江西省赣州市2025-2026学年高二上学期期末考试数学试卷及答案（word版+pdf版）

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一、选择题:本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的.
1. 点 2,−3 到直线 3x−4y−6=0 的距离是
A. 115 B. 125 C. 135 D. 145
2. 已知 m=1,−2,4,n=x,1,1,m⊥n ,则实数 x 的值为
A. -2 B. 2C. −12 D. 12
3. 椭圆 x2100+y264=1 的焦距为
A. 6 B. 12 C. 16 D. 20
4. 若圆 O1:x2+y2=16 与圆 O2:x−52+y2=r2r>0 外切,则 r=
A. 1 B. 2 C. 9 D. 1或9
5. 已知 m,n,l 为三条不同的直线， α,β,γ 为三个不同的平面，则下列说法正确的是
A. 若 m//n,n⊂α ,则 m//α B. 若 α⊥β,α∩β=l,m⊥l ,则 m⊥α
C. 若 α⊥β,l⊥β ,则 l//α D. 若 α⊥γ,β⊥γ,α∩β=l ,则 l⊥γ
6. 经过点 M6,3 且在两坐标轴上截距相等的直线是
A. x+y−9=0 B. x−y−3=0
C. x+y−9=0 或 x−2y=0 D. x−y−3=0 或 x−2y=0
7. 从 0,2,4 中任取 2 个数字,从 1,3,5 中任取 2 个数字,一共可以组成没有重复数字的四位数有
A. 216 个 B. 162 个 C. 108个 D. 180个
8. 方程 Ax+B=0A≠0 可以表示数轴上的点,平面直角坐标系 xOy 中,方程 Ax+By+C=0(A、B 不同时为 0 ) 可以表示平面内的直线,空间直角坐标系 O−xyz 中,方程 Ax+By+Cz+D=0(A、B、C 不同时为 0 )可以表示空间内的平面. 过点 Px0,y0,z0 且一个法向量为 n=a,b,c 的平面 α 的方程可表示为 ax−x0+by−y0+cz−z0=0 . 阅读上面材料,解决下面问题: 已知平面 α 的方程为 2x+y−z+3=0 , 直线 l 是两平面 x−y+2z−1=0 与 x+2y−z+2=0 的交线,则直线 l 与平面 α 所成角的正弦值为
A. 618 B. 69 C. 36 D. 23
二、多选题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要求. 全部 选对的得 6 分, 部分选对得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 下列说法中不正确的是
A. 平面内与一个定点 F 和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹是抛物线
B. 平面内与两个定点 F1−1,0 和 F21,0 的距离之和等于 2 的点的轨迹是椭圆
C. 平面内与两个定点 F1−1,0 和 F21,0 的距离之差等于 32 的点的轨迹是双曲线
D. 平面内与两个定点 F1−1,0 和 F21,0 的距离之比等于 2 的点的轨迹是圆
10. 下列结论正确的是
A. 若随机变量 X∼B10,35 ,则 EX=125
B. 离散型随机变量 X 服从两点分布,且 PX=1=7PX=0 ,则 PX=0=18
C. 随机变量 X∼N1,σ2 ,若 PX>0=34 ,则 P00 与双曲线 C2:x2m2−y2n2=1m>0,n>0 在第一象限的交点, ∠F1PF2=θ,C1,C2 共焦点, C1,C2 的离心率分别为 e1,e2 ,则下列结论正确的是

A. PF1=a+m,PF2=a−m B. 若 θ=90∘ ,则 e12+e22 的最小值为 2
C. 若 θ=60∘ ,则 1e12+1e22=43 D. tanθ2=nb
第 II 卷(非选择题共 92 分)
三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. x−16 展开式中 x3 的系数为_____.
13. 经过 M−1,0 ， N1,0 两点，且圆心 C 在直线 x+y−1=0 上，则圆 C 的方程为_____.
14. 赣南脐橙是江西赣南的特色农产品, 某学习小组结合赣南脐橙的等级区分设计了如下概率问题进行研究:甲、乙两个筐中各装有 5 个大小均匀的赣南脐橙，其中甲筐中有 3 个特级脐橙、 2 个一级脐橙，乙筐中有 4 个特级脐橙、 1 个一级脐橙. 掷一枚质地均匀的骰子, 如果点数小于等于 4 , 从甲筐中随机抽出1个脐橙；如果点数大于等于 5，从乙筐中随机抽出1个脐橙，则抽到的是特级脐橙的概率是_____.
四、解答题:本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. (本小题 13 分)
在 3x3−1xn 的展开式中,第 4 项为常数项.
(1)求 n 的值和该常数项的值；
(2)求展开式中所有项的系数之和.
16. (本小题 15 分)
已知离心率为 22 的椭圆 C:x2a2+y2b2=1a>b>0 的顶点所构成的四边形的面积为 82 ，过右焦点且斜率为 1 的直线交 C 于 M ， N 两点.
(1)求 C 的方程；
(2)求 MN .
17. (本小题 15 分)

如图, 四棱锥 P- ABCD 中,四边形 ABCD 是矩形, AD⊥ 平面 PAB , PA⊥PB,E 是 AD 的中点, M 是 PB 的中点.
(1)证明: EM// 平面 PCD ；
(2)若 PA=PB=BC=2 ，求平面 PCE 与平面 PBC 夹角的正弦值.
18. (本小题 17 分)
某学校举办数学知识竞赛，每位参赛者要答 3 道题，第一题分值为 40 分，第二、三题分值均为 20 分， 若答对, 则获得题目对应分值, 若答错, 则得 0 分, 参赛者累计得分不低于 60 分即可获奖. 已知甲答对第一、二、三题的概率分别为 23,13,13 ，乙答对第一、二、三题的概率均为 12 ，且甲、乙每次答对与否互不影响.
(1)求甲获奖的概率；
(2)求乙的累计得分 X 的分布列和期望；
(3)在甲、乙两人均获奖的条件下，求甲的累计得分比乙高的概率.
19. (本小题 17 分)
在平面直角坐标系 xOy 中,抛物线 C:y2=2pxp>0 上一点 M 的横坐标为 32 ,且点 M 到焦点 F 的距离为 2 .
(1)求抛物线的方程；
(2) P 是不在坐标轴上的一个动点，过 P 可作抛物线 C 的两条切线，两切点连线 l 与 PO 垂直. 设直线 l 与 PO , x 轴的交点分别为 G , H .
①证明: H 是一个定点；
②求 PGGH 的最小值.
赣州市2025~2026学年度第一学期期末考试 高二数学试卷参考答案
一、选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合 题目要求的.
8.【解析】因为平面 α 的方程为 2x+y−z+3=0 ,所以平面 α 的一个法向量为 n=2,1,−1 ,
由题意可得,平面 x−y+2z−1=0 的一个法向量为 n1=1,−1,2 ,
平面 x+2y−z+2=0 一个法向量为 n2=1,2,−1 ,
设直线 l 的方向向量为 v=x,y,z ,
因为直线 l 是两平面 x−y+2z−1=0 与 x+2y−z+2=0 的交线,所以 v⊥n1,v⊥n2 ,
则有 v⋅n1=x−y+2z=0,v⋅n2=x+2y−z=0,
取 x=1 ,则 y=−1,z=−1 ,故 v=1,−1,−1 ,
记直线 l 与平面 α 的夹角为 θ ,
∴sinθ=cs=23⋅6=23 . 故答案为D.
二、多选题:本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得 6 分，部分选对得部分分，有选错的得 0 分.
11.【解析】对于 A ,由题意可知, PF1+PF2=2a,PF1−PF2=2m ,
得 PF1=a+m,PF2=a−m ,故 A 正确;
对于 B ,若 θ=90∘ ,则 4c2=a+m2+a−m2 ,化简得 a2+m2=2c2 ,即 a2c2+m2c2=2 ,
∴e12+e22=c2a2+c2m2=12c2a2+c2m2a2c2+m2c2=122+a2m2+m2a2≥122+2a2m2⋅m2a2=2 ,
当且仅当 a2m2=m2a2 ,即 a=m 时,等号成立,
这与 a>m 矛盾,所以 e12+e22>2 ,故 B 错误;
对于 C,△PF1F2 中,若 θ=60∘ ,设椭圆和双曲线的半焦距为 c ,
根据余弦定理, 4c2=a+m2+a−m2−a+ma−m ,
整理为 4c2=a2+3m2 ,
∴1e12+1e22=a2c2+m2c2=43c2+23a2c2=43+2a23c2>43 ,故 C 错误;
对于 D ,在椭圆中,
2PF1PF2csθ=PF12+PF22−F1F22=PF1+PF22−2PF1PF2−F1F22 =4a2−4c2−2PF1PF2 ,
整理为 PF1PF2=2b21+csθ ,
在双曲线中,
2PF1PF2csθ=PF12+PF22−F1F22=PF1−PF22+2PF1PF2−F1F22 , =4m2−4c2+2PF1PF2 ,
整理为 PF1PF2=2n21−csθ ,
所以 2b21+csθ=2n21−csθ ,即 n2b2=1−csθ1+csθ=2sin2θ22cs2θ2=tan2θ2 ,
而 0