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广东省揭阳市2024届高三下学期4月二模考试 数学
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这是一份广东省揭阳市2024届高三下学期4月二模考试 数学，共5页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
第Ⅰ卷的注释
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.(共8题；共40分)
1. 已知复数在复平面内对应的点为 ， 且 ， 则（ ）
A . B . C . D .
2. 已知函数在上不单调，则的取值范围为（ ）
A . B . C . D .
3. 已知椭圆的长轴长是短轴长的倍，则该椭圆的离心率为（ ）
A . B . C . D .
4. 把函数的图象向左平移个最小正周期后，所得图象对应的函数为（ ）
A . B . C . D .
5. 已知 ， 是两条不同的直线， ， 是两个不同的平面，且 ， ， 下列命题为真命题的是（ ）
A . 若 ， 则 B . 若 ， 则 C . 若 ， 则 D . 若 ， 则
6. 如果方程能确定是的函数，那么称这种方式表示的函数是隐函数.隐函数的求导方法如下：在方程中，把看成的函数 ， 则方程可看成关于的恒等式 ， 在等式两边同时对求导，然后解出即可.例如，求由方程所确定的隐函数的导数 ， 将方程的两边同时对求导，则（是中间变量，需要用复合函数的求导法则），得（）.那么曲线在点处的切线方程为（ ）
A . B . C . D .
7. 如图，正四棱台容器的高为 ， ， ， 容器中水的高度为.现将57个大小相同、质地均匀的小铁球放入容器中（57个小铁球均被淹没），水位上升了 ， 若忽略该容器壁的厚度，则小铁球的半径为（ ）
A . B . C . D .
8. 在研究变量与之间的关系时，进行实验后得到了一组样本数据 ， ， …， ， ， ， 利用此样本数据求得的经验回归方程为 ， 现发现数据和误差较大，剔除这两对数据后，求得的经验回归方程为 ， 且 ， 则（ ）
A . 8 B . 12 C . 16 D . 20
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.(共3题；共18分)
9. 若表示集合和关系的Venn图如图所示，则 ， 可能是（ ）
A . ， B . ， C . ， D . ，
10. 已知内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ， 为的重心， ， ， 则（ ）
A . B . C . 的面积的最大值为 D . 的最小值为
11. 已知定义在上的函数满足.若的图象关于点对称，且 ， 则（ ）
A . 的图象关于点对称 B . 函数的图象关于直线对称 C . 函数的周期为2 D .
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.(共3题；共15分)
12. 智慧农机是指配备先进的信息技术，传感器、自动化和机器学习等技术，对农业机械进行数字化和智能化改造的农业装备，例如：自动育秧机和自动插秧机.正值春耕备耕时节，某智慧农场计划新购2台自动育秧机和3台自动插秧机，现有6台不同的自动育秧机和5台不同的自动插秧机可供选择，则共有种不同的选择方案.
13. 已知 ， 则，.
14. 已知 ， 分别是双曲线：的左、右焦点，是的左支上一点，过作角平分线的垂线，垂足为 ， 为坐标原点，则.
第Ⅱ卷 主观题
第Ⅱ卷的注释
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(共5题；共77分)
15. 在等差数列中， ， 且等差数列的公差为4.
（1） 求；
（2） 若 ， 数列的前项和为 ， 证明：.
16. 为提升基层综合文化服务中心服务效能，广泛开展群众性文化活动，某村干部在本村的村民中进行问卷调查，将他们的成绩（满分：100分）分成7组： ， ， ， ， ， ， .整理得到如下频率分布直方图.
（1） 求的值并估计该村村民成绩的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；
（2） 从成绩在 ， 内的村民中用分层抽样的方法选取6人，再从这6人中任选3人，记这3人中成绩在内的村民人数为 ， 求的分布列与期望.
17. 如图，在四棱锥中，平面平面 ， 底面为菱形， ， ， 是的中点.
（1） 证明：平面平面.
（2） 求二面角的余弦值.
18. 设抛物线：（）的焦点为 ， 已知点到圆：上一点的距离的最大值为6.
（1） 求抛物线的方程.
（2） 设是坐标原点，点 ， ， 是抛物线上异于点的两点，直线 ， 与轴分别相交于，两点（异于点），且是线段的中点，试判断直线是否经过定点.若是，求出该定点坐标；若不是，说明理由.
19. 已知函数.
（1） 当时，证明：是增函数.
（2） 若恒成立，求的取值范围.
（3） 证明：（ ， ）.
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(总分：150)
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分数：150分
题数：19
难度系数：0
第Ⅰ卷 客观题
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1 2 3 4 5 6 7 8
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9 10 11
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12 13 14
第Ⅱ卷 主观题
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15 16 17 18 19
第Ⅰ卷的注释
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.(共8题；共40分)
1. 已知复数在复平面内对应的点为 ， 且 ， 则（ ）
A . B . C . D .
2. 已知函数在上不单调，则的取值范围为（ ）
A . B . C . D .
3. 已知椭圆的长轴长是短轴长的倍，则该椭圆的离心率为（ ）
A . B . C . D .
4. 把函数的图象向左平移个最小正周期后，所得图象对应的函数为（ ）
A . B . C . D .
5. 已知 ， 是两条不同的直线， ， 是两个不同的平面，且 ， ， 下列命题为真命题的是（ ）
A . 若 ， 则 B . 若 ， 则 C . 若 ， 则 D . 若 ， 则
6. 如果方程能确定是的函数，那么称这种方式表示的函数是隐函数.隐函数的求导方法如下：在方程中，把看成的函数 ， 则方程可看成关于的恒等式 ， 在等式两边同时对求导，然后解出即可.例如，求由方程所确定的隐函数的导数 ， 将方程的两边同时对求导，则（是中间变量，需要用复合函数的求导法则），得（）.那么曲线在点处的切线方程为（ ）
A . B . C . D .
7. 如图，正四棱台容器的高为 ， ， ， 容器中水的高度为.现将57个大小相同、质地均匀的小铁球放入容器中（57个小铁球均被淹没），水位上升了 ， 若忽略该容器壁的厚度，则小铁球的半径为（ ）
A . B . C . D .
8. 在研究变量与之间的关系时，进行实验后得到了一组样本数据 ， ， …， ， ， ， 利用此样本数据求得的经验回归方程为 ， 现发现数据和误差较大，剔除这两对数据后，求得的经验回归方程为 ， 且 ， 则（ ）
A . 8 B . 12 C . 16 D . 20
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.(共3题；共18分)
9. 若表示集合和关系的Venn图如图所示，则 ， 可能是（ ）
A . ， B . ， C . ， D . ，
10. 已知内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ， 为的重心， ， ， 则（ ）
A . B . C . 的面积的最大值为 D . 的最小值为
11. 已知定义在上的函数满足.若的图象关于点对称，且 ， 则（ ）
A . 的图象关于点对称 B . 函数的图象关于直线对称 C . 函数的周期为2 D .
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.(共3题；共15分)
12. 智慧农机是指配备先进的信息技术，传感器、自动化和机器学习等技术，对农业机械进行数字化和智能化改造的农业装备，例如：自动育秧机和自动插秧机.正值春耕备耕时节，某智慧农场计划新购2台自动育秧机和3台自动插秧机，现有6台不同的自动育秧机和5台不同的自动插秧机可供选择，则共有种不同的选择方案.
13. 已知 ， 则，.
14. 已知 ， 分别是双曲线：的左、右焦点，是的左支上一点，过作角平分线的垂线，垂足为 ， 为坐标原点，则.
第Ⅱ卷 主观题
第Ⅱ卷的注释
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(共5题；共77分)
15. 在等差数列中， ， 且等差数列的公差为4.
（1） 求；
（2） 若 ， 数列的前项和为 ， 证明：.
16. 为提升基层综合文化服务中心服务效能，广泛开展群众性文化活动，某村干部在本村的村民中进行问卷调查，将他们的成绩（满分：100分）分成7组： ， ， ， ， ， ， .整理得到如下频率分布直方图.
（1） 求的值并估计该村村民成绩的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；
（2） 从成绩在 ， 内的村民中用分层抽样的方法选取6人，再从这6人中任选3人，记这3人中成绩在内的村民人数为 ， 求的分布列与期望.
17. 如图，在四棱锥中，平面平面 ， 底面为菱形， ， ， 是的中点.
（1） 证明：平面平面.
（2） 求二面角的余弦值.
18. 设抛物线：（）的焦点为 ， 已知点到圆：上一点的距离的最大值为6.
（1） 求抛物线的方程.
（2） 设是坐标原点，点 ， ， 是抛物线上异于点的两点，直线 ， 与轴分别相交于，两点（异于点），且是线段的中点，试判断直线是否经过定点.若是，求出该定点坐标；若不是，说明理由.
19. 已知函数.
（1） 当时，证明：是增函数.
（2） 若恒成立，求的取值范围.
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第Ⅰ卷 客观题
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1 2 3 4 5 6 7 8
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9 10 11
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12 13 14
第Ⅱ卷 主观题
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15 16 17 18 19
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