来表示．即：，，，，……，请你推算的个位数字是（ ）
A. 8B. 6C. 4D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了数字的变化规律，乘方运算．根据尾数的循环性得出结论即可.
【详解】解：∵，，，，……，
∴个位数字每四个数按2，4，8，6循环出现，
∵，
∴的个位数字与相同，为4，
故选：C．
8. 在古代，人们通过在绳子上打结来计数．即“结绳计数”．当时有位父亲为了准确记录孩子出生天数，在粗细不同的绳子上打结（如图），由细到粗（右细左粗），满七进一，那么孩子已经出生了（ ）
A. 1335天B. 516天C. 435天D. 54天
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意以及图形分析，根据满七进一，即可求解．
【详解】解：绳结表示的数为
故选B
【点睛】本题考查了有理数的混合运算，理解“满七进一”是解题的关键．
9. “燕几”是世界上最早的组合家具，由七张桌子（包括2张长桌、2张中桌和3张小桌）拼成，每张桌子高度、宽度均相同，只有桌面的长度不同，七张桌面可以拼成不同的图形．如图是《燕几图》中名为“回文”的桌面拼合方式．如果设长桌的长为尺，中桌的长为尺，小桌的长为尺，那么下列关系式正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了用代数式表示几何图形的长度，结合图形表示出小桌、中桌、长桌的长是解题的关键．
设每张桌面的宽为a尺，结合图形分别表示出小桌、中桌、长桌的长，即可得出正确的结论．
【详解】如下图，设每张桌面的宽为a尺，
根据图形可得：长桌的长为尺，中桌的长为尺，长桌的长为尺，
∴，
故选：A．
10. 均为有理数，以下说法：①若，则；②若，则；③若，则；④若，则；⑤若，那么；⑥若，那么．其中正确的个数有（ ）
A. 个B. 个C. 个D. 个
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了等式的性质，绝对值的几何意义，以及平方的非负性的性质，解决本题的关键是熟练掌握以上性质并判断．
①根据绝对值的几何意义举反例即可判断；②根据绝对值的几何意义即可判断；③④根据等式的性质可判断；⑤根据两个数相乘为零判断即可；⑥由平方的非负性判断即可．
【详解】解：①若，令，但，故①错误；
②若，则，故②正确；
③若，则，故③正确；
④若，当时，为任意数都成立，故a不一定等于b，故④错误；
⑤若，那么或，故⑤错误；
⑥若，那么，故⑥正确．
∴正确的为②③⑥，共3个．
故选：B ．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分． 请在答题卷的相应区域答题．）
11. 下列各数：0，，3.151151115，，中，有理数有_______个．
【答案】4
【解析】
【分析】本题考查有理数的概念，根据有理数是整数和分数的统称逐个判断即可．
【详解】解：所给的数中，0，，3.151151115，是有理数，有4个，
故答案为：4．
12. 比小的数是___________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查有理数的减法运算，根据题意，比小的数即计算减去，根据有理数减法法则，减去一个数等于加上这个数的相反数，因此，即可求解．
【详解】解：根据题意列式得，，
∴比小的数是，
故答案为：．
13. 计算：___________．
【答案】
【解析】
【分析】根据，将化为，直接计算即可得到答案．
【详解】，
，
故答案为：
【点睛】本题主要考查角度的计算，熟记度、分、秒之间的换算法则是解题的关键．
14. 已知油用去一半时，桶和油的质量一共是．当再次装满油时，桶和油的质量一共是，则桶的质量是___________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查列代数式．根据题意列代数式即可．
【详解】解：当再次装满油时，桶和油的质量一共是，则油的质量为：
∴桶的质量是，
故答案为：．
15. 已知是关于的二次多项式，且实数，，满足，则________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了多项式，非负数的性质，解题的关键是掌握多项式的次数和非负数的性质是解题的关键．
根据多项式的定义求得a，再根据非负数的性质求得b、c，代入求解即可．
【详解】解：∵是关于的二次多项式，
∴，，
∴，．
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴．
故答案为：．
16. 若整式的值为，则_________；
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查整式的代数求值，熟练掌握代数求值是解题的关键．根据题意得到，然后整体代入求解即可．
【详解】解：根据题意得，
∴
∴．
故答案为：．
17. 分别从正面、上面、左面观察下列物体，得到的平面图形完全相同的是______填写序号．
【答案】
【解析】
【分析】从正面，上面，左面看：图、图、图、图分别是长方体，圆锥，正方体、圆柱，根据它们三视图的形状进行判断即可．
【详解】解：图、图、图、图分别是长方体，圆锥，正方体、圆柱，
长方体的三视图虽然都是长方形的，但它们的大小不相同，
圆锥体的主视图、左视图是三角形的，而俯视图是圆形的，
正方体的三视图都是正方形的，
圆柱的主视图、主视图是长方形的，但俯视图是圆形的，
因此从正面、上面、左面看所得到的平面图形完全相同的是正方体，
故答案为：．
【点睛】本题考查简单组合体的三视图，掌握简单组合体的三视图的形状是正确判断的前提．
18. 一个四位正整数的千位、百位、十位、个位上的数字分别为a，b，c，d（，，且a，b，c，d均为整数），如果，那么我们把这个四位正整数叫作“等和数”，例如四位正整数2947，因为，所以2 947叫作“等和数”，已知m是一个“等和数”，个位上的数字是5，百位上的数字是3，且m能被7整除，则______．
【答案】8365
【解析】
【分析】因为设这个四位数千位上的数为，十位上的数为，所以根据“等和数”，列出算式，把用表示出来，用含有的式子表示出，再根据能被7整除，列出关于的方程，进行解答即可．本题主要考查了整式的加减混合运算，解题关键是理解题意，列出算式，理解新定义的含义．
【详解】解： 由题可得，设这个四位数的十位数为，千位数为，且，，
四位正整数是“等和数”，
，
则，
，
即，
这个四位数为：
，
，，
，
这个“等和数”能被7整除，即这个四位数是7的倍数，
必须是7的倍数，
且为正整数，
当时，，不符合题意；
当时，，不符合题意；
当时，，符合题意；
当时，，不符合题意；
综上所述，这个“等和数”为：8365．
故答案为：8365．
三、计算题（本大题共3小题，共18分． 请在答题卷的相应区域答题．）
19. 计算：
（1）
（2）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查有理数的四则运算，熟练掌握运用运算法则是解答本题的关键．
（1）原式运用有理数加减法法则进行计算即可；
（2）原式先将除法转换为乘法后，再利用乘法分配律计算即可．
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
解：
．
20. 解方程：
（1）
（2）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了解一元一次方程，掌握解一元一次方程的基本步骤是解答本题的关键．
（1）方程去括号、移项、合并同类项、系数化为1即可；
（2）方程去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1即可．
【小问1详解】
解：，
去括号，得，
移项合并，得，
系数化为1，得；
【小问2详解】
解：，
去分母，得，
去括号，得，
移项合并，得，
系数化为1，得．
21. 已知代数式，．
（1）求；
（2）当、时，求的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了整式的加减运算与化简求值，正确的去括号是解题的关键．
（1）根据整式的加减运算法则进行计算即可求解；
（2）将、代入（1）中化简的结果进行计算即可求解．
【小问1详解】
解：∵，
∴
；
【小问2详解】
当、时，
．
四、解答题（本大题共3小题，共28分． 请在答题卷的相应区域答题．）
22. 某学校掀起一股足球热，举行了班级联赛，七（1）班开局11场保持不败，共积25分，按照比赛规则，胜一场积3分，平一场积1分，负一场积0分，求该班获胜的场数．
【答案】7场
【解析】
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解决本题的关键是读懂题意找到等量关系建立方程．
设获胜场，则平局为场，根据积分建立方程求解即可．
【详解】解：设七（1）班获胜场，则平局为场，
∴，
解得．
答：该班获胜7场．
23. 综合与实践
【阅读与思考】
场景1：某奶茶店一个收银台，每2分钟服务一位顾客．店庆活动时，已有4位顾客在排队． 收银台开始工作后，每4分钟来一位新顾客．分析问题，完成表格（单位：分钟）
收银台开始工作前已有4位顾客在排队等候，若把到达时间看作是0分钟，表示收银台开始工作后到达的“新顾客”．
①上表中第 位“新顾客”是第一个到达时无需排队的顾客．
场景2：若店庆活动时已有6位顾客排队，其他条件不变（每2分钟服务一位顾客，每4分钟来一位新顾客）
②上表中第 位“新顾客”是第一个到达时无需排队的顾客．
【发现问题】
①若还有“新顾客”在排队，则“新顾客”服务结束的时间 “新顾客”服务开始的时间（填“＞”、“”或“＜”）；
②当 ，则当“新顾客”到达时无排队现象（填“≥”、“”或“≤”）．
【解决问题】
①如果服务窗口办理业务的速度为每分钟服务一位顾客，“新顾客”增加的速度为每分钟到达一位（）服务窗口开始服务前已有位顾客在等待，假设从第位“新顾客”开始不需要排队．当 时，排队现象消失（直接写出与的关系）；
②根据以上结论，从数学解决问题的角度，就数值的变化，为解决学校食堂就餐时排队较长问题，提出两条合理化建议．
【答案】【阅读与思考】①；②；
【发现问题】①；②；
解决问题】①；
②加快服务速度，减少服务时间；增加服务窗口，减少服务时间；错峰就餐，减少排队人数；错峰就餐，提高学生就餐排队间隔
【解析】
【分析】本题考查了不等式的应用，用代数式表示数的规律，解决本题的关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，寻找规律，列出代数式．
[阅读与思考]①根据题意，分别得到的服务时间，由此得到的服务时间，由此得到来时正好无需排队；
②同理得到当为顾客服务时，未到，故第5位是在20分钟时到来时无需排队；
[发现问题]①前一位新顾客服务结束后，下一位新顾客立即开始服务（若已到达），因此结束时间与下一位开始时间相等；
②根据当新顾客”到达时无排队现象求解即可；
[解决问题]①通过归纳原有顾客数m，服务时间a，新顾客间隔时间b的关系得到不等式即可；
②根据出与的关系提建议即可．
【详解】解：[阅读与思考]
收银台开始工作前已有4位顾客在排队等候，每2分钟服务一位顾客，表示收银台开始工作后到达的“新顾客”，每4分钟来一位新顾客，
①根据题意，当为顾客服务时，到达并排队，
当为顾客服务时，到达并排队，
当为服务时，未到，
∴的服务时间为：（分钟），
∴在分钟到达时，收银台空闲，因此服务开始时间为分钟，无需排队，
∴表1中第3位“新顾客”是第一个到达时无需排队的顾客，
故答案为：；
②店庆活动时已有6位顾客排队，每2分钟服务一位顾客，每4分钟来一位新顾客，
∴当为顾客服务时，到达并排队，
当为顾客服务时，到达并排队，
当为顾客服务时，到达并排队，
当为顾客服务时，到达并排队，
当为顾客服务时，未到，
∴服务的时间为（分钟），
∴当在分钟到时，收银台空闲，无需排队，
∴表2中第5位“新顾客”是第一个到达时无需排队的顾客，
故答案为：；
[发现问题]
①根据表2得到，当为服务结束时，正好到达，
∴“新顾客”服务结束的时间等于“新顾客”开始的时间，
故答案为：；
②当“新顾客”到达时无排队现象，则其到达的时间必须不早于前一位顾客的服务结束时间，
∴，
故答案为：；
[解决问题]
①前面m位顾客服务需要分钟，
前位新顾客到达间隔为分钟，
∵服务完前面m位顾客和前位新顾客的时间要小于等于第n位新顾客到达的时间排队现象才会消失，
∴，即；
故答案为：；
②加快服务速度，减小服务时间；增加服务窗口，减小服务时间；
错峰就餐，减少排队人数；错峰就餐，提高学生就餐排队间隙．
24. 拓广与探索
【问题情境】
射线是内部的一条射线，若，则我们称射线是射线的伴随线．例如，如图1，，，则，称射线是射线的伴随线；同时，由于，称射线是射线的伴随线．
【学习任务1】
如图2，若的度数是，射线是射线的伴随线，射线是的平分线，则的度数为 用含的代数式表示；
【学习任务2】
如图3，若，射线与射线重合，并绕点以每秒的速度逆时针转动，射线与射线重合，并绕点以每秒的速度顺时针转动，当射线与射线重合时，运动停止．
①是否存在某个时刻（秒），使得的度数是？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；
②当的值为多少时，射线中恰好有一条射线是其余两条射线中任意一条射线的伴随线？
【答案】（1）；（2）①存在，当秒或25秒时，的度数是；②
【解析】
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，角的计算，解决本题的关键是利用分类讨论思想．
（1）根据伴随线定义得到，然后根据角平分线得到，再根据角度的和差计算求解即可；
（2）①利用分类讨论思想，分相遇之前和之后进行列式计算即可；
②利用分类讨论思想，分相遇之前和之后四个图形进行计算即可．
【详解】（1）解：如图2，
∵的度数是，射线是射线的伴随线，
∴
∴，
∵射线是的平分线，
∴，
则的度数是．
故答案为：；
（2）解：射线与重合时，，
①当的度数是时，有两种可能：
若在相遇之前，则，
；
若在相遇之后，则，
；
所以，综上所述，当或25时，的度数是．
②相遇之前：
（i）如图1，是的伴随线时，
则，
即，
；
（ii）如图2，是的伴随线时，
则，
即，
．
相遇之后：
（iii）如图3，是的伴随线时，
则，
即，
；
（iv）如图4，
是的伴随线时，则，
即，
，
所以，综上所述，当时，中恰好有一条射线是其余两条射线的伴随线．顾客
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