浙江省杭州学军中学2025-2026学年高一下学期周末练2数学含解析（word版）

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一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，每小题只有一个选项符合要求
1. 已知为虚数单位，若，则
A．B．2C．D．
【答案】B
【解析】，则.
2. 如下图，是线段的中点，设向量，，那么能够表示为
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由题意，.
3.如图，已知等腰三角形，是一个平面图形的直观图，斜边，则这个平面图形的面积是
A．B．1C．D．
【答案】D
【解析】在直观图中，，而，因此是等腰直角三角形，
利用斜二测画法的定义，画出原图形，
由等腰斜边，得，
因此，，
所以原平面图形的面积是 .
4.在四边形中，，且，则
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】因为，所以且，故四边形为平行四边形，
设都是单位向量，且，两边平方得，即，
所以，解得，故，
又均为单位向量，故，即，且平分，
故四边形为菱形，且，故为等边三角形，，
，两边平方得，
故.
5.在中，角的边分别为，知，，则下列判断中错误的是
A．若，则B．若该三角形有两解
C．周长的最小值为12D．面积的最大值
【答案】C
【解析】对于A，，，由正弦定理得，
所以，故A正确；
对于B，由正弦定理得得，所以，
因为，则有两个解，所以该三角形有两解，故B正确；
对于C，由，得
，
所以，当且仅当时取等号，此时三角形为等边三角形，周长最大，周长为12，故C错误；
对于D，由选项C知，，当且仅当时取等号，
故
所以面积的最大值为，故D正确.
6.在中，角、、所对的边分别为、、，若，为的角平分线，且，，则的值为
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】因为，由正弦定理可得，
所以，，
由余弦定理可得，因为，所以，，
因为，由可得，
即，解得，，
由余弦定理可得，
因此，.
7.记，设，为平面内的非零向量，则
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】对于A选项：考虑，根据向量加法减法法则几何意义知： ，所以A错误；
B选项：根据平面向量数量积可知：不能保证恒成立，
，
所以它们的较小者一定小于等于，所以B错误D正确；
C选项：考虑 ，所以C错误.
8.如图，这是古希腊数学家特埃特图斯用来构造无理数的图形，已知是平面四边形内一点，则的取值范围是
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】如图，延长，过点做交的延长线于点.
因为，，,所以.
由图可知当在点处时，在上的投影有最大值1，
当在点处时，在上的投影有最小值，
又因为，所以的取值范围是.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9.已知是虚数单位，，复数是共轭复数，则下列结论正确的是
A．B．C．D．
【答案】ABD
【解析】因为，复数是共轭复数,
所以，所以，故A正确；
，故B正确；
因为虚数不能比较大小，故C错误；
，故D正确.
10.设点是所在平面内一点，则下列说法正确的是
A．若，则点是边的中点
B．若，则点在边的延长线上
C．若，则点是的重心
D．若，且，则的面积是的面积的
【答案】ACD
【解析】A中：,即：
,则点是边的中点
B. ,则点在边的延长线上，所以B错误.
C.
设中点D,则,，由重心性质可知C成立.
D．且设
所以，可知三点共线，所以的面积是面积的.
11.在中，给出下列四个命题，其中正确的命题是
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
【答案】AB
【解析】对于A：在中，，
所以若A＜B，则sinA＜sinB正确；
若sinA＜sinB，则A＜B，所以B正确；
对于C：
当时，0＜2A≤π，0＜2B≤π，0≤，
sin2A＞0，sin2B＞0，cs（B−A）＞0
∴则；
当 时（A和B不可能同时在第二象限），
π＜2A＜2π，0＜2B≤π，∴sin2A＜0，sin2B＞0
当0≤A−B≤时，cs（B−A）＞0，
∴则，
当 时，cs（B−A）＜0，
；故C错误；
对于D：
，
故D错误.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分
12.如图是一个正四棱台，已知正四棱台的上、下底面的边长分别为2和6，体积为，则侧面积为________.
【答案】
【解析】设该正四棱台的高、斜高分别为h，，由已知得，
所以，，
所以正四棱台侧面积为 .
13.已知单位向量，，若对任意实数，恒成立，则向量，的夹角的取值范围为_______.
【答案】
【解析】，是单位向量，由得：，
依题意，不等式对任意实数恒成立，
则，解得，
而，则，
又，函数在上单调递减，
因此，
所以向量，的夹角的取值范围为 .
14.在中，角，，的对边分别为，，，且，，若当，变化时，存在最大值，则正数的取值范围是________.
【答案】
【解析】由正弦定理可得：,
,且
为满足存在最大值
，
令，则
，当存在最大值时，
即，解得，
综上可得 .
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
15.已知是复数，与均为实数.
（1）求复数；
（2）复数在复平面上对应的点在第一象限，求实数的取值范围 .
【解析】（1）设,则，
，
因为与都是实数，所以，解得，所以；
（2）由（1）知，所以，
因为在复平面上对应的点在第一象限，所以，
解得：，即实的取值范围是 .
16.如图，长方体的体积是为的中点，平面将长方体分成三棱锥和多面体两部分，其中．
（1）求三棱锥的体积；
（2）求多面体的表面积.
【解析】（1）长方体的体积是为的中点，，
，则，
在长方体中，侧棱和底面垂直，平面；
．
（2），
，
多面体的表面积为
.
17.在中，为三个内角为三条边，且
（1）判断的形状；
（2）若，求的取值范围.
【解析】
（1）由正弦定理有：，故，即，因为，故，所以或.
若，且，∴，不成立；故，又，故，∴是等腰三角形．
（2）由两边平方得，由（1），所以，即，又，因为，所以，即，所以，化简可得，所以，故 .
18.如图，已知，，，圆A是以A为圆心半径为2的圆，圆B是以B为圆心、半径为1的圆，设点E，F分别为圆A，圆B上的动点，∥（且和同向），设.
（1）当，且时，求的值；
（2）用，表示出，当，的值为多少时，取最小值并求出最小值.
【解析】（1）如图，以点A为原点，AB所在直线为x轴，与AB垂直的直线为y轴，建立平面直角坐标系.
则A（0，0)，则，
所以
（2）由题意及（1）可知A（0，0)
，
所以
所以
因为，所以
所以 ，
因为，
所以
所以，时的最小值为 .
19.在中，，为的中点，.
（1）若，求的长；
（2）若，求的长.
【解析】（1）如图，在中，，，，
根据余弦定理，得，
又在中，，，，
根据余弦定理，得，
解得；
（2）如图，延长，使，则为等腰三角形，，
，
又，所以，所以，
所以，则，即，
所以，则，
又，，
所以，
，
所以，
所以，即，解得或（舍） .