高中数学总体分布的估计表格教学设计

这是一份高中数学总体分布的估计表格教学设计，共7页。教案主要包含了情景引入，引入新知，课堂小结，课后练习等内容，欢迎下载使用。
学科
数学
年级
高一年级
学期
春季
课题
9.2.2总体百分位数的估计
教科书
书 名：普通高中教科书 数学 必修第二册（A版）
出版社：人民教育出版社 .7月
教学目标
1. 结合实例理解百分位数的定义，学会计算一组数据的第p百分位数，发展数据分析素养。
2. 掌握用样本百分位数估计总体百分位数的方法，体会样本估计总体的统计思想，提高分析问题和解决问题的能力。
3. 通过具体实例体会百分位数在实际生活中的应用。
教学内容
教学重点：
学会分析数据并用样本百分位数估计总体百分位数。
教学难点：
百分位数的统计含义；统计图、表中百分位数的计算方法。
教学过程
一、情景引入
问题1：我国是世界上严重缺水的国家之一，某市政府为了减少水资源的浪费，计划对居民生活用水费用实施阶梯式水价制度，即确定居民用户月均用水量标准，用水量超过标准的部分按议价收费，不超过的部分按平价收费. 以下是通过抽样调查得到的该市100户居民月用水量的数据：（单位：t）
请同学们根据表中100户居民的月均用水量，计算样本数据的中位数。
将数据按从小到大排序后，得到第50个和第51个数据分别是6.8和7.0， 所以中位数是这两个数的平均数。其实我们可以发现区间（6.8,7.0）内的任意一个数都能把样本数据分成各占样本50%的两部分。此时我们取的是这两个的平均数作为中位数。
【设计意图】复习回顾学生已会的中位数知识，通过对居民用户月均用水量的样本数据进行分析处理，引导学生经历新知的探索过程。
问题2：中位数又称为第50百分位数，或者50%分位数，
如果一组数据的中位数是a ，那么下列哪个选项对它的表述是正确的？
A.恰有50%的数据小于它，且恰有50%的数据大于它
B.恰有50%的数据小于或等于它，且恰有50%的数据大于或等于它
C.至少有50%的数据小于或等于它，且至少有50%的数据大于或等于它
预设：学生可能不会想到百分位数定义中的“至少”. 通过举例1：2，2，2，2，2 这组数据中小于等于中位数2的数有100%，举例2：1，2，2，5，6 这组数据中小于等于中位数2的数有60%，引导学生得到定义中“至少”的概念.
问题3：政府希望80%的居民用户月均用水量不受调价影响根据100户居民用户的月均用水量数据，你能给市政府提出确定居民用户月均用水量标准的建议吗?
根据市政府的要求确定居民用户月均用水量标准，就是要寻找一个数a，使全市居民用户月均用水量中不超过a的占至少80%，大于a的至少占20%.即第80百分位数，下面我们通过样本数据对a的值进行估计.
【预设】多数学生取第80个数据13.6和第81个数据13.8，可以发现，区间（13.6，13.8）内任意一个数都能把样本数据分成符合要求的两部分，一般地，我们取这两个数的平均数13.6+13.82=13.7作为第80百分位数。由于样本的取值规律与总体的取值规律之间会存在偏差，而在决策问题中，只要临界值近似为第80百分位数即可，
因此为了实际中操作的方便，可以建议市政府把月均用水量标准定为14t，或者把年用水量标准定为168t.
追问1：你认为14t这个标准一定能够保证80%的居民用水不超标吗？如果不一定，那么哪些环节可能会导致结论的差别?
就算样本数据中有80%的数据不超过14吨，但由于他是来自样本观测数据，只是总体80%分位数的一个估计值。抽样的方法和样本的随机性都可能导致样本百分数估计总体百分位数的误差。
二、引入新知
问题4、我们知道了第50百分位数：一组数据中至少有50％的数据小于或等于它，且至少有50％的数据大于或等于它.
第80百分位数：一组数据中至少有80％的数据小于或等于它，且至少有20％的数据大于或等于它.
进一步，你能归纳第p百分位数的定义和计算步骤吗？
1．第p百分位数
一般地，一组数据的第p百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有p%的
据小于或等于这个值，且至少有(100 -p)%的数据大于或等于这个值.
百分位数是刻画一组样本数据百分位置的量.
【设计意图】结合实例，在学生理解中位数，第80百分位数的基础上进一步归纳第
p百分位数的定义，体会由特殊到一般的数学思想.
2.问题（1）：1，2，2，2，2，8，8，8，10,11 这组数据的
第50百分位数、第80百分位数分别是多少？
（2）：1，2，3，4，5这组数据的第50百分位数、
第70百分位数分别是多少？
解1：10x50%=5,取第五，六个位置上的数的平均数为第50百分位数，
所以第50百分位数是5.
10x80%=8,取第八，九个位置上的数的平均数为第80百分位数，所以第80百分位
数是9.
解2：5x50%=2.5,取第三个位置上的数为第50百分位数所以第50百分位数3。
5x70%=3.5,取第四个位置上的数为第70百分位数，所以第70百分位数4.
2.计算一组n个数据的第p百分位数的步骤
第1步，按照从小到大排列原始数据.
第2步，计算i = n·p%.
第3步，若i不是整数，而大于i的比邻整数为j，则第p百分位数为第 j项数据；若i是整数，则第p百分位数为第i项与第(i + 1)项数据的平均数.
注意：求百分数数时，一定要将数据按照从小到大的顺序排列。
【设计意图】从中位数的求法出发，类比出其他百分位数的求法，进一步归纳得到一组n个数据的第p百分位数的计算步骤，体会类比和由特殊到一般的数学思想.
3.特殊百分位数
1.第25百分位数，第50百分位数，第75百分位数，这三个分位数把一组由小到大排列后的数据分成四等份，因此称为四分位数.
2.其中第25百分位数也称为第一四分位数或下四分位数等，
3.第75百分位数也称为第三四分位数或上四分位数等.
另外，像第1百分位数，第5百分位数，第95百分位数和第99百分位数在统计中也经常被使用.
【设计意图】了解常用特殊的百分位数.从一般到特殊，明确百分位数是表示一组数据分布的位置属性的数字特征。
典例分析
例1：根据下表中女生的样本数据，估计树人中学高一年级女生的第 25，50，75 百分位数.
163.0 164.0 161.0 157.0 162.0 165.0 158.0 155.0 164.0 162.5 154.0 154.0 164.0 149.0 159.0 161.0 170.0 171.0 155.0 148.0 172.0 162.5 158.0 155.5 157.0 163.0 172.0
学生展示：例1解:把 27 名女生的样本数据按从小到大排序，可得
148.0 149.0 154.0 154.0 155.0 155.0 155.5 157.0 157.0 158.0 158.0 159.0 161.0 161.0 162.0 162.5 162.5 163.0 163.0 164.0 164.0 164.0 165.0 170.0 171.0 172.0 172.0
∵ 25% × 27 = 6.75, 50% × 27 = 13.5, 75% × 27 = 20.25,
∴样本数据的第 25， 50，75 百分位数为第 7，14，21 项数据，分别为 155.5，161，164∴据此可以估计树人中学高一年级女生的第 25，50，75 百分位数分别约为155.5，161和 164.
【设计意图】通过类比，再一次解决一个实际问题。
4．利用分组数据求第p百分位数的方法
问题5：在某些情况下我们无法获知原始的样本数据，而是整理好的图表．这时该如估计样本的百分位数？我们以100户居民用水量的数据作出的频率分布直方图为例，以此讨论估计月均用水量的样本数据的80%分位数的方法．
理解一：解:由频率分布直方图依次算出各小组的频率为：
0.231，0.321，0.129，0.090，0.090，0.051，0.030，0.039，0.021，0.231，0.321，所以月均用水量在13.2t以下的居民所占比例为：0.231+0.321+0.129+0.09=0.771，
月均用水量在16.2t以下的居民所占比例为：0.771+0.09=0.861>0.8.
所以，第80百分位数一定位于[13.2，16.2）内. 我们不知道[13.2,16.2)内数据具体的情况，此时，我们通常把它们看成连续均匀地分布在此区间上. 所以，可以估计月均用水量的样本数据的80%分位数约为14.2t.
理解二：
所以月均用水量在13.2t以下的居民所占比例为：
0.231+0.321+0.129+0.09=0.771 13.2左侧的小长方形面积之和是0.771
月均用水量在16.2t以下的居民所占比例为：
0.771+0.09=0.861>0.816.2 左侧的小长方形面积之和是0.861
频率在图中对应面积，各小长方形面积就是每组数据所占频率.要找到频率累计为0.8的位置即找到面积累计为0.8的位置，找到分界线.所以
频率分布直方由频率分布表绘制而成，所以频率分布表求法和频率分布直方图方法一样。
频率分布表或频率分布直方图求百分位数的步骤：
1．计算数据中小于A 的频率之和为a
2．计算数据中小于B 的频率之和为b
3．确定第p百分位数所在分组为[A，B )
计算的关键：假定数据在区间内是均匀分布的
特别地，在频率分布直方图中，第p百分位数左侧的长方形面积之和等于p %.
【设计意图】经历不同形式下的数据求第p百分位数的方法，用统计工具解决统计问题，并用所学知识解决实际问题，进一步体会百分位数的统计含义.经历数据分析的基本过程，提高学生分析问题和解决问题的能力．对实际问题做出决策，进一步体会用样本估计总体的统计思想，感受统计思维与确定性思维的差异.
典例分析：
例2：某棉纺厂为了了解一批棉花的质量，从中随机抽取了100根棉花纤维的长度(棉花纤维的长度是棉花质量的重要指标)，所得数据都在区间[5,40]中，其频率分布直方图如图所示，估计棉花纤维长度的样本数据的75%分位数是（ ）mm
解析：棉花纤维的长度在25 mm以下的比例
(0.01＋0.01＋0.04＋0.06)×5＝0.60＝60%，
在30 mm以下的比例为60%+0.05×5＝85%，
因此，75%分位数一定位于[25,30)内，
可以估计棉花纤维的长度的样本数据的75%分位数是28 mm.
例3：某年级120名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒和18秒之间。将测试结果制作成如下频率分布表，则成绩的70%分位数约为 秒。
解析：成绩小于16秒的频率是0.05+0.15+0.35=0.55.
成绩小于17秒的频率是0.55+0.3=0.85
所以70%分位数在区间[16,17)内，得成绩的70%分位数约是16.5秒
【设计意图】通过具体的例题，让学生更好的理解连续型数据求百分位数的方法。
三、课堂小结
1.第P百分位数定义
一般地，一组数据的第p百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有p%的数据小于或等于这个值，且至少有（100-p）%的数据大于或等于这个值.
2.用原始数据求百分位数（求离散型数据百分位数）
①按从小到大排列原始数据．
②计算i＝n×p%.
③若i不是整数，而大于i的比邻整数为j，则第p百分位数为第j项数据；
若i是整数，则第p百分位数是第i项与第(i＋1)项数据的平均数．
3.用频率分布表、频率分布直方图求百分位数（求连续型数据的百分位数）
（1）计算数据中小于A 的频率之和为a
（2）计算数据中小于B 的频率之和为b
（3）确定第p百分位数所在分组为[A，B )
在本节课中，我们体验了如何将实际问题抽象成数学问题，然后利用统计知识很好的解决了实际问题，让我们更深的感受到了数学是源于生活，寓于生活，更是用于生活。
四、课后练习
练习1.从某珍珠公司生产的产品中，任意抽取12颗珍珠，得到它们的质量(单位：g)如下：
7.9，9.0，8.9，8.6，8.4，8.5，8.5，8.5，9.9，7.8，8.3，8.0.
(1)分别求出这组数据的第25，50，95百分位数；
(2)请你找出珍珠质量较小的前15%的珍珠质量；
(3)若用第25，50，95百分位数把公司生产的珍珠划分为次品、合格品、优等品和特优品，依照这个样本的数据，给出该公司珍珠等级的划分标准.
练习2.从某校随机抽取100名学生，获得了他们一周课外阅读时间(单位：h)的数据，整理并绘制出如下的频数分布表：
估计本校学生的一周课外阅读时间的第80百分位数为________．(精确到0.1)

练习3.某厂对一批产品进行抽样检测,抽检产品净重(单位:克)的频率分布直方图如图所示,估计抽检产品净重第95百分位数是( )
A.84.7 B.84.9 C.85 D.85.3