湖南省怀化市2026年高三高考一模数学试卷含答案

这是一份湖南省怀化市2026年高三高考一模数学试卷含答案，共15页。试卷主要包含了 已知圆 C1， 下列说法正确的是等内容，欢迎下载使用。
1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。
2. 回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动, 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3. 考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题(本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的)
1. 已知复数 z 满足 1+iz=2+i ，则 z 在复平面内对应的点所在象限为
A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限 D. 第四象限
2. 全集 U={1,2,3,4),2∈B ,且 B⊆U ,则满足条件的集合 B 的个数为
A. 8 B. 7 C. 4 D. 2
3. 在平行四边形 ABCD 中, AE=13AD,BE 与 AC 交于点 R ,若 AR=mAC ,则 m 的值为
A. 12 B. 13 C. 14 D. 15
4. 已知圆 C1:x−12+y2=1 与圆 C2:x+22+y−42=a2a>0 相切,则 a=
A. 4 B. 6
C. 4 或 6 D. 16 或 36
5. 已知定义在 R 上的函数 fx 满足 fx+2+fx=4 ,且 f0=0 ,则 f2026=
A. 0 B. 2 C. 3 D. 4
6. 在 △ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,asinC+b=2bcs2A2+acsB ,则 △ABC 一定为
A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 等腰直角三角形 D. 钝角三角形
7. 设 O 为坐标原点， F1 ， F2 是 x2a2−y2b2=1 ( a>0 ， b>0 )的左、右焦点，若在双曲线上存在点 P ，满足三角形 F1PF2 的面积为 3b2,OP=5a ,则该双曲线的离心率为
A. 21 B. 213 C. 5 D. 3
8. 在平面直角坐标系中,曲线 y=4−x2 绕着 y 轴旋转一周得到一个旋转体 Ω ，在 Ω 中放入 4 个半径为 r 的小球,四个小球均与旋转体 Ω 的表面以及开口平面相切,则小球半径 r 的最大值为
A. 3 B. 3−1 C. 2 D. 2−1
二、选择题(本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要求. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分)
9. 下列说法正确的是
A. 数据1,2,2,2,3,3,3,4,5的众数是 2
B. 数据 −3,−1,3,7,8,9,11,15 的第 25 百分位数是 1
C. 若随机变量 ξ∼B4,14 ，则 E3ξ−2=1
D. 根据分类变量 X 与 Y 的成对样本数据，计算得到 χ2=9.850 . 依据 α=0.01 的独立性检验 x0.01=6.635 ,可判断变量 X 与 Y 不独立
10. 已知数列 an 的首项 a1=3 ,且满足 n+1an−nan+1=1an⋅an+1 ,下列说法正确的有
A. a2=2
B. 数列 nan 为等差数列
C. 数列 an−1an+1−1 的前 n 项和大于 4
D. an⋅an+1 为单调递减数列
11. 已知椭圆 E:x2a2+y2b2=1a>b>0 的右焦点为 F1,0 ,过点 F 的直线与 E 交于 A,B 两点,当 A 为 E 的上顶点时, AF=3 . 过点 A 作直线 l:x=9 的垂线,垂足为 M ,直线 MB 与 x 轴交于点 N ,直线 NA 的斜率为 k1 ,直线 NB 的斜率为 k2 ,则下列说法正确的是
A. 椭圆 E 的短轴长为 42
B. 三角形 AFN 的面积的最大值为 42
C. 四边形 AOBN 的面积的最大值为 152
D. 设 AB 的中点的横坐标为 s ，则 k1k2s 为定值
三、填空题(本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分)
12. 已知函数 fx=2sinωx+4csωx 的两个相邻零点间的距离为 π2 ，则 fπ3= _____.
13. 已知 b>0 ，且 3a⋅9b=3 ，则 b+12b+ba+3b 的最小值为_____.
14. 如图，要用 2n 个元件组成一个电路系统，当且仅当从 A 到 B 的电路为通路状态时，系统正常工作. 已知每个元件正常工作的概率为 34 ，在电路系统正常工作的条件下，记此时系统中损坏的元件个数为 Xn ，则 EX4= _____.

四、解答题(本题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15.(本小题满分 13 分)
已知等差数列 an 的前 n 项和为 Sn ，且 a2+a3=0 ， 5a2+a4+2=0 .
(1)求数列 an 的前 n 项和 Sn ；
(2)记 bn=2an ，数列 bn 的前 n 项积为 Tn ，求 Tn+Sn 的最小值.
16. (本小题满分 15 分)
我国新能源汽车迅速崛起，成为推动绿色革命的核心引擎. 某品牌新能源汽车公司为了抢占更多的市场份额，计划加大广告投入. 该公司近 5 年的年广告费 xi (单位:百万元)和年销售量 yi (单位: 百万辆) 关系如图所示:

令 vi=lnxii=1,2,⋯,5 ,数据经过初步处理得: i=15yi=44,i=15vi≈4.8,i=15xi−x2=10 , i=15yi−y2=40.3,i=15vi−v2≈1.612,i=15xi−xyi−y=17.085,i=15yi−yvi−v≈ 7.657. 现有 ①y=bx+a 和 ②y=nlnx+m 两种模型作为年销售量 y 关于年广告费 x 的回归分析模型,其中 a,b,m,n 均为常数.
(1)请从样本相关系数的角度，分析哪一个模型拟合程度更好？
(2)为刺激消费， A 省出台了以下补贴政策:每购买一辆新能源汽车，补贴 6000 元. 若甲、乙两人近期在 A 省购买一辆该新能源汽车的概率分别为 p2,3p−1 ，其中 132 .
18.(本小题满分 17 分)
如图,四棱锥 P−ABCD 的底面 ABCD 是平行四边形,侧面 PAD 是等边三角形, AB=2AD=4,AD⊥BD ,二面角 P−AD−B 的平面角大小为 θ,θ∈π6,2π3,Q 为 AB 的中点.
(1)设平面 QPC∩ 平面 PAD=l ，求直线 l 与直线 AD 的夹角大小；
(2)求直线 PC 与平面 PAD 所成角的正弦值的最大值；
(3)设 N 为侧棱 PC 上一点，四边形 AENF 是过 A ， N 两点的截面，分别交 PD ， PB 于 E ， F 两点,其中 E 为 PD 的中点, BD// 平面 AENF ,求四棱锥 P−AENF 的体积的取值范围.

19. (本小题满分 17 分)
设函数 fx=x3−ax−b,x∈R,a,b∈R .
(1)讨论函数 fx 的单调区间;
(2)当 a=2 ， b=0 时，函数 fx 的图象上有且仅有 2 个点到原点距离为 d ，求 d 的取值范围；
(3)函数 fx 的图象上是否存在唯一的一组点 A1,A2,⋯,An ，构成正 n 多边形， n∈N∗ 且 n≥3 ? 若存在,请求出所有满足条件的 n 以及对应 a 的值; 若不存在,请说明理由.
高三数学参考答案
一、选择题(本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个项中，只有一项是符合题目要求的)
1. D 因为 1+iz=2+i ，所以 z=2+i1+i=2+i1−i1+i1−i=3−i2 ，在复平面内对应的点为 32,−12 ，位于第四象限，故选 D.
2. A 因为 {1,3,4} 的子集有 8 个，故选 A.
3. C AE=mAC=mAB+AD=mAB+3AE=mAB+3mAE ，因为 R,B,E 三点共线，所以 m+3m =1 ,即 m=14 ,故选 C.
4. C 若圆 C1 与圆 C2 相外切,则 a+1=C1C2=1+22+0−42=5 ,所以 a=4 ; 若圆 C1 与圆 C2 相内切,则 a−1=C1C2=1+22+0−42=5 ,因为 a>0 ,所以 a=6 , 综上, a=4 或 6,故选 C.
5. D 因为 fx+2+fx=4 ,所以 fx+4+fx+2=4 ,
两式相减得 fx+4=fx ,故 fx 的一个周期为 4,
fx+2+fx=4 中,令 x=0 得 f2+f0=4 ,又 f0=0 ,故 f2=4 ,
所以 f2026=f506×4+2=f2=4 ,故选 D.
6. A 由 asinC+b=2bcs2A2+acsB 化简可得 asinC=bcsA+acsB ,所以 sinAsinC= sinBcsA+sinAcsB ,即 sinAsinC=sinA+B=sinC ,因为 sinC≠0 ,所以 sinA=1 ,即 A=π2 ,所以 △ABC 一定为直角三角形,故选 A.
7. B 解法一: 不妨设点 P 在双曲线的左支上, PF1=r ,则 PF2=2a+x ,
因为 ∠POF1+∠POF2=π ,所以 cs∠POF1+cs∠POF2=0 ,
所以 c2+5a2−x22c⋅5a+c2+5a2−2a+x22c⋅5a=0 ,

化简得 x2+2a+x2=2c2+5a2 ,整理得 xx+2a=c2+3a2 ,
设 ∠F1PF2=2θ ,
因为 PF2−PF1=2a,PF12+PF22−2PF1PF2cs2θ=4c2 ,
所以 PF1PF2=b2sin2θ ,
所以三角形 F1PF2 的面积 S=12PF1PF2sin2θ=b2tanθ=3b2 ,
所以 tanθ=33,∠F1PF2=60∘ ,
由余弦定理得 x2+2a+x2−2xx+2acs60∘=4c2 ,整理得 xx+2a=4c2−4a2 ,
所以 c2+3a2=4c2−4a2 ,化简得 3c2=7a2 ,
所以 e=ca=213 . 故选 B.
解法二: 设 Px0,y0,F1−c,0,F2c,0 ,
则由 S△PF1F2=12F1F2⋅y0=c⋅y0=3b2 ,得 y0=3b2c .
又 x02a2−y02b2=1 ,则 x02=a2+a2b2⋅y02=a2+a2b2⋅3b4c2=a2+3a2b2c2 ,
又 OP=5a ,则 OP2=x02+y02=a2+3a2b2c2+3b4c2=a2+3b2a2+b2c2=a2+3c2−a2=5a2 , 即 3c2=7a2,e2=c2a2=73,e=73=213 . 故选 B.
8. B 如图所示,两球的对角球心距 AB=2r2+2r2=22r ,所以 OA=3r ,所以 3r+r=2 ,解得 r=3−1 ,故选 B.

二、选择题(本题共 3 小题,每小题 6 分,共 18 分. 在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求. 全部选对的得 5 分, 部分选对的得 2 分, 有选错的得 0 分)
9. BCD 对于 A ,数据1,2,2,2,3,3,3,4,5中 2 和 3 各出现了三次,所以该组数据的众数是 2 和 3,故 A 错误; 对于 B,8 个数从小到大排列,因为 8×0.25=2 ,所以取第 2 个数与第 3 个数的平均数,得 −1+32=1 ,故 B 正确; 对于 C ,因 ξ∼B4,14 ,则 Eξ=4×14=1 ,故 E3ξ−2=3Eξ−2=1 ,故 C 正确; 对于 D ,因为 χ2= 9.850>6.635 ,所以变量 X 与 Y 不独立,故 D 正确. 故选 BCD.
10. ABD 计算可得 a2=2 ,故 A 正确；
由 n+1an−nan+1=1an⋅an+1 可得 n+1an+1−nan=1 ,则数列 nan 是以 3 为首项,1 为公差的等差数列,即 nan =3+n−1×1=n+2 ,即 an=n+2n ,故 B 正确;
an−1an+1−1=2n⋅2n+1=41n−1n+1 ,则数列 an−1an+1−1 的前 n 项和为 41−1n+10 时，令 f′x=3x2−a=0 ，解得 x=−3a3 或 x=3a3 ，
当 x>3a3 或 x0,fx 单调递增,
当 −3a3