广东省深圳市2024-2025学年九年级下学期开学考 数学试题（含解析）

这是一份广东省深圳市2024-2025学年九年级下学期开学考 数学试题（含解析），共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 如图是型磁铁示意图，它的俯视图是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图；注意看得到的棱画实线，看不到的棱画虚线．
根据俯视图的定义即可确定．
【详解】解：从上往下看，是一个大长方形，左右两侧有两个小长方形，中间的棱看得见，为实线，
故选：D．
2. 在直角中，，，，求为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据锐角三角函数的概念和勾股定理求解，根据题中所给的条件，在直角三角形中解题，根据角的正弦值与三角形边的关系及勾股定理，然后再代入三角函数进行求解，最后求出面积及的值．
【详解】解：由，，
得出：，
由勾股定理得出：，
．
故选：D．
【点睛】本题考查了解直角三角形的能力，还考查解直角三角形的定义，由直角三角形已知元素求未知元素的过程，还考查了直角三角形的性质．
3. 下列有关特殊平行四边形的性质说法正确的是（ ）
A. 菱形的对角线相等B. 矩形的对角线互相垂直
C. 菱形的四个角相等D. 正方形的对角线互相垂直平分且相等
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了菱形的性质、矩形的性质、正方形的性质，根据相关概念，对选项进行判断，即可解题．
【详解】解：A、菱形的对角线互相垂直，不一定相等，所以A项错误，不符合题意．
B、矩形的对角线相等且平分，不一定互相垂直，所以B项错误，不符合题意．
C、菱形的四个角不一定相等，所以C项错误，不符合题意．
D、正方形的对角线互相垂直平分且相等，正确，符合题意．
故选：D．
4. 关于抛物线，下列说法中错误的是（ ）
A. 顶点坐标为
B. 对称轴是直线
C. 当时，y随x的增大而减小
D. 开口方向向上
【答案】C
【解析】
【分析】由二次函数解析式可得抛物线开口方向及顶点坐标，进而求解．
【详解】解：∵，
∴抛物线开口向上，顶点坐标为，对称轴为直线，
∴时，y随x的增大而增大．
故选：C．
【点睛】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系．
5. 如图，矩形纸片的长，宽分别为两边的中点．若将这张纸片沿着直线对折，得到的两个矩形与原矩形均相似，则等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了相似多边形的性质“相似多边形的对应角相等，对应边成比例”，熟练掌握相似多边形的性质是解题关键．先根据题意可得矩形与矩形相似，再根据相似多边形的性质可得，由此即可得．
【详解】解：∵矩形纸片的长，宽，分别为两边的中点，
∴，四边形是矩形，
∵将矩形纸片沿着直线对折，得到的两个矩形与原矩形均相似，
∴矩形与矩形相似，
∴，即，
∴，
又∵均为正数，
∴，
∴，
故选：A．
6. 某个亮度可调节的台灯，其灯光亮度的改变，可以通过调节总电阻控制电流的变化来实现，如图所示的是该台灯的电流与电阻的关系图象，该图象经过点．根据图象可知，下列说法正确的是（ ）
A. 当时，B. 当时，
C. 当时，D. 当时，
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数的应用，根据题意求出函数表达式，根据函数表达式结合图象即可完成求解．
【详解】解：设反比例函数的解析式为，
把点P坐标代入得：，解得：，
即函数解析式为：，
当时，即，解得：；故A不正确；
当时，即，解得：；故B不正确；
∵，
∴在第一象限，随着的增大而减小，
∴当时，，故C错误，
当时，，故D正确，
故选：D
7. 二次函数的图象如图所示，对称轴是直线，下列结论：①；②；③；④．其中正确的是（ ）
A. ①③④B. ②③④C. ①②③D. ①②③④
【答案】D
【解析】
【分析】根据二次函数的图象与性质即可求出答案．
【详解】解：①由图象可知：，
，故①正确；
②由抛物线与轴的图象可知：，
，故②正确；
③由图象可知：，，
，故③正确；
④，
，
，故④正确，
综上所述，正确的结论是①②③④．
故选：D．
【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，解题的关键是熟练运用数形结合的思想，本题属于中等题型．
8. 如图，在中平分，按以下步骤作图：第一步分别以点A、D为圆心，以大于的长为半径在两侧作弧，交于两点M、N；第二步，连接分别交于点E、F；第三步，连接，若，，，则的长是（ ）
A. 3B. 4C. 5D. 6
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了作图-基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了线段垂直平分线的性质、相似三角形的判定与性质．
由基本作图得到垂直平分，则，，，再根据等腰三角形三线合一得到，则可判断四边形为菱形，所以，然后根据相似三角形的判定与性质可计算出．
【详解】解：由作法得垂直平分AD，
，，，
平分，
，
，
∴四边形为菱形，
，
，
，
，
，
解得：，
．
故选：B．
二、填空题（共5小题，每题3分，共15分）
9. 已知，则___________．
【答案】##0.2
【解析】
【分析】由比例的基本性质得：，把x的代数式代入即可求得值．
【详解】解：由条件得：，则，
故答案为：．
【点睛】本题考查了比例的基本性质及求代数式的值，运用比例的基本性质是关键．
10. 已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是_________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查的是根据方程有实数根的情况求参数，根据方程有实数根，则根的判别式，即可列出关于的不等式，求出的取值范围即可．对于一元二次方程“（a、b、c是常数，且）”中，当时方程有两个不相等的实数根，当时方程有两个相等的实数根，当时方程没有实数根，据此列出不等式，求解即可．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程有实数根，
∴，
即，
解得．
故答案为：．
11. 如图，四边形ABCD是边长为cm的菱形，其中对角线BD的长为2cm，则菱形ABCD的面积为 _____cm2．
【答案】4
【解析】
【分析】首先根据菱形的性质可得BO＝DO，AC⊥DB，AO＝CO，然后再根据勾股定理计算出AO长，进而得到答案．
【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴BO＝DO，AC⊥DB，AO＝CO，
∵BD＝2cm，
∴BO＝1cm，
∵AB＝cm，
∴AO＝
＝＝2（cm），
∴AC＝2AO＝4cm．
∴S菱形ABCD＝（cm2）．
故答案为：4．
【点睛】本题考查了菱形的性质以及勾股定理；解题的关键是熟悉菱形的面积公式和直角三角形三边之间的关系．
12. 如图，在某校的2022年新年晚会中，舞台的长为20米，主持人站在点处自然得体，已知点是线段上靠近点的黄金分割点，则此时主持人与点的距离为 __米．
【答案】##
【解析】
【分析】本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割点的定义是解题的关键．由黄金分割点的定义得，再代入的长计算即可．
【详解】解：点是线段上靠近点黄金分割点，米，
（米，
故答案为：．
13. 如图，直线y＝x﹣2交双曲线y（x＞0）于点A，交x轴于点B，直线y＝3x交双曲线y（x＞0）于点C，若OA＝OC，则k的值为 _____．
【答案】3
【解析】
【分析】设C（m，3m），A（n，n−2），根据勾股定理得到OC2，OA2，由OA＝OC及A，C在双曲线y（x＞0）上，推出k＝2k＋4，即可得到结论．
【详解】解：设C（m，3m），A（n，n−2），
∴OC2＝m2＋（3m）2，OA2＝n2＋（n−2）2，
∵OA＝OC，
∴m2＋（3m）2＝n2＋（n−2）2，即10m2＝2n2−4n+4，
∵A，C在双曲线y（x＞0）上，
∴m•3m＝k，n（n−2）＝k，即m2＝，n2－2n＝k，
∴k＝2k＋4，
∴k＝3，
故答案为：3．
【点睛】本题考查了一次函数和反比例函数的交点问题，函数的图象，主要考查学生的理解能力和计算能力，难度适中．
三、解答题（共6小题）
14. （1）计算：
（2）解方程：
【答案】（1） ；（2）
【解析】
【分析】（1）实数的混合运算，分别计算负整数指数幂，锐角三角函数，化简二次根式，零指数幂，然后在进行计算；（2）用因式分解法解一元二次方程.
【详解】解：（1）
=-1
（2）
∴
【点睛】本题考查负整数指数幂，锐角三角函数，化简二次根式，零指数幂的计算以及解一元二次方程，掌握运算法则正确计算是本题的解题关键.
15. 某中学全校学生参加了“交通法规”知识竞赛，为了解全校学生竞赛成绩的情况，随机抽取了一部分学生的成绩，分成四组：A：60≤x＜70；B：70≤x＜80；C：80≤x＜90；D：90≤x≤100，并绘制出如图不完整的统计图．
解答下列问题：
（1）本次调查的学生共有 人．
（2）求被抽取的学生成绩在C：80≤x＜90组的有多少人？并补齐条形统计图．
（3）学校要将D组最优秀的4名学生分成两组，每组2人到不同的社区进行“交通法规”知识演讲．已知这4名学生1名来自七年级，1名来自八年级，2名来自九年级，请用列表或画树状图的方法，求九年级的2名学生恰好分在同一个组的概率．
【答案】（1）80 （2）32人，图见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）用学生成绩在B：70≤x＜80组的人数除以20%，即可求解；
（2）先求出学生成绩在C：80≤x＜90组的人数，即可求解；
（3）把1名来自七年级的学生记为甲，1名来自八年级的学生记为乙，2名九年级学生记为丙、丁，根据题意，画树状图可得共有12种得可能的结果，其中九年级的2名学生恰好分在同一个组的结果有4种，即可求解．
【小问1详解】
解：本次调查的学生共有：16÷20%＝80（人），
故答案为：80；
【小问2详解】
解：被抽取的学生成绩在C：80≤x＜90组的有：80﹣8﹣16﹣24＝32（人），
补全条形统计图如下所示：
小问3详解】
把1名来自七年级的学生记为甲，1名来自八年级的学生记为乙，2名九年级学生记为丙、丁，
根据题意，画树状图如下：
共有12种得可能的结果，其中九年级的2名学生恰好分在同一个组的结果有4种，
∴九年级2名学生恰好分在同一个组的概率为：．
【点睛】本题主要考查了条形统计图和扇形统计图，用树状图或列表法求概率，明确题意，从统计图中准确获取信息是解题的关键．
16. 如图，从楼层底部处测得旗杆的顶端处的仰角是，从楼层顶部处测得旗杆的顶端处的仰角是，已知楼层的楼高为米．求旗杆的高度约为多少米?（参考数据：）
【答案】旗杆的高度约为米．
【解析】
【分析】作于点．可得，在Rt△BCD中解直角三角形即可．
【详解】解：作于点，
由题意可知:，
设，则，
，
即：，
则，
答:旗杆的高度约为米，
【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
17. 如图，点分别在矩形的边上，连接，交对角线于点，．
（1）求证：．
（2）若，求的长．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】本题考查的是矩形的性质、相似三角形的判定与性质．
（1）根据矩形对边平行，有，再证明，可知；
（2）根据勾股定理求出，再根据可得，计算的长即可．
【小问1详解】
证明：∵四边形是矩形，
∴，
∴，
，
，
，
∴，
【小问2详解】
解：在中，
，
，
，
，
，
，
解得：．
18. 某商场将进货价为30元的台灯以40元售出，平均每月能售出600个，调查表明：售价在40元至60元范围内，这种台灯的售价每上涨1元，其销售量就将减少10个，设该商场决定把售价上涨x（）元．
（1）售价上涨x元后，该商场平均每月可售出_____________个台灯（用含x的代数式表示）；
（2）为了实现平均每月10000元的销售利润，这种台灯的售价应定为多少元？这时应进台灯多少个？
（3）台灯售价定为多少元时，每月销售利润最大？
【答案】（1）
（2）这种台灯的售价应定50元，这时应进台灯500个
（3）台灯售价定为60元时，每月销售利润最大
【解析】
【分析】（1）根据“售价每上涨1元，其销售量就将减少10个”，即可解答；
（2）根据总利润=单件利润×数量，列出方程求解即可；
（3）设每月销售利润为W，根据总利润=单件利润×数量，列出函数表达式，化为顶点式，根据二次函数的增减性，即可解答．
小问1详解】
解：售价上涨x元后，该商场平均每月可售出个台灯，
故答案为：；
【小问2详解】
解：，
整理得：，
解得：（舍去），
∴这种台灯的售价为（元），
销售数量为（个），
答：这种台灯的售价应定50元，这时应进台灯500个．
【小问3详解】
解：设每月销售利润为W，
，
∵，
∴当时，W随x的增大而增大，
∵，
∴当时，售价为（元），W取最大值，此时，
答：台灯售价定为60元时，每月销售利润最大．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，二次函数的实际应用，解题的关键是正确理解题意，根据题意找出等量关系，列出方程和函数表达式，熟练掌握二次函数性质．
19. 下图是两个等宽的矩形（）和矩形叠合得到的四边形的部分图形，与和分别交于点D、C．
（1）请用直尺和圆规在图①作出四边形．（不要求写作法，但要保留作图痕迹）；
（2）如图②，若点M与点C关于对称，求的度数；
（3）在（2）的条件下，求的值．
【答案】（1）见解析 （2）的度数为
（3）的值为
【解析】
【分析】（1）以A为圆心，为半径画弧交于点D，以B为圆心，为半径画弧交于点C，然后连接即可；
（2）先说明四边形是菱形可得，再根据轴对称的性质可得，进而得到，最后根据平角的定义即可解答；
（3）先说明是等边三角形可得是等边三角形，再根据轴对称的性质可得，进而证明四边形是菱形，即；再说明，最后根据直角三角形的性质及等量代换即可解答．
【小问1详解】
解：如图：四边形即为所求；
【小问2详解】
解：如图：连接
∵,
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形，
∴
∵点M与点C关于对称，
∴，
∴，
∵，
∴．
【小问3详解】
解：∵,,
∴，
∵
∴是等边三角形，
∴
∵点M与点C关于对称，
∴,
∴，
∴四边形是菱形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质、尺规作图、等边三角形的判定与性质、菱形的判定与性质等知识点，灵活运用相关性质和判定定理成为解题的关键．
20. 在平面直角坐标系中，点在第一象限，过点P作x轴和y轴的平行线，分别交反比例函数的图象于点，点．令，，则称点为点P的“k双曲点”．例如：如图1，当，点P的坐标为时，可得到，，则，，所以点P的“1双曲点”为．
（1）若点的“k双曲点”为点，求k及n的值；
（2）若，
①点P的“1双曲点”为点，求点P的坐标；
②阅读理解：设点P在反比例函数的图象上，则可设，可求得点P的“1双曲点”为点，因为，所以点Q在反比例函数的图象上．
解决如下问题：如图2，设点P在一次函数的图象上，点Q为点P的“1双曲点”，设，，求的最大值．
【答案】（1）；
（2）①；②
【解析】
【分析】（1）根据题意，设点，点．由题意列方程，即可依次求解；
（2）①设，点，点．由点P的“1双曲点”为点，得点，点，进而得方程组，解之即可；
②阅读题中所给例子，设，得点，点，
进而得，点Q在一次函数的图象上，作关于直线的对称点，得，，当，，三点共线时， 的值最大，根据两点间的距离公式即可求解．
【小问1详解】
解：由题意可知：轴，轴，
设点，点．
点，
点，点，
，
，
， ，
；
【小问2详解】
解：①由题意可知：轴，轴，
设，点，点．
点P的“1双曲点”为点，
点，点，
，
，
（负值已舍去），
；
②点P在一次函数的图象上，设，
由题意可知：轴，轴，
设点，点．
点，点，
点Q为点P的“1双曲点”，
，
，
所以点Q在一次函数的图象上，
作关于直线的对称点，
交直线于点D，
作轴于，
设，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
关于直线对称，
，
，
当，，三点共线时，，
此时的值最大，
，
，
即的最大值为．
【点睛】本题主要考查了新定义下反比例函数与一次函数的综合，涉及轴对称及解直角三角形相关知识，理解题意，作出适当的辅助线是正确解答此题的关键．