广东省深圳市龙岗实验学校2025-2026学年九年级下学期开学数学试卷（含解析）

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一．选择题（共8小题）
一、选择题（共8小题，每题3分，共24分）
1．【答案】B
【解答】解：从左边看，是一个矩形，矩形中部靠下有一条横向的虚线．
故选：B．
2．【答案】A
【解答】解：由题意得，a＝1，b＝2，c＝﹣1，
∴Δ＝b2﹣4ac＝22﹣4×1×（﹣1）＝8＞0．
∴方程x2+2x﹣1＝0有两个不相等的实数根．
故选：A．
3．【答案】D
【解答】解：如图，在Rt△ACE中，CE＝BD＝21m，∠ACE＝53°，tan∠ACE=AECE，
∴AE＝CE•tan53°≈28（cm），
∴EB＝CD＝1.8m，
∴AB＝AE+EB＝29.8（m），
故选：D．
4．【答案】A
【解答】解：由题知，
因为反比例函数解析式为y=−4x，
所以反比例函数图象上点的横纵坐标的积为﹣4．
因为﹣4×1＝﹣4，﹣4×（﹣1）＝4，﹣2×（﹣2）＝4，2×2＝4，
所以只有A选项符合题意．
故选：A．
5．【答案】A
【解答】解：由题意可得：
PBAP=APAB=5−12，
即AP40=5−12，
∴AP=205−20，
故选：A．
6．【答案】C
【解答】解：连接OA，OB，
∵PA，PB分别切⊙O于A，B两点，
∴∠PAO＝∠PBO＝90°，
∵∠P＝50°，
∴∠AOP＝360°﹣90°﹣90°﹣50°，
∴∠AOB＝130°，∵AB=AB，
∴∠ACB＝65°，
故选：C．
7．【答案】B
【解答】解：已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，
根据二次函数图象可知，开口向上，
则a＞0，
由于该函数图象与y轴负半轴有交点，
则c＜0，
由图可知，对称轴为直线x=−b2a=1＞0，
则b＝﹣2a＜0，
故abc＞0，故A错误；
∵b＝﹣2a，
∴2a﹣b＝4a＞0，故C错误；
由图象可知，当x＝2时，对应的函数值在x轴下方，
则4a+2b+c＜0，
故B正确，
根据图片可知，当x＝2时，y＜0，当x＝3时，y＞0，
所以D错误，不符合题意，
故选：B．
8．【答案】D
【解答】解：∵∠ACB＝90°，BC＝4，
∴B点纵坐标为4，
∵点B在反比例函数y=12x的图象上，
∴当y＝4时，x＝3，即B点坐标为（3，4），
∴OC＝3．
在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝4，
∴AB＝2BC＝8，AC=3BC＝43，OA＝AC﹣OC＝43−3．
设AB与y轴交于点D．
∵OD∥BC，
∴ODBC=OAAC，即OD4=43−343，
解得OD＝4−3，
∴阴影部分的面积是：12（OD+BC）•OC=12（4−3+4）×3＝12−323．
故选：D．
二、填空题（共5小题，每题3分，共15分）
9．【答案】1
【解答】解：∵xy=2，
∴x−yy=xy−1＝2﹣1＝1．
故答案为：1．
10．【答案】y＝﹣（x﹣7）2+4．
【解答】解：由题知，
将抛物线y＝﹣（x﹣2）2+1向上平移3个单位长度后，所得抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣2）2+4，
再向右平移5个单位长度后，得到新抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣7）2+4．
故答案为：y＝﹣（x﹣7）2+4．
11．【答案】16．
【解答】解：根据题意，可估计摸到红球的概率为20%，
∵袋中球的总个数约为4÷20%＝20（个），
∴n＝20﹣4＝16．
故答案为：16．
12．【答案】23
【解答】解：如图，连接FG，
由题意得BF＝BG＝CD＝CE，FG＝DE，
∴△BFG≌CDE（SSS），
由作图即可得，∠ABH＝∠ACB，
又∵∠A＝∠A，
∴△ABH∽△ACB，
∴AHAB=ABAC，
∵H是AC的中点，
∴AC＝2AH，
∴2AH2＝AB2＝（6）2，
∴AH=3，
∴AC＝2AH＝23，
故答案为：23．
13．【答案】3−12
【解答】解：设BC与D′F交于点K．CF＝a，D′K＝b，
∵四边形ABCD是菱形，∠A＝60°，
∴∠C＝60°，∠D′＝∠D＝120°，
∵KF⊥CD，
∴∠KFC＝90°，
∴∠FKC＝∠BKD′＝30°，
∴∠KBD′＝180°﹣∠D′﹣∠BKD′＝30°，
∴BD′＝b，BK=3b，KC＝2a，KF=3a，
∵BC＝CD＝D′F+CF，
∴3b+2a＝b+3a+a，
∴（3−1）a＝（3−1）b，
∴a＝b，
∴CFDF=a3a+a=3−12，
故答案为3−12．
三、解答题（共7题，共61分）
14．【答案】1．
【解答】解：8−6sin45°+|1−2|+(12)−1
＝22−6×22+2−1+2
＝22−32+2−1+2
＝1．
15．【答案】（1）x1＝﹣4，x2＝2；
（2）x1=2+73，x2=2−73．
【解答】解：（1）x（x+4）＝2x+8，
x（x+4）﹣2（x+4）＝0，
（x+4）（x﹣2）＝0，
x+4＝0或x﹣2＝0，
解得x1＝﹣4，x2＝2；
（2）3x2﹣4x﹣1＝0，
∵a＝3，b＝﹣4，c＝﹣1，
∴b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣4×3×（﹣1）＝28＞0，
∴x=−b±b2−4ac2a=4±286=2±73，
∴x1=2+73，x2=2−73．
16．【答案】（1）14；
（2）16．
【解答】解：（1）∵有四张分别印有《浪浪山小妖怪》角色图案的卡片：A．猪妖，B．蛤蟆精，C．黄鼠狼精，D．猩猩怪，搅匀后从中任意取出一张卡片，
∴取出的卡片图案为“B．蛤蟆精”的概率为14，
故答案为：14；
（2）列表如下：
共有12种等可能的结果，其中选中“A．猪妖”和“D．猩猩怪”的结果有2种，即DA、AD，
∴选中“A．猪妖”和“D．猩猩怪”的概率为212=16．
17．【答案】（1）证明过程见解析；
（2）9．
【解答】（1）证明：连接OC．
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA，
∵AC平分∠DAB，
∴∠CAD＝∠CAB，
∴∠DAC＝∠ACO，
∴AD∥OC，
∵AD⊥DE，
∴OC⊥DE，
∴直线CE是⊙O的切线；
（2）解：连接BC，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠ADC＝∠ACB，
∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC＝∠CAB，
∴cs∠CAD＝cs∠CAB=23，
在Rt△ACD中，AD＝4，
∴ADAC=23，
∴AC＝6，
在Rt△ABC中，ACAB=23，
∴AB＝9．
18．【答案】任务一：（48﹣3x），9≤x＜16；
任务二：10米；
任务三：189平方米．
【解答】解：任务一：墙最大可利用长度为21米．菜地中间用篱笆隔开，在BC边上设计了两个宽度为1米的小门，
设菜地的宽AB为x米，则AB＝EF＝CD＝x米，
∵由题意可得一共用了46米长的篱笆．
∴BC＝46﹣3x+2＝（48﹣3x）米，
∵墙最大可利用长度为21米，BC＝AD，
∴0＜48﹣3x≤21，
解得：9≤x＜16．
任务二：∵BC＝48﹣3x，AB为x米，围成的菜地面积为180平方米，
∴x（48﹣3x）＝180，
整理得，x2﹣16x+60＝0，
解得：x1＝6，x2＝10，
∵9≤x＜16，
∴x＝10，
∴此时的宽AB为10米．
任务三：设这块菜地的面积S，
∴S＝x（48﹣3x）＝﹣3（x﹣8）2+192，
∵﹣3＜0，
∴抛物线开口向下，对称轴为直线x＝8，当x≥8时，S随x的增大而减小，
∵9≤x＜16，
∴当x＝9时，S取得最大值，最大值为﹣3（9﹣8）2+192＝189（平方米），
∴这块菜地的最大面积为189平方米．
19．【答案】（1）y=12x+1；（答案不唯一）；
（2）设OB＝3a，
∵AB⊥x轴于点B，
∴∠ABO＝90°，
∵点C在y=13x图象上，点A在y＝3x图象上，
∴C点纵坐标为a，A点纵坐标为9a，
∴A（3a，9a），C（3a，a），
∴AB＝9a，BC＝a，
∴OBBC=3aa=3，ABOB=9a3a=3，
∴OBBC=ABOB，
∵∠ABO＝∠OBC，
∴△AOB∽△OCB；
（3）PQOQ是定值，为34，
理由：由y=34x+d得，当x＝0时，y＝d，
∴与y轴相交于点P（0，d），
由y=34x+dy=43x，
解得：x=127dy=167d，
∴Q(127d，167d)，
∴PQ=(0−127d)2+(d−167d)2=157|d|，OQ=(0−127d)2+(0−167d)2=207|d|，
∴PQOQ=157|d|207|d|=1520=34．
【解答】（1）解：由定义可得，y＝2x﹣3的一个互倒一次函数为y=12x+1，
故答案为：y=12x+1（答案不唯一）；
（2）证明：设OB＝3a，
∵AB⊥x轴于点B，
∴∠ABO＝90°，
∵点C在y=13x图象上，点A在y＝3x图象上，
∴C点纵坐标为a，A点纵坐标为9a，
∴A（3a，9a），C（3a，a），
∴AB＝9a，BC＝a，
∴OBBC=3aa=3，ABOB=9a3a=3，
∴OBBC=ABOB，
∵∠ABO＝∠OBC，
∴△AOB∽△OCB；
（3）解：PQOQ是定值，为34，
理由：由y=34x+d得，当x＝0时，y＝d，
∴与y轴相交于点P（0，d），
由y=34x+dy=43x，
解得：x=127dy=167d，
∴Q(127d，167d)，
∴PQ=(0−127d)2+(d−167d)2=157|d|，OQ=(0−127d)2+(0−167d)2=207|d|，
∴PQOQ=157|d|207|d|=1520=34．
20．【答案】（1）AD⊥BE，AD＝BE，理由见解析；
（2）BE＝mAD，AD⊥BE，证明见解析；
（3）①y与x的函数表达式为y＝x2﹣62x+36（0＜x≤62），y的最小值为18；
②AD＝42或22．
【解答】解：（1）AD⊥BE，AD＝BE，
理由：∵CECD=CBCA=1，
∴CE＝CD，CB＝CA，
∵∠ACB＝∠DCE＝90°，
∴∠A＝∠ABC＝45°，∠ACD＝∠BAE，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD＝BE，∠A＝∠CBE＝45°，
∴∠ABE＝90°，
∴AD⊥BE；
故答案为：AD⊥BE，AD＝BE；
（2）BE＝mAD，AD⊥BE，
证明：∵∠ACB＝∠DCE＝90°，
∴∠ACD＝∠BCE，
∵CECD=CBCA=m，
∴△ADC∽△BEC，
∴BEAD=BCAC=m，∠CBE＝∠A，
∴BE＝mAD，
∵∠A+∠ABC＝90°，
∴∠CBE+∠ABC＝90°，
∴∠ABE＝90°，
∴AD⊥BE；
（3）①连接CF交DE于O，
由（1）知，AC＝BC＝6，∠ACB＝90°，
∴AB＝62，
∴BD＝62−x，
∵AD＝BE＝x，∠DBE＝90°，
∴DE2＝BD2+BE2＝（62−x）2+x2，
∵点F与点C关于DE对称，
∴DE垂直平分CF，
∴CE＝EF，CD＝DF，
∵CD＝CE，
∴CD＝DF＝EF＝CE，
∵∠DCE＝90°，
∴四边形CDFE是正方形，
∴y=12DE2=12[（62−x）2+x2]，
∴y与x的函数表达式为y＝x2﹣62x+36（0＜x≤62），
∵y＝x2﹣62x+36＝（x﹣32）2+18，
∴y的最小值为18；
②过D作DH⊥AC于H，
则△ADH是等腰直角三角形，
∴AH＝DH=22AD=22x，
∴CH＝6−22x，
连接OB，
∴OB＝OE＝OD＝OC＝OF，
∴OB=12CF，
∴∠CBF＝90°，
∵BC＝6，BF＝2，
∴CF=BC2+BF2=210
∴CD=22CF＝25，
∵CH2+DH2＝CD2，
∴（6−22x）2+（22x）2＝（25）2，
解得x＝42或x＝22，
∴AD＝42或22．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
B
A
D
A
A
C
B
D
A
B
C
D
A
（A，B）
（A，C）
（A，D）
B
（B，A）
（B，C）
（B，D）
C
（C，A）
（C，B）
（C，D）
D
（D，A）
（D，B）
（D，C）