广东省揭阳市2024届高三下学期4月二模考试 数学 含解析

这是一份广东省揭阳市2024届高三下学期4月二模考试 数学 含解析，共10页。试卷主要包含了回答选择题时，选出每小题答案后，本试卷主要考试内容等内容，欢迎下载使用。
1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后.用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
4.本试卷主要考试内容：高考全部内容.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知复数在复平面内对应的点为，且，则（ ）
A.B.
C.D.
2.已知函数在上不单调，则的取值范围为（ ）
A.B.
C.D.
3.已知椭圆的长轴长是短轴长的倍，则该椭圆的离心率为（ ）
A.B.C.D.
4.把函数的图象向左平移个最小正周期后，所得图象对应的函数为（ ）
A.B.
C.D.
5.已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，且，，下列命题为真命题的是（ ）
A.若，则B.若，则
C.若，则D.若，则
6.如果方程能确定是的函数，那么称这种方式表示的函数是隐函数.隐函数的求导方法如下：在方程中，把看成的函数，则方程可看成关于的恒等式，在等式两边同时对求导，然后解出即可.例如，求由方程所确定的隐函数的导数，将方程的两边同时对求导，则（是中间变量，需要用复合函数的求导法则），得（）.那么曲线在点处的切线方程为（ ）
A.B.C.D.
7.如图，正四棱台容器的高为，，，容器中水的高度为.现将57个大小相同、质地均匀的小铁球放入容器中（57个小铁球均被淹没），水位上升了，若忽略该容器壁的厚度，则小铁球的半径为（ ）
A.B.C.D.
8.在研究变量与之间的关系时，进行实验后得到了一组样本数据，，…，，，，利用此样本数据求得的经验回归方程为，现发现数据和误差较大，剔除这两对数据后，求得的经验回归方程为，且，则（ ）
A.8B.12C.16D.20
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.若表示集合和关系的Venn图如图所示，则，可能是（ ）
A.，B.，
C.，D.，
10.已知内角，，的对边分别为，，，为的重心，，，则（ ）
A.B.
C.的面积的最大值为D.的最小值为
11.已知定义在上的函数满足.若的图象关于点对称，且，则（ ）
A.的图象关于点对称B.函数的图象关于直线对称
C.函数的周期为2D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.智慧农机是指配备先进的信息技术，传感器、自动化和机器学习等技术，对农业机械进行数字化和智能化改造的农业装备，例如：自动育秧机和自动插秧机.正值春耕备耕时节，某智慧农场计划新购2台自动育秧机和3台自动插秧机，现有6台不同的自动育秧机和5台不同的自动插秧机可供选择，则共______有种不同的选择方案.
13.已知，则______，______.
14.已知，分别是双曲线：的左、右焦点，是的左支上一点，过作角平分线的垂线，垂足为，为坐标原点，则______.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（13分）
在等差数列中，，且等差数列的公差为4.
（1）求；
（2）若，数列的前项和为，证明：.
16.（15分）
为提升基层综合文化服务中心服务效能，广泛开展群众性文化活动，某村干部在本村的村民中进行问卷调查，将他们的成绩（满分：100分）分成7组：，，，，，，.整理得到如下频率分布直方图.
（1）求的值并估计该村村民成绩的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；
（2）从成绩在，内的村民中用分层抽样的方法选取6人，再从这6人中任选3人，记这3人中成绩在内的村民人数为，求的分布列与期望.
17.（15分）
如图，在四棱锥中，平面平面，底面为菱形，，，是的中点.
（1）证明：平面平面.
（2）求二面角的余弦值.
18.（17分）
设抛物线：（）的焦点为，已知点到圆：上一点的距离的最大值为6.
（1）求抛物线的方程.
（2）设是坐标原点，点，，是抛物线上异于点的两点，直线，与轴分别相交于，两点（异于点），且是线段的中点，试判断直线是否经过定点.若是，求出该定点坐标；若不是，说明理由.
19.（17分）
已知函数.
（1）当时，证明：是增函数.
（2）若恒成立，求的取值范围.
（3）证明：（，）.
高三数学参考答案
1. B 由题意得，所以，则.
2. C ，则，得.
3. D 设该椭圆的长轴长为，短轴长为，由题意得，则.
4. C 由题意得的最小正周期为，则所求函数为.
5. B 若，则与的位置关系不确定，A不正确.若，则，B正确.若，则与的位置关系不确定，C不正确.若，则与的位置关系不确定，D不正确.
6. B 由，得，则，将点的坐标代入，得，即，所以所求切线的方程为，即.
7. A 由题意得未放入小铁球之前，水位所在正方形的边长为，放入57个小铁球之后，水位所在正方形的边长为，所以57个小铁球的体积之和为.设小铁球的半径为，则，得.
8. C 设未剔除这两对数据前的，的平均数分别为，，剔除两对数据后的，的平均数分别为，.因为，所以，则.因为这两对数据为和，所以，所以，所以，解得.
9. ACD 由图可得，，，A，C正确.，，B错误，D正确.
10. BC 取的中点，连接（图略），则，A错误.
由，得，则，即，当且仅当时，等号成立，
所以，B正确.
由，得，所以，C正确.
由，得，
所以，得，D错误.
11. ABD 因为的图象关于点对称，所以，即，从而，则的图象关于点对称，A正确.
由，可得，则，所以的图象关于直线对称，B正确.
，
则的图象关于点对称，故是以4为周期的函数，即，C错误.
因为，，，，所以，D正确.
12. 150 不同的选择方案共有种.
13. 0或2；1或 由题意得，得或，即或2，所以或.
14. 2 延长，，使它们交于点（图略）.因为平分，，所以，则.故.
15.（1）解：设的公差为，由题意得，
得，
所以.
（2）证明：由（1）得，
，
则
.
16.解：（1）由图可知，，解得.
该村村民成绩的平均数约为
（2）从成绩在，内的村民中用分层抽样的方法选取6人，
其中成绩在内的村民有人，
则成绩在内的村民有4人.
从中任选3人，则的取值可能为1，2，3，
，，
则的分布列为
故.
17.（1）证明：连接.因为底面为菱形，.所以是正三角形.
又为的中点，所以，则.
因为平面平面，平面平面，所以平面.
因为平面，所以.
因为，所以，则.
因为，所以平面.
又平面，所以平面平面.
（2）解：取的中点，连接，.
以为坐标原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，
所以，，
设平面的法向量为.则由可得
令，得.
由（1）可知，是平面的一个法向量，
所以.
由图可知，二面角为锐角，所以二面角的余弦值为.
18.解：（1）点的坐标为，
点到圆：上一点的距离的最大值为，解得，
则抛物线的方程为.
（2）直线经过定点，理由如下：
设直线的方程为，，.
联立方程组整理得，
则，，.
直线的方程为，
令，得，同理可得.
因为是线段的中点，所以，
整理得，即，
则，所以.
若，则直线经过点，不符合题意.
若，则直线的方程为，经过定点.
19.（1）证明：当时，，则.
令，则在上恒成立，则在上单调递增，
则，故在上恒成立，是增函数.
（2）解：当时，等价于
令，则，令，则，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，所以.
所以当时，，单调递增，当时，，单调递减，
则，所以，即，故的取值范围为.
（3）证明：由（2）可知，当时，有，则，
所以，…，，故.1
2
3