安徽黄山地区2025-2026学年第一学期期末质量监测八年级数学试题

这是一份安徽黄山地区2025-2026学年第一学期期末质量监测八年级数学试题，共25页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。
考试时间100分钟，满分100分
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．请在答题卷的相应区域答题．
1. 在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
2. 如图，自行车的车架上常常会焊接一横梁，运用的数学原理是（ ）
A. 两点之间，线段最短B. 三角形具有稳定性
C. 三角形两边之和大于第三边D. 垂线段最短
3. 下列运算正确是（ ）
A. B. C. D.
4. 下列各式从左到右变形正确的是（ ）
A. B. C. D.
5. 下列因式分解最后结果正确的是（ ）
A. B.
C. D.
6. 如图，已知在中，，将一块直角三角板放在上，使三角板的两条直角边分别经过，，直角顶点落在的内部，（ ）度．
A. 90B. 60C. 50D. 40
7. 根据《铁路互联网售票管理办法》，对于持有效身份证购买车票的旅客，可以不用取票直接刷身份证上车，这样能够缩短旅客排队购票、取票的等待时间．已知采用刷身份证上车的方式后平均每分钟上车的旅客人数是原来的4倍，且400名旅客的上车时间比原来300名旅客的上车时间还少8分钟，设原来平均每分钟上车旅客的人数是人，则列出方程为（ ）
A. B. C. D.
8. 如图，在和中，，，小亮添加了以下条件之一后仍无法判定，请问他添加的是（ ）
A. B. C. D.
9. 如图， BD 是△ABC 角平分线， AE⊥ BD ，垂足为 F ，若∠ABC＝35°，∠ C＝50°，则∠CDE 的度数为（ ）
A. 35°B. 40°C. 45°D. 50°
10. 如图，中，，平分交于点G，平分交于点D，、相交于点F，交的延长线于点E，连接，下列结论中正确的有（ ）
①若，则；②；③；④
A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分．请在答题卷的相应区域答题．
11 已知点与点关于x轴对称，则________．
12. 2025年1月，哈尔滨工业大学宣布成功研发出中心波长达到13.5纳米（即0.0000000135米）的极紫外（EUV）光技术，这一成就为中国光刻机技术的发展注入了强劲动力．则用科学记数法表示为________．
13. 分式的值为0，则___________
14. 分解因式的结果是________．
15. 定义：一个三角形的一边长是另一边长的倍，这样的三角形叫作“倍长三角形”．若是“倍长三角形”，有两条边的长分别为和，则第三条边的长为___________．
16. 已知，．若用只含有的代数式表示，则________．
17. 如图，已知等边三角形纸片，点E在边上，点F在边上，沿折叠，使点落在边上的点的位置，且，则的度数为_____．
18. 如图，在中，，，是的中线，F是上的动点，E是边上的动点，则的最小值为________．
三、计算题．请在答题卷的相应区域答题．
19. 计算：．
20. 先化简．然后再从四个数中选择一个合适的数作为n的值代入求值．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分．请在答题卷的相应区域答题）
21. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点均在格点上．
（1）在图中作出关于x轴的对称图形，并直接写出点的坐标；（不用写作法）
（2）请直接用直尺过点A作直线的垂线，垂足为A；（保留作图过程的点等痕迹，不写作法）
（3）求面积．
22. 根据图1．通过不同方法计算图形的面积可以得到一个数学公式：，请解答下列问题：
（1）请运用这个方法，写出依据图2得出的数学等式： ；
（2）利用（1）中所得到的结论，解决问题：已知，求的值；
（3）小明同学用图3中张边长为的正方形，张边长为的正方形，张长、宽分别为的长方形纸片拼出一个面积为的长方形，求的值．
五、（本题满分10分，请在答题卷的相应区域答题．）
23. 数学源于生活，用于生活．在人类历史发展和社会生活中，数学发挥着不可替代的作用．为了激发学生学习数学的兴趣，某学校计划购进《趣味数学》和《数学史话》若干套，已知《数学史话》的单价是《趣味数学》单价的2倍，用4000元购买《趣味数学》的数量比购买《数学史话》多50套．
（1）求《趣味数学》每套的价格；
（2）学校计划用不超过3500元购进这两套书共60套，此时正赶上书店8折销售所有书籍，求《数学史话》最多能买几套？
六、（本题满分12分，请在答题卷的相应区域答题．）
24. 已知等边中，点为射线上一点，作，交直线于点．
（1）如图1，当点在线段上时，线段、、之间的数量关系是______；
（2）如图2，当点在的延长线上时，（1）中的、、数量关系是否成立，若成立，说明理由，若不成立，求出、、之间的数量关系；
（3）如图3，在（2）的条件下，的平分线交于点，过点A作于，当时，求的长．2025—2026学年度第一学期期末质量监测
八年级数学试题
考试时间100分钟，满分100分
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．请在答题卷的相应区域答题．
1. 在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据轴对称图形的概念求解．如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．
【详解】A．是轴对称图形，故A符合题意；
B．不是轴对称图形，故B不符合题意；
C．不是轴对称图形，故C不符合题意；
D．不是轴对称图形，故D不符合题意．
故选：A．
【点睛】本题主要考查轴对称图形的知识点．确定轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2. 如图，自行车的车架上常常会焊接一横梁，运用的数学原理是（ ）
A. 两点之间，线段最短B. 三角形具有稳定性
C. 三角形两边之和大于第三边D. 垂线段最短
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了三角形的性质，理解并掌握“三角形具有稳定性”的概念是解题的关键．
根据图示，三角形的性质即可求解．
【详解】解：自行车的车架焊接横梁，运用的数学原理是“三角形具有稳定性”，
选项A、选项C和选项D都与题干不符，
故选：B．
3. 下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查同底数幂的乘法、积的乘方、同底数幂的除法以及负整数指数幂的定义，需根据这些法则逐一判断选项的正误．
【详解】解：A、，原计算错误，本选项不符合题意；
B、，原计算错误，本选项不符合题意；
C、，原计算错误，本选项不符合题意；
D、，原计算正确，本选项符合题意．
故选：D．
4. 下列各式从左到右变形正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查分式的乘除法，分式的基本性质，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．利用分式的乘除法则及性质逐项判断即可．
【详解】解：A、，则A不符合题意，
B、是最简分式，则B不符合题意，
C、，则C不符合题意，
D、，则D符合题意，
故选：D
5. 下列因式分解最后结果正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了因式分解，掌握因式分解的公式法，十字相乘法提公因式法是解决本题的关键．根据因式分解的定义及分解方法，逐个判断得结论．
【详解】解：A、，故选项A分解不正确；
B、，故选项B分解正确；
C、，故选项C分解不正确；
D、，故选项D分解不彻底，不正确．
故选：B．
6. 如图，已知在中，，将一块直角三角板放在上，使三角板的两条直角边分别经过，，直角顶点落在的内部，（ ）度．
A. 90B. 60C. 50D. 40
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了三角形内角和定理，根据三角形内角和定理可得，，进而即可求出的度数．
【详解】解：在中，，
，
在中，，
，
，
故选：D．
7. 根据《铁路互联网售票管理办法》，对于持有效身份证购买车票的旅客，可以不用取票直接刷身份证上车，这样能够缩短旅客排队购票、取票的等待时间．已知采用刷身份证上车的方式后平均每分钟上车的旅客人数是原来的4倍，且400名旅客的上车时间比原来300名旅客的上车时间还少8分钟，设原来平均每分钟上车旅客的人数是人，则列出方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．设原来平均每分钟上车旅客的人数是人，则现在平均每分钟上车旅客的人数是人，根据400名旅客的上车时间比原来300名旅客的上车时间还少8分钟，即可得出关于x的分式方程．
【详解】解：设原来平均每分钟上车旅客的人数是人，则现在平均每分钟上车旅客的人数是人，
根据题意，得．
故选：C．
8. 如图，在和中，，，小亮添加了以下条件之一后仍无法判定，请问他添加的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查全等三角形的判定，根据全等三角形的判定方法一一判断即可．
【详解】解：A、由，，，无法证明，故选项符合题意；
B、由得到，结合，， 利用即可证明，故选项不符合题意；
C、由，结合，， 利用即可证明，故选项不符合题意；
D、得到，结合，， 利用即可证明，故选项不符合题意；
故选：A．
9. 如图， BD 是△ABC 的角平分线， AE⊥ BD ，垂足为 F ，若∠ABC＝35°，∠ C＝50°，则∠CDE 的度数为（ ）
A. 35°B. 40°C. 45°D. 50°
【答案】C
【解析】
【分析】根据角平分线的定义和垂直的定义得到∠ABD=∠EBD=∠ABC=，∠AFB=∠EFB=90°，推出AB=BE，根据等腰三角形的性质得到AF=EF，求得AD=ED，得到∠DAF=∠DEF，根据三角形的外角的性质即可得到结论．
【详解】解：∵BD是△ABC的角平分线，AE⊥BD，
∴∠ABD=∠EBD=∠ABC=，∠AFB=∠EFB=90°，
∴∠BAF=∠BEF，
∴AB=BE，AE⊥BD，
∴BD是AE的垂直平分线，
∴AD=ED，
∴∠DAF=∠DEF，
∵∠BAC=180°-∠ABC-∠C=95°，
∴∠BED=∠BAD=95°，
∴∠CDE=95°-50°=45°，
故选C．
【点睛】本题考查了三角形的内角和，全等三角形的判定和性质，三角形的外角的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
10. 如图，中，，平分交于点G，平分交于点D，、相交于点F，交的延长线于点E，连接，下列结论中正确的有（ ）
①若，则；②；③；④
A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质、角平分线的性质定理、含30度角的直角三角形的性质等知识，通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键．先根据三角形的内角和定理可得，根据角平分线的定义可得，再根据直角三角形的性质可得，由此即可判断①正确；先根据角平分线的定义和三角形的内角和定理求出，从而可得，再根据含30度角的直角三角形的性质即可判断②正确；在上截取，连接，先证出，根据全等三角形的性质可得，从而可得，再证出，根据全等三角形的性质可得，由此即可判断③正确；过点作于点，作于点，先根据角平分线的性质定理可得，再根据三角形的面积公式可得，然后根据全等三角形的性质可得，，由此即可判断④正确．
【详解】解：∵在中，，，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，结论①正确；
∵在中，，
∴，
∵平分，平分，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴在中，，则结论②正确；
如图，在上截取，连接，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
由对顶角相等得：，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，则结论③正确；
如图，过点作于点，作于点，
由上已得：，即平分，
∴，
∴，
由上已证：，，
∴，，
∴，则结论④正确；
综上，结论中正确的有4个，
故选：A．
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分．请在答题卷的相应区域答题．
11. 已知点与点关于x轴对称，则________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了关于x轴对称的点的坐标，解题的关键是熟练掌握关于x轴对称的点的纵坐标互为相反数，横坐标相同．据此求出的值，即可求解．
【详解】解：∵点与点关于x轴对称，
∴，，
∴．
故答案为：．
12. 2025年1月，哈尔滨工业大学宣布成功研发出中心波长达到13.5纳米（即0.0000000135米）的极紫外（EUV）光技术，这一成就为中国光刻机技术的发展注入了强劲动力．则用科学记数法表示为________．
【答案】
【解析】
【分析】此题考查了科学记数法表示较小的数．
将原数用科学记数法表示，需确定系数和指数，系数在1到10之间，指数由小数点移动的位数决定，据此进行解答即可．
【详解】解：原数的小数点向右移动8位得到，因此指数为，故科学记数法表示为，
故答案为：
13. 分式的值为0，则___________
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查分式的增根，确定分式在什么情况下值为0是解题的关键．
首先根据分式的值为0需满足分子为0且分母不为0，得到结果即可．
【详解】解：∵分式的值为0，
∴，，
∴，，
∴，
故答案为：．
14. 分解因式的结果是________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了综合提公因式以及公式法分解因式，先提公因式，再利用完全平方公式分解因式．
【详解】解：
，
故答案为：．
15. 定义：一个三角形的一边长是另一边长的倍，这样的三角形叫作“倍长三角形”．若是“倍长三角形”，有两条边的长分别为和，则第三条边的长为___________．
【答案】或
【解析】
【分析】本题考查三角形三边关系，设第三边的长为，先根据三角形三边关系定理得，再根据是“倍长三角形”，分四种情况讨论并求解即可．正确理解题意并利用分类讨论的思想解决问题是解题的关键．
【详解】解：设第三边的长为，
则，即，
∵是“倍长三角形”，则：
①若，则（不符合题意，舍去）；
②若，则；
③若，则；
④若，则（不符合题意，舍去）；
综上所述，第三条边的长为或．
故答案为：或．
16. 已知，．若用只含有的代数式表示，则________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了幂的运算，涉及幂的乘方运算和逆运算，由可得 ，再将变形为，代入即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
17. 如图，已知等边三角形纸片，点E在边上，点F在边上，沿折叠，使点落在边上的点的位置，且，则的度数为_____．
【答案】##度
【解析】
【分析】本题考查了三角形的外角性质，等边三角形的性质，折叠的性质，由折叠性质可知，通过等边三角形的性质可得，，，由得到，再利用三角形的外角性质即可求出，熟练掌握边三角形和折叠的性质是解题的关键．
详解】由翻折性质可知：，
∵为等边三角形，
∴，，，
∵，
∴为直角三角形，
∴，
∵是的外角，
∴，
∵是由翻折得到，
∴，
故答案为：．
18. 如图，在中，，，是的中线，F是上的动点，E是边上的动点，则的最小值为________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了垂线段最短以及轴对称作图，等腰三角形的性质．作关于的对称点，连接交于，连接，过作于，根据三角形面积公式求出，根据对称性质求出，根据垂线段最短得出即可得出答案．
【详解】解：作关于的对称点，连接交于，连接，过作于，如图，

∵，，，
∴，
，是的中线，
垂直平分，
M点在边上，
∵E关于的对称点M，
∴，
∴，
根据垂线段最短得出：，
即，
即的最小值是．
故答案为：．
三、计算题．请在答题卷的相应区域答题．
19. 计算：．
【答案】．
【解析】
【分析】此题考查了单项式的乘法．先计算积的乘方，再计算单项式乘以单项式即可．
【详解】解：
20. 先化简．然后再从四个数中选择一个合适的数作为n的值代入求值．
【答案】，当时，原式．
【解析】
【分析】此题考查了分式的化简求值和分式有意义的条件．先计算括号内的减法，再计算除法的化简结果，再选择分式有意义的值代入计算即可．
【详解】解：原式
，
∵，，，
∴，，
∴取，原式=
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分．请在答题卷的相应区域答题）
21. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点均在格点上．
（1）在图中作出关于x轴的对称图形，并直接写出点的坐标；（不用写作法）
（2）请直接用直尺过点A作直线的垂线，垂足为A；（保留作图过程的点等痕迹，不写作法）
（3）求的面积．
【答案】（1）见解析，；
（2）见解析； （3）5．
【解析】
【分析】此题考查了轴对称的作图和网格中求三角形的面积，准确作图是关键．
（1）找到点关于x轴的对称点，顺次连接即可得到图形；
（2）根据网格的特点进行作图；
（3）利用正方形的面积减去三个直角三角形的面积即可求出答案．
【小问1详解】
如图，即为所求．点的坐标为，
【小问2详解】
如图，直线即为所作垂线．
【小问3详解】
22. 根据图1．通过不同方法计算图形的面积可以得到一个数学公式：，请解答下列问题：
（1）请运用这个方法，写出依据图2得出的数学等式： ；
（2）利用（1）中所得到的结论，解决问题：已知，求的值；
（3）小明同学用图3中张边长为的正方形，张边长为的正方形，张长、宽分别为的长方形纸片拼出一个面积为的长方形，求的值．
【答案】（1）；
（2）45； （3）12．
【解析】
【分析】本题考查是多项式乘多项式、完全平方公式的应用，利用面积法列出等式是解题的关键．
（1）直接求得正方形的面积，然后再根据正方形的面积和矩形的面积之和求解即可；
（2）将，，代入（1）中得到的关系式，然后进行计算即可；
（3）将张边长为的正方形，张边长为的正方形，张宽、长分别为，的长方形的面积的和等于即可得到答案．
小问1详解】
解：；
小问2详解】
解：；
【小问3详解】
解；
五、（本题满分10分，请在答题卷的相应区域答题．）
23. 数学源于生活，用于生活．在人类历史发展和社会生活中，数学发挥着不可替代的作用．为了激发学生学习数学的兴趣，某学校计划购进《趣味数学》和《数学史话》若干套，已知《数学史话》的单价是《趣味数学》单价的2倍，用4000元购买《趣味数学》的数量比购买《数学史话》多50套．
（1）求《趣味数学》每套的价格；
（2）学校计划用不超过3500元购进这两套书共60套，此时正赶上书店8折销售所有书籍，求《数学史话》最多能买几套？
【答案】（1）每套《趣味数学》的价格为40元；
（2）《数学史话》最多能买49套．
【解析】
【分析】此题考查了分式方程和一元一次不等式的应用，准确列出方程和不等式是解题的关键．
（1）设每套《趣味数学》的价格为x元，则每套《数学史话》价格为元．用4000元购买《趣味数学》的数量比购买《数学史话》多50套，据此列出方程并解方程即可；
（2）设购买《数学史话》y套，则购买《趣味数学》套．学校计划用不超过3500元购进这两套书共60套，据此列出不等式并解不等式即可．
【小问1详解】
解：设每套《趣味数学》的价格为x元，则每套《数学史话》价格为元．
根据题意得：
解得
经检验是原分式方程的解，且符合题意．
答：每套《趣味数学》的价格为40元；
【小问2详解】
解：由（1）可知每套《趣味数学》的价格为40元，每套《数学史话》的价格为元．
书店8折销售，则打折后《趣味数学》每套元，《数学史话》每套元．
设购买《数学史话》y套，则购买《趣味数学》套．
根据题意得：
解得≤=49
因为y为书的套数，应为整数，所以y的最大值为49．
答：《数学史话》最多能买49套．
六、（本题满分12分，请在答题卷的相应区域答题．）
24. 已知等边中，点为射线上一点，作，交直线于点．
（1）如图1，当点在线段上时，线段、、之间的数量关系是______；
（2）如图2，当点在的延长线上时，（1）中的、、数量关系是否成立，若成立，说明理由，若不成立，求出、、之间的数量关系；
（3）如图3，在（2）的条件下，的平分线交于点，过点A作于，当时，求的长．
【答案】（1）
（2）不成立，
（3）
【解析】
【分析】（1）过点D作，交于点M，可证是等边三角形，则有，然后可证，所以，，所以；
（2）过作交的延长线于N，得，为等边三角形，同理可证，得，可得；
（3）连接，证明，可得，证明 ，得，可得，得，由，得．
【小问1详解】
解：∵为等边三角形，
∴，
过点D作，交于点M，如图所示，
则，，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
故答案为：；
【小问2详解】
解：不成立．
过作交的延长线于N，如图所示，
则，
∴，是等边三角形，
∴．
∴，
∵，
∴，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∴，
∴；
【小问3详解】
解：连接，如图，
∵，
∴，
∴，
平分，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了等边三角形和全等三角形．熟练掌握等边三角形的性质与判定，全等三角形判定与性质，平行线的性质，直角三角形的性质，等腰三角形性质，含30度的直角三角形性质，添加合适的辅助线，构造全等的三角形，是解决本题的关键．