江西省上饶市2026届高三上学期第一次高考模拟考试数学试卷（Word版附解析）

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数学试题
一、单选题
1．若集合，则（ ）
A．B．C．D．
2．已知，则的虚部为（ ）
A．B．C．D．
3．已知函数，则（ ）
A．4B．9C．16D．25
4．已知，，若，则（ ）
A．B．C．D．
5．将6个相同的小球全部放入3个不同的盒子中，每个盒子都要有小球，则不同的放球方法共有（ ）
A．4种B．6种C．10种D．12种
6．已知，且，则（ ）
A．4B．3C．D．2
7．已知函数，则下列说法错误的是（ ）
A．
B．
C．对定义域内的任意两个不相等的实数恒成立
D．若实数满足，则
8．已知正方体的棱长为4，棱上的点满足与交于点．若平面经过点且与垂直，则平面截该正方体所得截面的面积为（ ）
A．4B．7C．4D．7
二、多选题
9．已知函数，则下列关于函数的说法正确的是（ ）
A．最小正周期为
B．偶函数
C．图象关于点中心对称
D．在区间上单调递减
10．已知函数，则（ ）
A．在点（2，a-4）处的切线方程为
B．若有两个极值点，则
C．当时，有两个零点
D．当时，直线与的图象一定有三个不同的交点
11．对任意有序正实数对，若存在过点的直线与双曲线交于两点，且为线段的中点，则称该数对为有效数对，否则称为无效数对，则下列数对中是有效数对的有（ ）
A．B．C．D．
三、填空题
12．已知抛物线的顶点到焦点的距离为3，则 ．
13．在边长为3的正方形中，三点分别在上，满足，则五边形面积的最大值是 ．
14．方程的整数解的组数为 ．
四、解答题
15．2025年“十一”黄金周期间，上饶市文旅局对五大热门景区（三清山、婺源、龟峰、葛仙村、望仙谷）的游客数据进行了统计．已知前五日每日总游客接待量（，单位：万人次）与全市旅游综合收入，单位：亿元的抽样数据如下：
(1)根据数据建立旅游综合收入关于游客接待量的线性回归方程，并预测第六日游客接待量达到38万人次时，该市旅游综合收入的估计值；
(2)在“十一”黄金周期间，望仙谷景区单日客流量超过承载上限（5万人次）的概率为0.4．黄金周七天中随机抽取三天，记客流量超过承载上限的天数为，求的分布列及数学期望．
参考数据：．
参考公式：．
16．在平面四边形中，，将沿翻折至，满足．
(1)证明：平面平面；
(2)求平面与平面的夹角的余弦值．
17．已知递增的等差数列满足，数列的各项均为正数，，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
18．已知椭圆的焦距为2，点在椭圆上．
(1)求椭圆的方程；
(2)如图，斜率存在且不为0的直线与相交于点（在的左侧），，分别为左右焦点，设直线的斜率分别为，且．
①求证：直线过定点；
②设直线相交于点，求证：为定值．
19．已知函数，
(1)求证：当时，；
(2)记在的唯一零点为，求证：；
(3)在（2）的条件下记，求证：．
参考答案
1．C
【详解】由，无解；由，解得；由，解得，所以，所以，
故选：C
2．D
【详解】因为，代入得：，
所以虚部为，
故选：D.
3．C
【详解】因为，令，解得，
所以．
故选：C.
4．B
【详解】，，则，，
由，得，解得.
故选：B
5．C
【详解】本题是6个相同的小球放入3个不同的盒子，且每个盒子至少有1个小球的组合问题，可以使用隔板法，
将6个小球排成一排，中间形成5个空隙，在这5个空隙中插入2个隔板，
即可将小球分成3份，每份至少有1个，
因此，不同的放法共有种，
故选：C．
6．A
【详解】，由得，
则
所以
故选：A．
7．C
【详解】，
对于A选项，对任意的，
，
所以函数是定义域为的偶函数，，故A正确；
对于B选项，，
故函数为奇函数，故B正确；
对于C选项，对于函数，
令，解得；
，解得，
所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为，故C错误；
对于D选项，由函数是定义域为的偶函数
同时函数的单调递增区间为，单调递减区间为
所以可得，即，故D正确．
故选：C．
8．B
【详解】如图，设的中点为，
是正方体，是正方形，，，
，平面,平面，
与交于点，平面，，
是正方体的棱长为，为的中点，，
，
，
，
，
，，
，，平面BDF，
平面．
平面经过点且与垂直，平面平面，
，是的中点，，
在上取点，使得，连接，则，
在上取点，使得，连接，则，
取的中点，连接，则，
取的中点，为的中点，，，
在上取点，连接，则，
连接，连接，故平面平面，
则截面五边形为平面，
梯形中，，
则梯形的面积．
中，，又，
所以，
即．
故选：B．
9．BC
【详解】根据题意，，
所以函数，
所以函数是周期为的偶函数，A错误，B正确．
函数的图象关于点中心对称，C正确，
函数在区间上不单调，D错误．
故选：BC．
10．ABD
【详解】选项A，
，
在点（2，a-4）处的切线方程为，
即切线方程为，选项A正确．
选项B，，
有两个极值点，有两个不同的根，
，，选项B正确．
选项C，当时，由前面分析知存在两个极值点，
是有两个不同的根，
，，一正一负，且正根大于，
不妨设，则的解为或，
的解为，
当时单调递增，
当时单调递减，当时单调递增，
，，
，
，
当时，有三个零点，选项C错误．
选项D，直线与相交，
则，
解得考虑二次部分，，
，，，
设，，
不是的根，所以该方程有3个根，选项D正确．
故选：ABD.
11．AD
【详解】设直线的斜率为，，
则有，，
两式相减得，即，
又为的中点，即，且，
所以，且直线与双曲线有两个交点，
对于A：此时数对为，则，直线，双曲线，
联立，得，
，满足直线与双曲线有两个交点，故A正确；
对于B：此时数对为，则，直线，双曲线，
联立，此时无解，不满足直线与双曲线有两个交点，故B错误；
对于C：此时数对为，则，直线，双曲线，
联立，得，
，不满足直线与双曲线有两个交点，故C错误；
对于D：此时数对为，则，直线，双曲线，
联立，得，
，满足直线与双曲线有两个交点，故D正确；
故选：AD.
12．12
【详解】因为抛物线的顶点到焦点距离为，故，故，
故答案为：12．
13．7
【详解】设，则，
因为且，所以，
在直角中，，所以
同理可得，
所以，
，
因为，当且仅当时，即时等号成立，
所以五边形EFDCG面积的最大值是7．
14．12
【详解】原方程变形得，即，
由是整数，得或，或或，
而方程组与各有2组解，方程组与各有4组解，
所以原方程共有12组解.
故答案为：12
15．(1)，8.7亿元
(2)分布列见解析，
【详解】（1）因为
所以．
所以回归方程为：，当时，
当第六日游客接待量达到38.0万人次时，该市旅游综合收入的估计值为8.7亿元．
（2）由题意可知，
则
所以的分布列为：
.
16．(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）在平面四边形中，
，
，
在空间中，由得平面
又平面，
平面平面，得证．
（2）以为原点，，分别为轴和轴正方向建立如图所示空间直角坐标系，
因为平面平面，所以轴平面，
则．
所以．
设平面一个法向量为，则，
即，令，则．
设平面一个法向量为，则，
即，令，则．
设平面与平面的夹角，
则.
17．(1)，
(2)
【详解】（1）设等差数列公差为，则，由得，
由得，所以，所以，
所以数列的通项公式为；
又，
由数列的各项均为正数得，即，
又，所以数列为首项为2且公比为2的等比数列，
所以.
（2）当为奇数时，记，则有
当为偶数时，．
所以，记，则有
所以.
18．(1)
(2)①证明见解析②证明见解析
【详解】（1）如图所示，
设椭圆的左、右焦点分别为、，因为焦距为，在椭圆上，
所以且轴，故，
又由于，所以得，
故椭圆方程为
（2）①设直线方程为，与椭圆联立，
消去得，
设，由韦达定理得：
直线的斜率，直线的斜率，
因此：，
即，整理得，
所以，故直线过定点.
②直线的方程，因为，
故直线可写为：，即：
直线过和，其方程为：，
联立直线与的方程，消去后解得，即；
同理，，由题知在的左侧，易得在左半椭圆，故，
所以：.
19．(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【详解】（1）设，
则
所以在上单调递增，当时，即
（2）依题意，
当时，，
当时，，
，即，所以单调递增；
当时，，，
即，所以单调递增，
所以在单调递增.
又
所以存在唯一使得
同理存在唯一使得．
则
又，且在上单调递增，所以，即．
（3）因为,所以
由（1）知
当时结论显然成立，当时
．日期
10月1日
10月2日
10月3日
10月4日
10月5日
29
32
36
30
28
6
7
8
6.5
5.5
0
1
2
3
P