人教版中考数学 第二讲 勾股定理专题练习

这是一份人教版中考数学 第二讲 勾股定理专题练习，共16页。
【题型1用勾股定理解三角形】
若直角三角形的三边长分别为3，4，x，则x的值为（ ）
A．5B．5或C．D．2
【变式】1．如图，在中，，，，则点C到的距离为（ ）
A．B．5C．3D．4
【变式】2．如图，在长方形中，点E是的中点，且，连接，若，则的长是（ ）
A．B．C．D．
【变式】3．如图，在中，，若，，则的长是( )
A．B．C．D．
【题型2勾股定理与平面直角坐标系】
在平面直角坐标系中，点，则点P到原点的距离为（ ）
A．3B．C．5D．4
【变式】1．点C在第二象限，距离y轴3个单位长度，距离原点个单位长度，则点C的坐标为（ ）
A．B．C．D．
【变式】2．若点，可知，则的最小值为（ ）
A．4B．5C．2D．3
【变式】3．在平面直角坐标系中，为坐标原点．已知点，则线段的长为（ ）
A．3B．4C．5D．7
【题型3勾股树（数）问题】
下列各组数中是勾股数的是（ ）
A．，，B．，，C．，，D．，，
【变式】1．毕达哥拉斯在他找到的勾股数的表达式中，用（n为任意正整数）表示勾股数中最大的一个数，则另外两个数中较小数的表达式是（ ）
A．B．C．D．
【变式】2．如图①，直角三角形的两个锐角分别是和，其三边上分别有一个正方形．执行下面的操作：由两个小正方形向外分别作锐角为和的直角三角形，再分别以所得到的直角三角形的直角边为边长作正方形．图②是次操作后的图形．图③是重复上述步骤若干次后得到的图形，人们把它称为“毕达哥拉斯树”．若图①中的直角三角形斜边长为，则次操作后图形中所有正方形的面积和为（ ）
A．B．C．D．
【变式】3．“勾股树”是以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程所画出来的图形，假设如图分别是第一代勾股树、第二代勾股树、第三代勾股树……依此类推，如果第一个正方形面积为1，则第2026代勾股树中所有正方形的面积和为（ ）
A．1013B．2027C．2026D．2025
【变式】4．我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中，下列各组数中，是勾股数的是（ ）
A．0.3，0.4，0.5B．1，，C．6，8，10D．9，12，13
【题型4勾股定理与网格问题】
如图，网格中小正方形的边长均为，点，，，都在格点上，以点为圆心，为半径画弧，交最上方的网格线于点，连接，则的长为（ ）
A．B．C．D．
【变式】1．中国象棋是中华民族的文化瑰宝，因其趣味性强，深受大众喜爱．如图所示的棋盘是由边长均为1的小正方形组成的，则“车”“炮”两棋子间的距离为（ ）
A．1B．3C．D．
【题型5勾股定理与折叠问题】
如图，将直角三角形纸片沿折叠，使点落在延长线上的点处．若，，则图中阴影部分的面积是（ ）
A．B．C．6D．9
【变式】1．如图，折叠长方形的一边，使点落在边上的点处，若，，则长（ ）
A．B．C．D．
【题型6勾股定理求两条线段的平方和（差）】
如图，在中，，，于点，为上任意一点，则的结果为（ ）
A．7B．33C．231D．569
【变式】1．在中，斜边，则的值为（ ）
A．12B．22C．32D．无法计算
【变式】2．等腰三角形腰长为，底边长为，则底边上的高为（ ）
A．B．C．D．
【题型7验证勾股定理】
下列选项中（图中三角形都是直角三角形），不能用来验证勾股定理的是（ ）
A．B．C．D．
【变式】1．在勾股定理的学习中，我们已经学会了运用如图所示的图形，验证著名的勾股定理，这种根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称为“无字证明”．“无字证明”也可以用于验证数与代数、图形与几何等领域中的许多数学公式和规律．“无字证明”体现的数学思想是（ ）．
A．分类讨论思想B．转化思想C．数形结合思想D．整体思想
【变式】2．下面四幅图中，不能用面积法验证勾股定理的是（ ）
A．B．
C．D．
【变式】3．“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形，如图，大正方形的面积是14，小正方形的面积是4，直角三角形的两直角边分别为，，那么的值是（ ）
A．24B．20C．16D．12
【题型8勾股定理构造图形解决问题】
【模型一 秋千高度问题】
如图，当秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推至处时（即水平距离），踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，则绳索的长是（ ）
A．B．C．D．
【模型二 大树折断模型问题】
如图，《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈等于十尺），虫伤有病，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部3尺远，设竹子折断处离地面的高度为x尺，根据题意，下面所列方程正确的是（ ）
A．B．C．D．
【变式】1.如图，垂直于地面的一木杆在离地12米的A处断裂，木杆顶部B落在离木杆底部C处5米远，则的长为（ ）
A．13米B．12米C．25米D．17米
【变式】2．我国古代数学著作《孙子算经》中有“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，问折者高几何？（1丈10尺），该问题可利用勾股定理求解，折后竹尖离地面的高度为（ ）
A．4.55尺B．5.45尺C．6.45尺D．7.55尺
【模型三 笔筒问题】
如图，一支铅笔放在圆柱体笔筒中，笔筒的内部底面直径是，内壁高．若这支铅笔长为，设这支铅笔在笔筒外面部分长度为x，则x的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【模型四 梯子模型问题】
如图所示，一个梯子长米，顶端A靠在墙上，这时梯子下端B与墙角C距离为米，梯子滑动后停在的位置上，测得长为米，则梯子顶端A下滑了（ ）米．
A．1B．2C．0.5D．2.5
【变式】1．如图，一架长的梯子靠在墙上，梯子底端离墙，如果梯子的顶端下滑，那么梯子的底端将滑动（ ）
A．B．C．D．
【变式】2．一架云梯长25米，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米，如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子的底端在水平方向滑动的距离为（ ）
A．4米B．6米C．8米D．15米
【模型五 旗杆模型问题】
如图，一根垂直于地面的旗杆在离地面的B处撕裂折断，旗杆顶部落在离旗杆底部的A处，则旗杆折断部分的高度是（ ）
A．B．C．D．
【变式】1．如图，要从电线杆离地面5米的点C处向地面拉一根长为13米的钢缆，则地面钢缆固定点A到电线杆底部B的距离为（ ）
A．12米B．11米C．10米D．9米
【模型六 小鸟飞行距离模型问题】
如图，有两棵树，一棵高6米，另一棵高3米，两树相距4米，一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行（ ）
A．6米B．5米C．4米D．3米
【变式】1.如图，有两棵树，一棵高，另一棵高，两树相距，一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，则小鸟至少飞行（ ）
A．B．C．D．
【题型七 航海模型问题】
一艘轮船以海里／小时的速度离开港口向东南方向航行，另一艘轮船在同时同地以海里／小时的速度向西南方向航行，离开港口小时，两艘轮船的距离是（ ）
A．海里B．海里C．海里D．海里
【变式】1.一次游学活动中，小杰从营地出发，沿北偏东方向走了米到达处，然后再沿北偏西方向走了米到达目的地处(如图所示)，那么，两地的距离是( )
A．米B．米C．米D．米
【变式】2.海上巡逻是维护国家海洋权益的有效手段．如图，我军巡逻舰队在点A处巡逻，突然发现在南偏东方向距离15海里的点B处有可疑目标正在以16海里小时的速度沿南偏西方向行驶，我军巡逻舰队立即沿直线追赶，半小时后在点C处将其追上，则我军巡逻舰队的航行速度为（ ）
A．16海里小时B．20海里小时C．32海里小时D．34海里小时
【变式】3.如图，一轮船以16海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行，另一轮船以12海里/时的速度同时从港口A出发向东南方向航行，离开港口2小时后，两船相距（ ）
A．20海里B．40海里C．35海里D．30海里
【题型八 求河宽模型】
如图，某地一游客因赶海涨潮被困在礁石上，消防救援人员利用舟艇接近被困人员，返回岸边时，受水流影响，实际上岸地点比原设定地点偏移了（）．已知舟艇以的速度，用时回到岸边点处，则礁石到河岸的距离为（ ）
A．B．C．D．
【变式】1.如图，某人欲渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点C偏离欲到达的B点，结果他在水中实际游了，则该河的宽度为（ ）
A．B．C．D．
【变式】2.如图，为了测得湖两岸A点和B点之间的距离，嘉淇在C点设桩，使，并测得长米，长米，则A点和B点之间的距离为（ ）米
A．100B．80C．60D．120
【题型九 台阶上地毯长度模型问题】
如图，在高为，坡面长为的楼梯表面铺地毯，则地毯的长至少需要（ ）
A．7mB．C．8mD．
【变式】1.如图是台阶的示意图，已知每个台阶的宽度都是，每个台阶的高度是，则两点之间的距离是（ ）
A．B．C．D．
【变式】2.某台阶的示意图如图所示．已知每个台阶的宽度都是cm，高度都是cm，连接，则（ ）
A．B．C．D．
【题型十 判断是否受台风影响模型】
今年，第十五号台风登陆江苏．如图，A市接到台风警报时，台风中心位于A市正南方向的B处，正以的速度沿方向移动．已知A市到的距离，如果在距台风中心的圆形区域内都将受到台风影响，那么A市经过（ ）个小时开始受到台风影响．
A．B．C．6D．
【题型十一 选址使到两地距离相等模型问题】
如图，公路上A、B两点相距，C、D为两村庄，已知，，于点A，于点B，现要在上建一个服务站E，使得C、D两村庄到E站的距离相等，则E站离A站的距离是（ ）．
A．B．16C．11D．
【变式】1.如图，公路上A、B两点相距，C、D为两村庄，已知，，于A，于B，现要在上建一个服务站E，使得C、D两村庄到E站的距离相等，则的长是（ ）．
A．4B．5C．6D．2
【变式】2.如图铁路上、两点相距千米，、为铁路两边的两个村庄，，，垂足分别为和，千米，千米，现在要在铁路旁修建一个候车点，使得、两村到该候车点的距离相等．则候车点应距点（ ）

A．12千米B．16千米C．20千米D．24千米
【题型9勾股定理解决最短路径问题】
如图，在长为、宽为、高为的长方体上，有一只蚂蚁准备顺着长方体的表面从顶点A处爬到相对的顶点B处．则蚂蚁爬行的最短路程为（ ）
A． B． C． D．
【变式】1.某物流公司的全自动无人机需从仓库出发，向东飞行后，再向北飞行抵达社区配送点，由于中央区域有信号塔障碍，无人机必须严格沿正东、正北方向飞行．若升级后的导航系统支持直线飞行绕过障碍，则从仓库到社区配送点的最短路径为（ ）
A．B．C．D．
【变式】2.如图，透明圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为12cm，底面周长为10cm，在容器内壁离底部3cm的点处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁且离容器上沿3cm的点处，则蚂蚁吃到饭粒需要爬行的最短路程是（ ）
A．13cmB．14cmC．15cmD．16cm
【变式】3.一个底面周长为，高为的圆柱，有一只小虫从底部点A处爬到上底B处，则小虫爬的最短路径长为（ ）．
A．13B．15C．D．18
【题型10勾股定理与无理数、实数与数轴】
如图，的直角边的长为1，将斜边绕点O旋转，如果点B的对应点A落在数轴上，那么点A所表示的实数是（ ）
A．2.2B．C．D．
【变式】1.如图，数轴上点所表示的数为，则的值是（ ）
A．B．C．D．
【题型11判断三边能否构成直角三角形】
小明想做一个直角三角形的木架，下列四组木棒中，刚好能够做成满足要求的木架的是（ ）
A．12，15，17B．，3，C．7，12，15D．3，4，5
【变式】1．下列各组数中，以它们为边长的线段不能构成直角三角形的是（ ）
A．6，8，10B．8，15，17C．1，，2D．2，2，
【题型12利用勾股定理的逆定理求解】
在三角形ABC中，若，则（ ）
A．B．C．D．无法确定
【变式】1．如图，正方形的面积为100，点E在正方形内，，，则阴影部分的面积是（ ）
A．48B．60C．76D．80
【变式】2．如图，在中，，，边的垂直平分线分别交、于点、，连接，若的周长为28，则的长为（ ）
A．3.5B．4C．4.5D．5
【变式】3．如图，在中，，且周长为．点从点开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动．如果，两点同时出发，那么经过3s，的面积为（ ）
A．B．C．D．
【变式】4．如图，一块四边形地，已知，，，，，则这块地的面积为（ ）
A．B．C．D．
【变式】5．我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这样一道题：“问有沙田一块，有三斜，其中小斜五里，中斜十二里，大斜十三里，欲知为田几何？”这道题讲的是：有一块三角形沙田，三条边长分别为5千米，12千米，13千米，问这块沙田面积有多大？则该沙田的面积为（ ）平方千米．
A．15B．30C．75D．60