第一章 三角形的证明 章综合复习 课件 初中数学北师大版（2024）八年级下册

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章综合复习第一章 三角形的证明数学北师大版八年级下册通过完成导学任务，请同学展示本章的知识结构图.知识结构知识结构三角形的证明三角形内角和定理等腰三角形知识结构直角三角形线段的垂直平分线线段垂直平分线的性质定理与判定定理角平分线的性质定理与判定定理三角形三边的垂直平分线的交点三角形三个内角的角平分线的交点互逆命题与互逆定理直角三角形全等的判定(HL)角平分线三角形的证明知识要点提炼定理 证明三角形内角和定理的核心：借助平行线的“移角”的功能，将三个角转化成一个平角.两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等(AAS).知识要点提炼定理 全等三角形的判定：结合ASA和AAS可知，在证明三角形全等时，只需找到两角一边分别对应相等，即可证明全等.全等三角形的对应边相等，对应角相等.性质△ABC内角的一条边与另一条边的反向延长线组成的角，称为△ABC的外角.知识要点提炼定义推论1：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.推论2：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.推论定理：等腰三角形的两底角相等(等边对等角).定理：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高重合(三线合一).知识要点提炼性质 应用三线合一的注意事项： 前提必须满足是等腰三角形(含等边三角形). 三线仅指顶角平分线、底边上的中线、底边上的高. 知一推二：在等腰三角形中，只要证明其中一条线存在，可直接得出与另外两条线重合. 123定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形(等角对等边).知识要点提炼判定等边三角形的性质与判定(1)假设命题的结论不成立；(2)从这个假设出发，应用正确的推理方法，得出与定义、基本事实、已证定理或已知条件相矛盾的结果；(3)由矛盾的结果判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确.知识要点提炼用反证法证明的步骤 常见结论的否定形式：原结论：是/存在/平行/相等/至少一个/至多一个/都是/全是；假设：不是/不存在/不平行/不相等/一个也没有/至少两个/不都是/不全是.定理：直角三角形的两个锐角互余.定理：有两个角互余的三角形是直角三角形.勾股定理的逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三条边的平方，那么这个三角形是直角三角形.知识要点提炼性质与判定解题技巧：1.拆分原命题；2.交换题设和结论.知识要点提炼互逆命题 ①原命题无标准形式时，先补全再拆分；②逆命题的真假与原命题无关，需单独验证.解题技巧：1.先找逆命题；2.验证逆命题真假.互逆定理 ①互逆定理是真命题+真命题的互逆关系；②所有命题不一定都有逆定理，只有逆命题为真的定理才有.斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等(HL).知识要点提炼直角三角形全等的判定知识要点提炼线段的垂直平分线知识要点提炼角平分线知识要点提炼比较线段的垂直平分线的交点与角平分线的交点题型1 三角形内角和定理的证明题型2 三角形内角和定理的应用题型3 三角形折叠中的角度问题 题型4 三角形外角的定义及性质 题型5 等腰三角形的性质和判定题型6 反证法题型7 等边三角形的性质和判定题型9 直角三角形的性质 题型8 含30°角的直角三角形题型11 线段垂直平分线的性质 题型10 命题的改写 题型13 角平分线的性质定理题型12 线段垂直平分线的判定 题型14 角平分线的判定定理题型归纳·内容归纳重点知识巩固重点知识巩固B由三角形内角和定理易得：∠1+∠2=∠3+∠4.重点知识巩固常见作平行线证明三角形内角和定理的方法：方法总结重点知识巩固重点知识巩固方法总结123重点知识巩固与折叠有关的角的计算：折叠的核心是角相等，看到折叠，优先标注相等的角，这也是在做题时容易忽略的隐含条件.折叠问题经常涉及到外角的计算，当角的位置分散时，利用外角的性质可将分散的角关联起来，避免复杂的角度推导.重点知识巩固方法总结重点知识巩固三角形外角的常见应用场景与技巧：重点知识巩固方法总结重点知识巩固利用等腰三角形的性质求角度：核心性质：等边对等角、​三线合一.常见情境：已知顶角求底角、已知底角求顶角、已知一个角(不确定顶/底角).​易错点：①已知不确定角时忽略分类讨论；②​把腰对的角错当成顶角​；③求完角后未用三角形内角和验证.重点知识巩固方法总结重点知识巩固C重点知识巩固重点知识巩固B重点知识巩固方法总结12 如图，嘉琪想测量一座古塔CD的高度，在A处测得∠CAD=15°，再往前行进60 m到达B处，测得∠CBD=30°，点A，B，D在同一条直线上，根据测得的数据，可得这座古塔CD的高度为(     ) A. 40 m B. 30 m C. 25m D. 50 m重点知识巩固B利用含30°角的直角三角形的性质解决问题的思路： 识别直角三角形：先确定题目中存在的直角三角形，找到30°角或满足“直角边=斜边一半”的边. 转化边的关系：已知30°角，直接用定理得到直角边与斜边的数量关系；已知直角边与斜边的一半关系，逆推30°角. 结合其他几何性质：常与三角形外角性质、等腰三角形、全等三角形等结合.重点知识巩固方法总结123重点知识巩固130 下列命题的逆命题不正确的是(    )A.三边对应相等的两个三角形全等 B.全等三角形的对应角相等C.等腰三角形的两个底角相等 D.等边三角形的三个内角相等重点知识巩固B重点知识巩固重点知识巩固利用线段垂直平分线的性质解决问题的技巧：关键：看到线段垂直平分线，立刻联想“线段上的点到线段两端点距离相等”.基本步骤：找：识别题干中的线段垂直平分线(注意隐含条件)；连：若题中没有连接垂直平分线上的点到线段两端点，则连接垂直平分线上的点与线段的两个端点，得到一组相等线段；用：结合等腰三角形性质、三角形三边关系或内角和定理等求解.重点知识巩固方法总结重点知识巩固线段垂直平分线的判定方法：定义法：直接证明某条直线垂直平分一条线段.定理法：根据到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上，证明直线上两个不同的点到该线段的两个端点距离相等即可.重点知识巩固方法总结 如图，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，△ABC的面积为20，AB=12，DE=2，求BC的长.重点知识巩固F∟利用角平分线的性质解决问题的技巧：关键：见角平分线，优先作垂线段，将角平分线的几何特征转化为相等的线段，结合三角形全等、面积等求解.注意：1.角平分线性质的前提是垂线段，非垂线的线段不能直接用性质证相等，不要忽略垂直条件；2. 区分角平分线的性质和判定：性质是由角平分线得距离相等，判定是由距离相等得角平分线，避免逆用混淆；3. 用面积法时，注意高是“角平分线上的点到边的垂线段”，而非三角形的高，避免找错高的对应边.重点知识巩固方法总结重点知识巩固角平分线的判定方法：定义法：证明一条射线或线段平分一个角.定理法：在这条射线或线段上找任意一点，证明到角两边的距离相等.注意：在应用定理法判定角平分线时，经常需要作出点到角两边的垂线段，利用全等等方法证明到角两边的距离相等.重点知识巩固方法总结综合能力提升方程思想：方程思想是解决三角形角度问题的核心工具之一.关键：把三角形的某一个内角设为未知数，通过角与角的关系表示出三角形的各个内角，再利用三角形的内角和定理列方程.重点知识巩固方法总结综合能力提升综合能力提升30是综合能力提升 已知：如图，△ABC的外角∠CBD和∠BCE的角平分线相交于点F.求证：点F在∠DAE的平分线上.综合能力提升综合能力提升综合能力提升综合能力提升综合能力提升