广东省揭阳市2024届高三下学期二模考试数学试题（原卷版+解析版）

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注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后.用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
4.本试卷主要考试内容：高考全部内容.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知复数在复平面内对应点为，且，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】借助导数的几何意义可得，再利用模长公式即可得.
【详解】由题意得，所以，则.
故选：B.
2. 已知函数在上不单调，则的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据给定条件，利用二次函数的单调性列出不等式求解即得.
【详解】函数的图象对称轴为，依题意，，得，
所以的取值范围为.
故选：C
3. 已知椭圆的长轴长是短轴长的倍，则该椭圆的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用已知条件求解，的关系，即可求解离心率.
【详解】设该椭圆的长轴长为，短轴长为，由题意得，则，
故选：D
4. 把函数的图象向左平移个最小正周期后，所得图象对应的函数为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先根据正弦型函数的周期计算公式得最小正周期；利用函数平移的规律及诱导公式即得.
【详解】由题意得的最小正周期为，
则所求函数为.
故选：C
5. 已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，且，下列命题为真命题的是（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则D. 若，则
【答案】B
【解析】
【分析】考查线与面，面与面之间位置关系，关键是掌握线面、面面等的位置关系及其性质，再结合图形分析.
【详解】如图，当时，与可相交也可平行， 故A错；
当时，由平行性质可知，必有，故B对；
如图，当时，或，故C错；当时，可相交、平行，故D错.
故选：B.
6. 如果方程能确定y是x的函数，那么称这种方式表示的函数是隐函数．隐函数的求导方法如下：在方程中，把y看成x的函数，则方程可看成关于x的恒等式，在等式两边同时对x求导，然后解出即可．例如，求由方程所确定的隐函数的导数，将方程的两边同时对x求导，则（是中间变量，需要用复合函数的求导法则），得．那么曲线在点处的切线方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用给定隐函数的导数求法确定斜率，再求出切线方程即可.
【详解】由给定定义得，对左右两侧同时求导，
可得，将点代入，得，
解得，故切线斜率为，得到切线方程为，
化简得方程为，故B正确.
故选：B
7. 如图，正四棱台容器高为12cm，，，容器中水的高度为6cm．现将57个大小相同、质地均匀的小铁球放入容器中（57个小铁球均被淹没），水位上升了3cm，若忽略该容器壁的厚度，则小铁球的半径为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先计算水的体积，再计算放入球后水和球的总体积，可得铁球的体积，利用体积公式可得答案.
【详解】正四棱台容器的高为12cm，，，
正四棱台容器内水的高度为6cm，由梯形中位线的性质可知水面正方形的边长为，
其体积为；
放入铁球后，水位高为9cm，沿作个纵截面，从分别向底面引垂线，如图，
其中是底面边长10 cm，是容器的高为12 cm，是水的高为9 cm，
由截面图中比例线段的性质，可得,此时水面边长为4 cm，

此时水的体积为，
放入的57个球的体积为，
设小铁球的半径为，则，解得.
故选：A
8. 已知变量x与y具有线性相关关系，在研究变量x与y之间的关系时，进行实验后得到了一组样本数据，利用此样本数据求得的线性回归方程为，现发现数据和误差较大，剔除这两对数据后，求得的线性回归方程为，且，则（ ）
A. 8B. 12C. 16D. 20
【答案】C
【解析】
【分析】由题意求出剔除后的平均数，进而求出剔除前的平均数，根据回归直线必过样本点中心，得到，进而得到，将点代入，即可求解.
【详解】设没剔除两对数据前的，的平均数分别为，，
剔除两对数据后的，的平均数分别为，，
因为，所以，则，
因为两对数据为和，所以，
所以，
所以，解得.
故选：C.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 若集合和关系的Venn图如图所示，则可能是（ ）

A.
B.
C.
D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据Venn图可知，依次判定选项即可.
【详解】根据Venn图可知，
对于A，显然，故A正确；
对于B，，则，故B错误；
对于C，，则，故C正确；
对于D，，或，
则，故D正确.
故选：ACD
10. 已知内角的对边分别为为的重心，，则（ ）
A. B.
C. 的面积的最大值为D. 的最小值为
【答案】BC
【解析】
【分析】利用重心性质及向量线性运算得，即可判断A，此式平方后结合基本不等式，向量的数量积的定义可求得，的最大值，直接判断B，再结合三角形面积公式、余弦定理判断CD．
【详解】是的重心，延长交于点，则是中点，
，A错；
由得，所以，
又，即
所以，所以，当且仅当时等号成立，B正确；
，当且仅当时等号成立，，
，C正确；
由得，
所以，
，当且仅当时等号成立，所以的最小值是，D错．
故选：BC．

11. 已知定义在上的函数满足.若的图象关于点对称，且，则（ ）
A. 的图象关于点对称
B. 函数的图象关于直线对称
C. 函数的周期为2
D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】对A，根据函数图象的变换性质判断即可；对B，由题意计算即可判断；对C，由A可得，由B可得，进而可判断C；对D，由结合与的对称性可得，进而，结合C中的周期为4求得，进而可得.
【详解】对A，因为的图象关于点对称，则的图象关于点对称，
故的图象关于点对称，故A正确；
对B，，
，
又，故.
即，故的图象关于直线对称，故B正确；
对C，由A，，且，
又因为，故，
即，故，即.
由B，，故，故周期为4，故C错误；
对D，由，的图象关于点对称，且定义域为R，则，，
又，代入可得，则，
又，故，，，，又的周期为4，.
则
.
即，
则，故D正确.
故选：ABD
【点睛】关键点点睛：判断D选项的关键是得出，结合周期性以及的定义即可顺利得解.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 智慧农机是指配备先进信息技术，传感器､自动化和机器学习等技术，对农业机械进行数字化和智能化改造的农业装备，例如：自动育秧机和自动插秧机.正值春耕备耕时节，某智慧农场计划新购2台自动育秧机和3台自动插秧机，现有6台不同的自动育秧机和5台不同的自动插秧机可供选择，则共有__________种不同的选择方案.
【答案】150
【解析】
【分析】利用乘法原理，结合组合知识求解．
【详解】第一步从6台不同的自动育秧机选2台，第二步从5台不同的自动插秧机选3台，由乘法原理可得选择方案数为，
故答案为：150.
13. 已知，则______，______.
【答案】 ①. 0或2 ②. 1或
【解析】
【分析】利用二倍角的正弦公式变形求出，再利用和角的正切计算即得.
【详解】依题意，，即或，所以或2；
所以或.
故答案为：0或2；1或
14. 已知分别是双曲线的左､右焦点，是的左支上一点，过作角平分线的垂线，垂足为为坐标原点，则______.
【答案】2
【解析】
【分析】根据双曲线的定义求解．
【详解】双曲线的实半轴长为，
延长交直线于点，由题意有，，
又是中点，所以，
故答案为：2.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 在等差数列中，，且等差数列的公差为4.
（1）求；
（2）若，数列的前项和为，证明：.
【答案】（1）；
（2）证明见解析．
【解析】
【分析】（1）利用等差数列的求出公差，再求得首项后可得通项公式；
（2）由裂项相消法及等差数列的前项和公式求得和后可证结论．
【小问1详解】
设的公差为，则，，
又，所以，
所以，．
【小问2详解】
由（1）得，
所以．
16. 为提升基层综合文化服务中心服务效能，广泛开展群众性文化活动，某村干部在本村的村民中进行问卷调查，将他们的成绩（满分：100分）分成7组：.整理得到如下频率分布直方图.
（1）求的值并估计该村村民成绩的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；
（2）从成绩在内的村民中用分层抽样的方法选取6人，再从这6人中任选3人，记这3人中成绩在内的村民人数为，求的分布列与期望.
【答案】（1）；
（2）分布列见详解；
【解析】
【分析】（1）由频率和为1，可求的值，再由平均数计算公式求解；
（2）根据分层抽样可确定的取值，再分别求出概率，最后利用期望公式求解.
【小问1详解】
由图可知，，
解得，
该村村民成绩的平均数约为
；
【小问2详解】
从成绩在内的村民中用分层抽样的方法选取6人，
其中成绩在的村民有人，
成绩在的村民有4人，
从中任选3人，的取值可能为1,2,3，
，，，
则的分布列为
故
17. 如图，在四棱锥中，平面平面，底面为菱形，，是的中点.
（1）证明：平面平面.
（2）求二面角的余弦值.
【答案】（1）证明见解析．
（2）
【解析】
【分析】（1）取中点，连接，证明平面，分别以为轴建立空间直角坐标系，用空间向量法证明面面垂直；
（2）用空间向量法求二面角．
【小问1详解】
取中点，连接，如图，
因为四边形是菱形且，所以和都是正三角形，又是中点，
所以，，从而有，
又，所以是矩形．
又，所以，所以，即是等腰直角三角形，
所以，，
又因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面，
分别以为轴建立空间直角坐标系，如图，
则，，，，，，
，
设平面的一个法向量是，则
，取得，
设平面的一个法向量是，则
，取得，
，所以，
所以平面平面；
【小问2详解】
设平面的一个法向量是，
则，取得，
设二面角的大小为，由图知为锐角，
所以．
18. 设抛物线的焦点为，已知点到圆上一点的距离的最大值为6.
（1）求抛物线的方程.
（2）设是坐标原点，点是抛物线上异于点的两点，直线与轴分别相交于两点（异于点），且是线段的中点，试判断直线是否经过定点.若是，求出该定点坐标；若不是，说明理由.
【答案】（1）
（2）过定点，定点坐标为
【解析】
【分析】（1）点到圆上点的最大距离为，即,计算即可；
（2）由已知设，求得则，方程，联立与抛物线的方程求得点坐标，同理可得点坐标，进而求得直线的方程得出结果.
【小问1详解】
点到圆上点的最大距离为，即，得,
故抛物线的方程为.
【小问2详解】
设，则方程为，方程为,
联立与抛物线的方程可得，即,
因此点纵坐标为，代入抛物线方程可得点横坐标为，
则点坐标为,同理可得点坐标为,
因此直线的斜率为,
代入点坐标可以得到方程为,
整理可以得到,因此经过定点.
19. 已知函数.
（1）当时，证明：是增函数.
（2）若恒成立，求取值范围.
（3）证明：（，）.
【答案】（1）证明见解析
（2）
（3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）求定义域，求导，得到函数单调性，得到答案；
（2）参变分离得到，构造函数，求导得到其单调性和最值，得到，求出的求值范围；
（3）由（2）可知，当时，，所以，…，，相加后得到结果.
【小问1详解】
当时，，定义域为，
则.
令，则在上恒成立，
则在上单调递增，
则，故在上恒成立，是增函数.
【小问2详解】
当时，等价于，
令，则，
令，则，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，所以.
所以当时，，单调递增，当时，，单调递减，
则，所以，即，故的取值范围为.
【小问3详解】
证明：由（2）可知，当时，有，则，
所以，…，，
故.
【点睛】导函数证明数列相关不等式，常根据已知函数不等式，用关于正整数的不等式代替函数不等式中的自变量，通过多次求和（常常用到裂项相消法求和）达到证明的目的，此类问题一般至少有两问，已知的不等式常由前面几问中的特征式的特征而得到.
1
2
3