江西省赣州市2025-2026学年高二上学期期末数学试题含答案

这是一份江西省赣州市2025-2026学年高二上学期期末数学试题含答案，共8页。试卷主要包含了选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2026年2月
本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共150分，考试时
长120分钟．
第I卷（选择题共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项
中，只有一项是符合题目要求的．
1．点(2,−3)到直线3x−4y−6=0的距离是（ ）
A．115B．125
C．135D．145
2．已知m=(1,−2,4)，n=(x,1,1)，m⊥n，则实数x的值为（ ）
A．−2B．2
C．−12D．12
3．椭圆x2100+y264=1的焦距为（ ）
A．6B．12C．16D．20
4．若圆O1：x2+y2=16与圆O2：(x−5)2+y2=r2(r>0)外切，则r=（ ）
A．1B．2C．9D．1或9
5．已知m，n，l为三条不同的直线，α，β，γ为三个不同的平面，则下列说法正确的是
（ ）
A．若m∥n，n⊂α，则m∥α
B．若α⊥β，α∩β=l，m⊥l，则m⊥α
C．若α⊥β，l⊥β，则l∥α
D．若α⊥γ，β⊥γ，α∩β=l，则l⊥γ
6．经过点M(6,3)且在两坐标轴上截距相等的直线是（ ）
A．x+y−9=0
B．x−y−3=0
C．x+y−9=0或x−2y=0
D．x−y−3=0或x−2y=0
7．从0，2，4中任取2个数字，从1，3，5中任取2个数字，一共可以组成没有重复数字四位数
有（ ）
A．216个B．162个C．108个D．180个
8. 方程Ax+B=0(A≠0)可以表示数轴上的点，平面直角坐标系xOy中，方程Ax+By+C=0（A、B不同时为0）可以表示平面内的直线，空间直角坐标系O−xyz中，方程Ax+By+Cz+D=0（A、B、C不同时为0）可以表示空间内的平面．过点P(x0,y0,z0)且一个法向量为n=(a,b,c)的平面α的方程可表示为a(x−x0)+b(y−y0)+c(z−z0)=0．阅读上面材料，解决下面问题：已知平面α的方程为2x+y−z+3=0，直线l是两平面x−y+2z−1=0与x+2y−z+2=0的交线，则直线l与平面α所成角的正弦值为（ ）
A．618B．69
C．36D．23
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．
9．下列说法中不正确的是（ ）
A．平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹是抛物线
B．平面内与两个定点F1(−1,0)和F2(1,0)的距离之和等于2的点的轨迹是椭圆
C．平面内与两个定点F1(−1,0)和F2(1,0)的距离之差等于32的点的轨迹是双曲线
D．平面内与两个定点F1(−1,0)和F2(1,0)的距离之比等于2的点的轨迹是圆
10．下列结论正确的有（ ）
A．若随机变量X∼B10,35，则E(X)=125
B．离散型随机变量X服从两点分布，且P(X=1)=7P(X=0)，则P(X=0)=18
C．随机变量X∼N(1,σ2)，若P(X>0)=34，则P(00)与双曲线C2：x2m2−y2n2=1(m>0,n>0)在第一象限的交点，∠F1PF2=θ，C1，C2共焦点，C1，C2的离心率分别为e1，e2，则下列结论正确的是（ ）
A. |PF1|=a+m，|PF2|=a−m
B. 若θ=90°，则e12+e22的最小值为2
C. 若θ=60°，则1e12+1e22=43
D. tanθ2=nb
第II卷（非选择题共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 在(x−1)6的展开式中，x3项的系数为_____．
13. 经过M(−1,0)，N(1,0)两点，且圆心C在直线x+y−1=0上，则圆C的方程为_____．
14. 赣南脐橙是江西赣南的特色农产品，某学习小组结合赣南脐橙的等级区分设计了如下概率问题进行研究：甲、乙两个筐中各装有5个大小均匀的赣南脐橙，其中甲筐中有3个特级脐橙、2个一级脐橙，乙筐中有4个特级脐橙、1个一级脐橙．掷一枚质地均匀的骰子，如果点数小于等于4，从甲筐中随机抽出1个脐橙；如果点数大于等于5，从乙筐中随机抽出1个脐橙，则抽到的是特级脐橙的概率是_____．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 在3x3−1xn的展开式中，第4项为常数项．
（1）求n的值和该常数项的值；
（2）求展开式中所有项的系数之和．
16. 已知离心率为22的椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的顶点所构成的四边形的面积为82，过右焦点且斜率为1的直线交C于M，N两点．
（1）求C的方程；
（2）求|MN|．
17. 如图，棱锥P−ABCD中，四边形ABCD是矩形，AD⊥平面PAB，PA⊥PB，E是AD的中点，M是PB的中点．
（1）证明：EM∥平面PCD；
（2）若PA=PB=BC=2，求平面PCE与平面PBC夹角的正弦值．
18．某学校举办数学知识竞赛，每位参赛者要答3道题，第一题分值为40分，第二、三题
分值均为20分，若答对，则获得题目对应分值，若答错，则得0分，参赛者累计得分不低
于60分即可获奖．已知甲答对第一、二、三题的概率分别为23，13，13，乙答对第一、二、
三题的概率均为12，且甲、乙每次答对与否互不影响．
（1）求甲获奖的概率；
（2）求乙的累计得分X的分布列和期望；
（3）在甲、乙两人均获奖的条件下，求甲的累计得分比乙高的概率．
19．在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：y2=2px(p>0)上一点M的横坐标为32，且点M
到焦点F的距离为2．
（1）求抛物线的方程；
（2）P是不在坐标轴上的一个动点，过P可作抛物线C的两条切线，两切点连线l与PO垂
直．设直线l与PO，x轴的交点分别为G，H．
①证明：H是一个定点；
②求|PG||GH|的最小值．
1．B
2．A
3．B
4．A
5．D
6．C
7．D
8．D
9．ABC
10．BCD
11.AD
12．−20
13．x2+(y−1)2=2
14. 23
15.（1）n=4，−12
(2)16
（1）因为3x3−1xn的通项为Tr+1=Cnr(3x3)n−r−1xr=(−1)r3n−rCnrx3n−4r，
由题知r=3时，3n−4r=0，解得n=4，所以常数项为T4=(−1)334−3C43=−12。
（2）由（1）知，令x=1，得到3x3−1x4=(3−1)4=16，
则展开式中所有项的系数之和为16。
16.（1）x28+y24=1
（2） 823
（1）由题意，可得{12×2a×2b=82c2=a2−b2e=ca=22，解得{a=22,b=2,c=2,
∴椭圆C的标准方程为x28+y24=1.
（2）由（1）知椭圆C的右焦点坐标为F(2,0)，
∴点M，N所在直线方程为y=x−2.
联立{x28+y24=1y=x−2，消去y并整理得3x2−8x=0.
设M(x1,y1)，N(x2,y2)，则x1=83，x2=0，
∴|MN|=1+k2|x1−x2|=283−0=823.
17.（1）取PC中点N，连接MN，DN，
∵M，N分别为PB，PC的中点，
∴MN∥BC，MN=12BC，
因为四边形ABCD是矩形，E是AD的中点，
所以DE∥BC且DE=12BC，
故DE∥MN且DE=MN，
则四边形DEMN为平行四边形，
∴EM∥DN，
又EM⊄平面PCD，DN⊂平面PCD，
所以EM∥平面PCD．
（2）因为PA=PB=BC=2，PA⊥PB，
所以∆PAB是等腰直角三角形，
又AD⊥平面PAB，故以AB中点O为原点，
过点O和AD平行的直线为z轴，OP为x轴，OB为y轴，
建立如图的空间直角坐标系O−xyz，
则P(2,0,0)，C(0,2,2)，E(0,−2,1)，B(0,2,0)，
则PC→=(−2,2,2)，PE→=(−2,−2,1)，PB→=(−2,2,0)，
设n1→=(x,y,z)是面PCE的一个法向量，则有{PC→⋅n1→=−2x+2y+2z=0PE→⋅n1→=−2x−2y+z=0，
取x=−3，则y=1，z=−22，故n1→=(−3,1,−22)，
设n2→=(a,b,c)是面PBC的一个法向量，则有{PC→⋅n2→=−2a+2b+2c=0PB→⋅n2→=−2a+2b=0，
取a=1，则b=1，c=0，故n2→=(1,1,0)，记平面PCE与平面PBC的夹角为θ，
则csθ=|cs⟨n1→，n2→⟩|=|n1→·n2→||n1→||n2→|=|−3+1|18×2=13，
∴sinθ=223，所以平面PCE与平面PBC夹角的正弦值为223．
18．（1）甲得60分的概率为23×C21×13×23=827，
甲得80分的概率为23×13×13=227，甲获奖的概率为827+227=1027.
（2）由题意知：乙累计得分X的可能取值有0，20，40，60，80，
所以P(X=0)=123=18，
P(X=20)=1−12×C21×122=14，P(X=40)=12×1−122+1−12×12×12=14，
P(X=60)=12×C21×1−12×12=14，P(X=80)=12×122=18，
∴X的分布列为：
∴E(X)=0×18+20×14+40×14+60×14+80×18=40.
（3）根据题意得，得分不低于60分即可获奖，
由（1）知，甲获奖的概率为1027，
由（2）乙获奖的概率为12×C21×1−12×12+12×122=38，
乙只得60分的概率为12×C21×1−12×12=14，
所以甲、乙两人同时获奖的概率为1027×38=536，
甲、乙均获奖且甲累计得分比乙高的概率为227×14=154，
所以，在甲、乙两人均获奖的条件下，甲累计得分比乙高的概率为154536=215。
19.（1）因为点M到焦点F的距离为2，所以点M到抛物线准线的距离为2，
∵抛物线的准线方程为x=−p2，点M的横坐标为32，
∴32+p2=2，解得p=1，∴抛物线的方程为y2=2x。
（2）①设P点的坐标为(a,b)(a≠0,b≠0)，记两切点A，B的坐标为(x1,y1)，(x2,y2)，
则PA，PB的方程分别为yy1=x+x1，yy2=x+x2，
将点P(a,b)代入，得{by1=a+x1by2=a+x2，
故点A(x1,y1)，B(x2,y2)满足方程by=x+a，
所以直线l的方程为by=x+a，
∵kPO=ba，kl=1b，由PO⊥l知，ba·1b=−1，∴a=−1，
所以直线l的方程为y=1b(x+a)=1b(x−1)，
故直线l与x轴的交点H是定点(1,0)。
②方法一：由①知，直线PO的斜率k1=−b，直线PH的斜率k2=−b2，
设∠OPH=α，则α为锐角，
且|PG||GH|=1tanα=1+k1k2k1−k2=1+(−b)−b2−b+b2=2+b2|b|=2|b|+|b|≥22|b|·|b|=22
当且仅当2|b|=|b|，即b=±2时，等号成立，所以|PG||GH|的最小值为22．
方法二：由①，直线l的方程为y=1b(x−1)，直线OP的方程为y=−bx，
联立{y=1b(x−1)y=−bx，解得{x=11+b2y=−b1+b2，所以点G的坐标为11+b2,−b1+b2，
由①，H(1,0)，P(−1,b)，
∵|PG|为点P到直线l的距离，直线l的方程为x−by−1=0，
∴|PG|=−1−b2−11+b2=2+b21+b2，
又|GH|=11+b2−12+−b1+b22=|b|1+b2，
得|PG||GH|=2+b21+b2|b|1+b2=2+b2|b|=2|b|+|b|≥22|b|·|b|=22，
当且仅当2|b|=|b|，即b=±2时，等号成立，所以|PG||GH|的最小值为22．
X
0
20
40
60
80
P
18
14
14
14
18