数学人教版空间直线表格教案

这是一份数学人教版空间直线表格教案，共3页。教案主要包含了复习回顾，情境引入，学以致用，深化理解，借助“事实”，证明定理，课堂小结，总结提升等内容，欢迎下载使用。
课程基本信息
学科
数学
年级
高一年级
学期
秋季
课题
8.5.1 直线与直线平行
教科书
书 名：数学必修第二册（A版）
出版社：人民教育出版社 .7月
教学目标
1.能通过类比平面内平行的传递性猜想空间中平行的传递性，并通过折纸实验或书脊和书边位置关系等加以检验，会用平行的传递性解决简单的空间几何问题.
2.能通过类比平面等角定理猜想出空间等角定理，并利用平行的传递性加以证明.
3.在平行的传递性与等角定理的形成与应用过程中，感悟类比和转化的数学思想方法，培养学生的观察、分析、推理和解决问题的能力，发展直观想象和逻辑推理等数学核心素养.
教学内容
本节课位于人教A版普通高中教科书数学必修第二册第八章第五节，是基本事实1、基本事实2和基本事实3的延续，内容包括平行的传递性即基本事实4和等角定理. 本节课的基本事实4与基本事实1、2、3构成了立体几何逻辑推理的基础，是空间中判断直线与直线平行、平面与平面平行的依据；空间等角定理是确定异面直线所成角、二面角的平面角的理论基础.
本节课的教学重点：
本节课的重点是两个平面上的概念迁移到空间中：一是平行的基本属性迁移，即平行线的传递性；二是平移的性质迁移，即等角定理.
本节课的教学难点：
等角定理是高中立体几何中进行证明的第一个定理，相较于初中的学习，思维上有明显的跳跃性，所以将等角定理得证明定为本节课的重点.
教学过程
一、复习回顾，情境引入
教师从生活中的实例出发，通过课件展示铁轨、马路两旁的树木、双杠等图片，引导学生观察并思考这些现象中的共同特征——即两条线（或物体）在同一平面内且保持一定的距离平行延伸。通过这些实例，进一步巩固直线平行的直观认识，激发学生的学习兴趣和探究欲望。
类比猜想，形成“事实”
问题1 在平面几何的学习中，我们知道，平行于同一条直线的两直线平行. 在空间中是否也有类似的结论?
活动一：把书打开直立在桌面，观察书脊与书本各页的另一边所在的直线，它们平行吗？
活动二：请同学们准备一张矩形纸片，多次对折然后展开，观察打开得到的折痕平行吗？将矩形纸折成矩形立体，讨论直线之间是否平行.
学生在教师的引导下直观感知、操作确认，进而归纳、概括出基本事实4.
教师提问：“你能用三种数学语言（图形语言、文字语言和符号语言）表达所观察到的结论吗？”
图形语言：如图1所示.
文字语言：平行于同一直线的两条直线平行.
符号语言：，，那么.
性质：平行线的传递性。

图1 图2
三、学以致用，深化理解
例1 如图2，空间四边形中，，，，分别是，，，的中点. 求证：四边形是平行四边形.
教师追问：“什么是空间四边形？它与平面四边形有何不同？”学生对空间四边形的认识相对陌生，因此借助追问，引发学生对空间四边形的思考，然后借助GeGebra动态展示将一个平面四边形沿着对角线折起的过程，为解决例题搭设台阶. 接着引导学生从平行四边形的判定出发，要证明四边形是平行四边形，只需证明它的一组对边平行且相等，构造第三个几何量（连接），再利用三角形的中位线性质和平行的传递性解决问题.
变式1 在例1的基础上，加上条件，那么四边形是什么形状？
变式2 在例1的基础上，加上条件，那么四边形是什么形状？
教师进一步追问：证明空间两直线平行的方法有哪些？教师引导学生总结梳理判定两直线平行的方法有①定义法：即证明两条直线在同一个平面内且两直线没有公共点；②利用平面图形的有关平行的性质，如三角形中位线，梯形，平行四边形等关于平行的性质；③利用基本事实4：找到一条直线，使所证的直线都与这条直线平行．把新知识纳入已有的知识结构，进一步从整体性的视角审视两直线平行的判定.
四、借助“事实”，证明定理
本环节明线是类比平面几何中的等角定理，暗线是思维线：基本事实4研究三条平行线间的关系，而等角定理研究的是两对平行线之间的关系.
教师导语：“刚刚我们研究了三条平行线间的关系，现在研究与平行相关的两对平行线（即四条直线）之间的关系.”
问题2 在平面内，如果一个角的两条边与另一个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或者互补. 在空间中（如图3、图4），这一结论是否成立？

图3 图4
学生容易猜得结论，但对此的证明大多停留在初中平面几何的知识上，他们能想到平行线中的同位角、内错角等知识，但发现现在要证明的两个角不在同一平面内，于是学生又不难想到利用三角形全等来证明. 基于此，教师进行如下引导.
教师追问：“以图3为例，如何构造以这两个角为对应角的全等三角形？”在此问题的引导下，学生不难想到分别在和的两边上截取、和、，使得，，连接，（如图5）.

图5 图6
教师继续引导：“要证明，需要利用三角形全等的判定定理（、、），但不论用哪个定理，都要建立这两个三角形之间的联系，因此我们需要连接、、（如图6）.”教师借助GeGebra演示定理的证明，对于图4的情形同理可证. 至此，本节课的难点得以突破.
教师提问：“请用三种数学语言（图形语言、文字语言和符号语言）表示等角定理？”
五、课堂小结，总结提升
问题3 本节课我们主要学习了哪些知识，是如何获得这些知识的?
问题4 我们把平面几何中的“平行的传递性”和“等角定理”推广到了空间中，平面几何中的其他结论也可以类比到空间中吗？
充分让学生思考、小组讨论，师生共同概括，得到思维导图（如图7）.平面中
平行的传递性
类比
基本事实4：研究3条平行线的关系
等角定理：研究与平行相关的两对平行线间的关系
直观想象
平面中
等角定理
推广
逻辑推理
图7