江西省吉安市八中2024-2025学年八年级下学期月考 数学试题

这是一份江西省吉安市八中2024-2025学年八年级下学期月考 数学试题，共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.下列各式中，是一元一次不等式的有（ ）
①x＜5；②x（x-5）＜5；③；④2x+y＜5+y；⑤a-2＜5，⑥.
A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个
2.若a＜b，则下列不等式正确的是（ ）
A. a-2＞b-2B. a-b＞0C. D. -2a＞-2b
3.用反证法证明命题“一个三角形中至少有一个内角是锐角”时，应先假设（ ）
A. 三个内角都是锐角B. 三个内角都是钝角
C. 三个内角都不是锐角D. 三个内角都不是钝角
4.小明要从天府广场到武侯祠，两地相距2.5千米，已知他步行的平均速度为70米/分钟，跑步的平均速度为200米/分钟，若他要在不超过40分钟的时间内到达，那么他至少需要跑步多少分钟？设他跑步的时间为x分钟，则列出的不等式为（ ）
A. 200x+70（40-x）≥2500B. 200x+70（40-x）≤2500
C. 200x+70（40-x）≥2.5D. 200x+70（40-x）≤2.5
5.2023年10月17日至18日，第三届“一带一路”国际合作高峰论坛在北京举行，中国与150多个国家、30多个国际组织签署了230多份合约，携手实现经济共同发展.北京、莫斯科、雅典三地之间想建立一个货物中转仓，使其到三地的距离相等，如图所示，则中转仓的位置应选在（ ）
A. 三边垂直平分线的交点B. 三边中线的交点
C. 三条角平分线的交点D. 三边上高的交点
6.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4，D为BC的中点，DE⊥AB，垂足为E，过点B作BF∥AC交DE的延长线于点F，连接CF，AF．现有如下结论：①AD平分∠CAB；②BF=2；③AD⊥CF；④AF=2；⑤∠CAF=∠CFB．其中正确的结论有（ ）
A. 5个B. 4个C. 3个D. 2个
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
7.如图，数轴上所表示的关于x的不等式的解集为______．
8.如图，△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，∠A=30°，BD=3，则AB的长是______ .
9.已知关于x的方程3k-5x=-9的解是非负数，则k的最小值为______．
10.已知关于x的不等式组有解，则所有满足条件的正整数m的和为______.
11.如图，一次函数y1=ax+3（a≠0）与y2=kx-1（k≠0）的图象交于点（1，2），则关于x的不等式ax+3＜kx-1的解集是______.
12.在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=2，BC=2，D为AC中点，E为边AB上一动点，当构成的四边形BCDE有一组邻边相等时，则AE的长可以是______.
三、解答题：本题共11小题，共84分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
13.(本小题6分)
解不等式（组），并将解集在数轴上表示出来.
（1）；
（2）.
14.(本小题6分)
如图，在△ABE与△CBD中，AE⊥BD于点E，CD⊥BD于点D，AB=BC，BE=CD.证明：Rt△ABE≌Rt△BCD.
15.(本小题6分)
图1、图2、图3均是4×4的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、C均为格点.只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中找一格点N，按下列要求作图.

（1）在图1中，连结NA、NB，使NA=NB.
（2）在图2中，连结NA、NB、NC，使NA=NB=NC.
（3）在图3中，连结NA、NC，使∠ABC=2∠ANC.
16.(本小题6分)
已知关于x的方程2x-a=3．
（1）若该方程的解满足x＞1，求a的取值范围；
（2）若该方程的解是不等式3（x-2）+5＜4（x-1）的最小整数解，求a的值．
17.(本小题6分)
如图，在平面直角坐标系上，点P的坐标为（0，a）（a＞0），点Q的坐标为（-2，0），点R的坐标为（4，0）.
（1）求PR2-PQ2的值；
（2）当△PQR为直角三角形时，求直线PQ的表达式.
18.(本小题8分)
如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠C=30°，AD⊥BC于D，BF平分∠ABC，交AD于E，交AC于F．
（1）求证：△AEF是等边三角形；
（2）求证：BE=EF．
19.(本小题8分)
某学校组织学生到郊外参加义务植树活动，并准备了A，B两种食品作为午餐.这两种食品每包质量均为50g,其营养成分表如下：

（1）若每份午餐需要恰好摄入4600kJ热量和70g蛋白质，应选用A，B两种食品各多少包？
（2）考虑到健康饮食的需求，若每份午餐需选用这两种食品共7包，并保证每份午餐中的蛋白质含量不低于90g,且脂肪含量要尽可能低.请通过计算，求出符合要求且脂肪含量最低的配餐方案.
20.(本小题8分)
如图，在△ABC中，∠C=90°，点P在AC上运动，点D在AB上，PD始终保持与PA相等，BD的垂直平分线交BC于点E，交BD于点F，连接DE．
（1）判断DE与DP的位置关系，并说明理由；
（2）若AC=6，BC=8，PA=2，求线段DE的长．
21.(本小题9分)
如图，P是等边三角形ABC内一点，∠BPC=90°，以PC为边在PC的左侧作等边三角形CPQ，连接AQ.
（1）根据题意补全图形；
（2）求∠AQC的度数；
（3）延长QP交AB于点D，判断D是否为线段AB的中点，并说明理由.
22.(本小题9分)
阅读理解：
【形成概念】我们把关于x的一个一元一次方程和一个一元一次不等式组合成一种特殊组合，且当一元一次方程的解正好也是一元一次不等式的解时，我们把这种组合叫做“有缘组合”；当一元一次方程的解不是一元一次不等式的解时，我们把这种组合叫做“无缘组合”
【初步感知】
（1）请判断下列组合是“有缘组合”还是“无缘组合”，并说明理由；
（Ⅰ）；
（Ⅱ）.
【问题解决】
（2）若关于x的组合是“无缘组合”，求a的取值范围.
23.(本小题12分)
正方形ABCD中，点E、F在BC、CD上，且BE=CF，AE与BF交于点G.

（1）如图1，求证△ABE≌△BCF；
（2）如图2，在GF上截取GM=GB，∠MAD的平分线交CD于点H，交BF于点N，连接CN，求证：①△AGN是等腰直角三角形；②.
1.【答案】B
2.【答案】D
3.【答案】C
4.【答案】A
5.【答案】A
6.【答案】B
7.【答案】x≤3
8.【答案】12
9.【答案】-3
10.【答案】6
11.【答案】x＞1
12.【答案】2或3或
13.【答案】解：（1），
2（2x-1）-3（5x+1）＞6，
4x-2-15x-3＞6，
-11x＞11，
x＜-1，
将解集表示在数轴上．如图所示：

（2），
解不等式①得：x≥7，
解不等式②得：x＜2，
将解集表示在数轴上，如图所示：

∴不等式组无解．
14.【答案】证明：∵AE⊥BD，CD⊥BD，
∴∠AEB=∠BDC=90°，
在Rt△ABE和Rt△BCD中，
，
∴Rt△ABE≌Rt△BCD（HL）．
15.【答案】解：（1）如图1，格点N即为所作．（画出其中一个即可）

（2）由网格可知，AC2=BC2=10，AB2=22+42=20，
∴AC2+BC2=AB2，
∴△ABC是等腰直角三角形，
则AB的中点所在的格点即为所求的格点N，如图2所示：

（3）如图3，格点N即为所作．
理由：∵，
∴点A，C，N在⊙B上，
由圆周角定理得：∠ABC=2∠ANC．

16.【答案】解：（1）解方程2x-a=3，得x=，
∵该方程的解满足x＞1，
∴＞1，
解得a＞-1；
（2）解不等式3（x-2）+5＜4（x-1），
去括号，得：3x-6+5＜4x-4，
移项，得3x-4x＜-4+6-5，
合并同类项，得-x＜-3，
系数化成1得：x＞3．
则最小的整数解是4．
把x=4代入2x-a=3得：8-a=3，
解得：a=5．
17.【答案】解：（1）∵点P（0，a）（a＞0），点Q（-2，0），点R（4，0），
∴点P在y轴的正半轴上，OP=a,OQ=2，OR=4，
∴QR=OQ+OR=6，
在Rt△OPQ中，由勾股定理得：PQ2=OP2+OQ2=a2+4，
在Rt△OPR中，由勾股定理得：PR2=OP2+OR2=a2+16，
∴PR2-PQ2=a2+16-（a2+4）=12；
（2）∵点P在y轴的正半轴上，
∴∠PQR＜90°，∠PRQ＜90°，
∴当△PQR为直角三角形时，只有∠QPR=90°，
在Rt△PQR中，由勾股定理得：QR2=PQ2+PR2，
由（1）可知：QR=6，PQ2=a2+4，PR2=a2+16，
∴62=a2+4+a2+16，
解得：a=，a=（不合题意，舍去），
∴点P，
设直线PQ的表达式为：y=kx+b,
将点P，点Q（-2，0）代入y=kx+b,
得：，
解得：，
∴直线PQ的表达式为：．
18.【答案】证明：（1）∵∠BAC=90°，∠C=30°，
∴∠ABC=60°，
∵BF平分∠ABC，
∴∠ABF=∠CBF=30°，
∵AD⊥BC，
∴∠ADB=90°，
∴∠AEF=∠BED=90°-∠CBF=60°，
∵∠AFB=90°-∠ABF=30°，
∴∠AFE=∠AEF=60°，
∴△AEF是等边三角形；
（2）∵∠ADB=90°，∠ABC=60°，
∴∠BAE=∠ABF=30°，
∴AE=BE，
由（1）知△AEF是等边三角形，
∴AE=EF，
∴BE=EF．
19.【答案】解：（1）设选用A种食品x包，B种食品y包，
由题意得：，
解得：，
答：应选用A种食品4包，B种食品2包；
（2）设选用A种食品m包，则选用B种食品（7-m）包，
由题意得：10m+15（7-m）≥90，
解得：m≤3，
设每份午餐的总脂肪含量为w g,
由题意得：w=5.3m+18.2（7-m），
即w=-12.9m+127.4，
∵-12.9＜0，
∴w随m的增大而减小，
∴当m=3时，w取得最小值，
此时7-m=7-3=4，
答：符合要求且脂肪含量最低的配餐方案为选用A种食品3包，B种食品4包．
20.【答案】解：（1）DE⊥DP，
理由如下：∵PD=PA，
∴∠A=∠PDA，
∵EF是BD的垂直平分线，
∴EB=ED，
∴∠B=∠EDB，
∵∠C=90°，
∴∠A+∠B=90°，
∴∠PDA+∠EDB=90°，
∴∠PDE=180°-90°=90°，
∴DE⊥DP；
（2）连接PE，设DE=x，则EB=ED=x，CE=8-x，
∵∠C=∠PDE=90°，
∴PC2+CE2=PE2=PD2+DE2，
∴42+（8-x）2=22+x2，
解得：x=4.75，
则DE=4.75．
21.【答案】解：（1）图形如图所示；
（2）∵△PCQ，△ABC都是等边三角形，
∴CQ=CP，CA=CB，∠QCP=∠ACB=60°，
∴∠QCP-∠ACP=∠ACB​​​​​​​-∠ACP
∴∠ACQ=∠BCP，
∴△ACQ≌△BCP（SAS），
∴∠AQC=∠BPC=90°；
（3）结论：点P是AB的中点．
理由：如图，延长BP交AQ于点K，作BT∥AQ交QD的延长线于点T．
∵△PCQ是等边三角形，
∴∠CQP=∠CPQ=60°，
∵∠AQC=∠BPC=90°，
∴∠AQP=∠AQC-∠CQP=90°-60°=30°，∠BPT=180°-∠BPC-∠CPQ=180°-90°-60°=30°，
∵AQ∥BT，
∴∠T=∠AQP=30°，
∴∠BPT=∠T=30°，
∴BP=BT，
∵△ACQ≌△BCP，
∴AQ=BP=BT，
∵∠ADQ=∠BDT，∠AQD=∠T，
∴△ADQ≌△BDT（AAS），
∴AD=DB，
∴点D是AB的中点．
22.【答案】解：（1）（Ⅰ）∵2x-4=0，
∴x=2，
∵5x-2＜3，
∴x＜1，
∵2不在x＜1范围内，
∴（Ⅰ）组合是“无缘组合”；
（Ⅱ），
去分母，得：2（x-5）=12-3（3-x），
去括号，得：2x-10=12-9+3x,
移项，合并同类项，得：x=-13．
解不等式，
去分母，得：2（x+3）-4＜3-x,
去括号，得：2x+6-4＜3-x,
移项，合并同类项，得：3x＜1，
化系数为1，得：．
∵-13在范围内，
∴（Ⅱ）组合是“有缘组合”；
（2）解方程，
去分母，得5a-x-6=4x-6a,
移项，合并同类项，得：5x=11a-6，
化系数为1得：，
解不等式，
去分母，得：x-a+2≤2x+2a,
移项，合并同类项，得：x≥-3a+2，
∵关于x的组合是“无缘组合，
∴，
解得：．
23.【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，

∴AB=BC，∠ABC=∠BCD=90°
∵BE=CF，
∴△ABE≌△BCF（SAS）；
（2）证明：①∵△ABE≌△BCF，
∴∠BAE=∠CBF，
∵∠ABF+∠CBF=90°，
∴∠ABF+∠BAE=90°，
∴∠AGF=∠ABF+∠BAE=90°，
∴AE⊥BF，

∴∠AGB=∠AGM=90°，
∵AG=AG，GB=GM，
∴△AGB≌△AGM（SAS），
∴∠BAG=∠MAG，
∵AN平分∠DAM，
∴∠DAN=∠MAN，
∵∠BAG+∠MAG+∠MAN+∠DAN=90°，
∴2∠MAG+2∠MAN=90°，
∴∠MAG+∠MAN=45°，
即：∠GAN=45°，
∴∠ANG=180°-90°-45°=45°，
∴∠GAN=∠ANG，
∴AG=NG，
∴△AGN是等腰直角三角形；
②如图所示，过点B作BH⊥BN，交AN于点H，
∵∠HBN=90°，∠GNA=45°，
∴∠H=45°，
∴∠H=∠GAN，
∴BH=BN，
∴△HBN是等腰直角三角形，

∴，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠ABC=∠HBN=90°，
∵∠HBA+∠ABH=90°，∠CBN+∠ABN=90°，
∴∠HBA=∠CBN，
在△BAH和△BCN中，
，
∴△BAH≌△BCN（SAS），
∴AH=CN，
∴HN=AH+AN=CN+AN，
∴．