2025-2026学年下学期杭州学军中学高二数学3月周末练 含答案

这是一份2025-2026学年下学期杭州学军中学高二数学3月周末练 含答案，共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1. 设函数 fx=ex+2sinx1+x2 ，则曲线 y=fx 在点 0,1 处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为( )

A. 16 B. 13 C. 12 D. 23
2. fx 的图象如图所示，则 fx 的解析式可能是( ).
A. fx=lnxx2 B. fx=xex C. fx=x2lnx D. fx=xln1x
3. 已知函数 fx=lnx,x1、x2 为不相等的两个实数，则 “ fx1=fx2 ” 是 “ f′x1f′x2=−1 ” 的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
4. 甲、乙、丙 3 人去食堂用餐，每个人从 A,B,C,D,E 这 5 种菜中任意选用 2 种，则 A 菜有 2 人选用、 B 菜有 1 人选用的情形共有( )
A. 54 B. 81 C. 135 D. 162
5. 已知数列 an 满足 a1=1,a2=2,an+1=an⋅an−12n≥2 ,记 bn=lg2anan+1,Sn 为数列 bn 的前 n 项和,则 S8= ( )
A. 63 B. 127 C. 255 D. 256
6. 将1,2,3,4,5,6,7,8填入如图所示的方格中,每个方格填写 1 个数字,则仅有两列数字之和为 9 的填法有( )

A. 576 种 B. 1152 种 C. 2304 种 D. 4608 种
7. 已知函数 fx=x+ex,gx=x+lnx ,若 fx1=gx2=tt>0 ,则 x1+x2−lnt 的取值范围为 ( )
A. (−∞,1] B. −∞,e C. 1,+∞ D. [e,+∞)
8. 已知双曲线: x2a2−y2b2=1a>0,b>0 ,过 M−2a,0 的直线分别交双曲线左右两支为 A,B,A 关于原点 O 的对称点为 C ,若 2∠BMO+∠MBC=π2 ，则双曲线的离心率 e= ()
A. 2 B. 3 C. 22 D. 23
二、多选题
9. 已知直线 l:mx+y−2=0 和圆 O:x2+y2=1 ，下列说法正确的有( )
A. 直线 l 过定点 0,2
B. 圆 O 上存在两个点关于 l 对称
C. 圆心 O到l的最大距离为2
D. 圆 O 上至少存在三个点到 l 的距离相等
10. 设函数 fx=x−12x−4 ,则( )
A. x=3 是 fx 的极小值点
B. 当 00 ,则 x1+x2−lnt 的取值范围为 ( )
A. (−∞,1] B. (−∞,e] C. [1,+∞) D. [e,+∞)
【答案】C
由 fx=x+ex ,得 f′x=1+ex>0 ,所以 fx 在 R 上单调递增,
由 gx=x+lnx ,得 x>0 ,且 g′x=1+1x>0 ,所以 gx 在 0,+∞ 上单调递增
因此,对任意 t>0,x1 和 x2 都是唯一的,
由题意: fx1=x1+ex1=t ,
gx2=x2+lnx2=t ,即 lnx2=t−x2 ,则 x2=et−x2 ,
故 t=x2+t−x2=et−x2+t−x2 ,
故 t=et−x2+t−x2=ft−x2 ,根据 fx1=x1+ex1=t 的 x1 是唯一的,
得 t−x2=x1 ,即 x1+x2=t ,
故 x1+x2−lnt=t−lnt,t>0
令 ht=t−lnt,t>0 ,则 h′t=1−1t=t−1t ,
由 h′t=0 得 t=1 ,
当 00,b>0 ,过 M−2a,0 的直线分别交双曲线左右两支为 A,B,A 关于原点 O 的对称点为 C ,若 2∠BMO+∠MBC=π2 ,则双曲线的离心率 e= ( )
A. 2 B. 3 C. 22 D. 23
【答案】A
设 Ax1,y1,Bx2,y2 ,则 C−x1,−y1 ,
记 BC 与 x 轴的交点为 P ,
因为 2∠BMO+∠MBC=π2 ,所以 ∠BPx+∠BMO=π2 ,
所以 tan∠BPx⋅tan∠BMO=1 ,即 kBC⋅kBA=y2+y1x2+x1⋅y2−y1x2−x1=y22−y12x22−x12=1 ,

因为 A,B 都在双曲线 x2a2−y2b2=1 上,
所以 x12a2−y12b2=1x22a2−y22b2=1 ,
两式相减得 x22−x12a2=y22−y12b2 ,
所以 y22−y12x22−x12=b2a2 ,
所以 b2a2=c2−a2a2=c2a2−1=e2−1=1 ,
所以 e=2 .
故选: A.
二、多选题
9. 已知直线 l:mx+y−2=0 和圆 O:x2+y2=1 ，下列说法正确的有( )
A. 直线 l 过定点 0,2
B. 圆 O 上存在两个点关于 l 对称
C. 圆心 O 到 l 的最大距离为 2
D. 圆 O 上至少存在三个点到 l 的距离相等
【答案】AC
10. 设函数 fx=x−12x−4 ,则( )
A. x=3 是 fx 的极小值点 B. 当 00,k⋅s2−12as>0,s2−1>0,2as>0 ,故 k>0
由 lnt=k⋅s2−12as ,得 t=ek⋅s2−12as ,
令 hs=k⋅s2−12ass>1 ,求导 h′s=k2a⋅s2+1s2
因为 k>0,a≥1 ,所以 h′s>0 ,即 hs 在 1,+∞ 上单调递增;
当 s→1+ 时, hs→0 ,故 t→e0=1 (但 t>1 ,故 s 不能等于 1 )
当 s 增大时, hs 增大, t=ehs 也增大,结合 t>1,hs 的单调性,可知 hs>0
(因为 s>1 时, s2−1>0,k>0 ),故 t=ehs>e0=1
由 lnt=k⋅s2−12as ,因为 s>1,k>0,a≥1 ,所以 lnt>0 ,即 t>1 ,
再结合 fs=gt 和 f1s=g1t 的对称性,以及 t>1 ,推得 s>t