2026年江苏扬州高三数学3月高考一模试卷含答案

这是一份2026年江苏扬州高三数学3月高考一模试卷含答案，共11页。
2. 回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡上对应题目的答案杯号法黑如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题上指定位置上, 在其他位置作答一律无效,
3. 本卷满分为 150 分, 考试时间为 120 分钟, 考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项中, 只 有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合 A={1,2,3,4},B=x∣lg2x−1≤2 ，则 A∩B 的子集个数为( )
A. 32 B. 16 C. 8 D. 4
2. 若复数 z 满足 1−iz=3−2i ，则 z 的虚部为( )
A. 52 B. −52 C. 12 D. 12i
3. x2+1x2−23 展开式中的常数项为( )
A. 20 B. -20 C. -12 D. -8
4. 若 e1,e2 是夹角 120∘ 的单位向量，则 a=2e1+e2 和 b=e2−2e1 夹角余弦值是( )
A. −217 B. 217 C. 2114 D. −35
5. 用1,2,3,4,5,6组成六位数 (没有重复数字),在任意相邻两个数字的奇偶性不同的条件下，1 和 2 相邻的概率是( )
A. 518 B. 49 C. 59 D. 1318
6. 已知数列 an 为等差数列， a2,a7 为函数 fx=12x2+lnx−3x+1 的两个极值点，则 a4+a5= ( )
A. 1 B. 3 C. 5
D. 3+52
7. 已知函数 fx=cs3x−cs2x,x∈0,π ,若 fx 有两个零点 x1,x2x10,b>0 的右焦点为 F ，过点 F 且斜率为 kk≠0 的直线 l 交双曲线于 A、B 两点，线段 AB 的中垂线交 x 轴于点 D . 若 AB≥3DF ，则双曲线的离心率取值范围是( )
A. 1,233 B. 1,3 C. [3,+∞) D. 233,+∞
二、选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的选项中, 有多项 符合题目要求. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 一组数据 x1,x2,x3,⋯,x10 满足 xl−xl−1=22≤i≤10 ,若去掉 x1,x10 后组成一组新数据. 则新数据与原数据相比( )
A. 极差变小 B. 平均数变大 C. 方差变小 D. 第 25 百分位数变小 10. 在正三棱柱 ABC−A1B1C1 中，各棱长均为 1, D 为 BC 的中点，则()
A. AD⊥DC1 B. BC1⊥ 平面 AB1C
C. VD−AB1A1=112 D. 三棱柱 ABC−A1B1C1 外接球表面积为 73π
11. 若 lgab>0a>0且a≠1 ,若 blgb+1b
三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 已知圆柱 Γ1 与圆锥 Γ2 的高比值为 3 ,底面半径比值为 22 ,若圆锥 Γ2 体积为 1, 则圆柱 Γ1 的体积为_____.
13. 抛物线 x2=2y 上距离点 A0,aa>0 最近点也是其顶点，则 a 的取值范围是_____.
14. 定义: x 是不大于 x 的最大整数, {x} 是不小于 x 的最小整数,设函数 fx={xx} 在定义域 [0,n)n∈N∗ 上值域为 Cn ,记 Cn 元素个数为 an ,则 1a1+1a2+⋯+1an=
四、解答题:本大题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(13分)

如图，P为圆锥的顶点，O为圆锥底面的圆心，AB 为底面直径，四边形 POBC 是梯形,且 PC//OB,PC=12OB=1,OP=22 , D 为圆 O 上一点.
(1)若点 M 在线段 AD 上，且 AM=3MD ，求证: PM ∥平面 CDB:
(2)当直线 PD 与平面 PAB 所成的角为 30∘ 时，求二面角 A−PD−B 的正弦值.
16.(15分)
近年来某App 用户保持连续增长，若李明收集了2020~2024年的年份代码 xx=1,2,3,4,5 与该App在线用户数 y (单位: 万) 的数据,具体如下表所示:
(1)求样本相关系数 r，并判断变量 x 与 y 之间的线性相关关系的强弱；
(2)从2020~2024年中随机抽取三个不同年份所对应的在线用户数据 y ，记最小的数据为 X ,求 X 的分布列及数学期望 EX .
注: 样本相关系数 r=i=1nxi−xyi−yi=1nxi−x2i=1nyi−y2 . 当 r 越接近 1 时,成对样本数据的线性相关程度越强; 当 r 越接近 0 时,成对样本数据的线性相关程度越弱. 其中, i=15xi2−5x2i=15yi2−5y2≈553.
17. (15分)
记 △ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c ，已知 a+2bcsC=0 .
(1)求 tanC+3tanB 的值；
(2)若 ΔABC 的面积为 c26 ，求 B ；
(3)若 b=2 ，当角 A 最大时，求 △ABC 的面积.
18. (17 分)
已知函数 fx=x2+ax−bex 的一个极值点是 x=2 .
(1)求a与b的关系式；
(2)求出 fx 的单调区间；
(3)设 a>0,gx=a2ex−2 ，若存在 x1,x2∈0,3 ，使得 fx1−gx20,b>0 上一点 A−1,0 作两渐近线的垂线,垂足为 D、E , 且 AD⋅AE=12 .
(1)求双曲线方程；
(2)过点 Bm,0m>a 的直线与双曲线右支交于 P 、 Q 两点，连接 AP、AQ ,直线 x=nm>n 与 AP、AQ 分别交于 M、N,∠MBN=90∘ .
(i) 若 m=2 ,求 n 的值;
(ii) 求 n 的最小值.
扬州市 2026届高三第一次调研测试 数学参考答案与评分建议
一、选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分.
二、选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分.
三、填空题:本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15. (13 分)
【解】(1) 取线段 OB 的中点 N ,连接 MN , PN . .1 分
因为 PC//OB,PC=12OB ,所以 PC//NB 且 PC=NB ,
因此四边形 PCBN 是平行四边形,所以 PN//CB . .2 分
又 CB⊂ 平面 CDB,PN⊄ 平面 CDB ,所以 PN// 平面 CDB .
因为 AN=3NB,AM=3MD ,所以 MN//BD . .3 分
又 BD⊂ 平面 CDB,MN⊄ 平面 CDB ,所以 MN// 平面 CDB . .4 分
而 PN∩MN=N,PN,MN⊂ 平面 PMN ,
所以平面 PMN// 平面 CDB , .5 分
又 PM⊂ 平面 PMN,所以 PM// 平面 CDB. 6 分
(2)由圆锥的对称性不妨取点 D 为如图所示位置，在圆锥底面内过点 D 作 DF⊥AB 于点 F ,连接 PF ,
因为平面 PAB⊥ 平面 ABD ,平面 PAB∩ 平面 ABD=AB ,所以 DF⊥ 平面 PAB , 所以 ∠DPF 就是直线 PD 与平面 PAB 所成的角,所以 ∠DPF=30∘ , .7 分因为 PD=PB=PO2+OB2=23 ,
所以 DF=PDsin30∘=3 . .8 分
连接 OD,则 OF=OD2−DF2=1 ,即点 F 为 OB 的中点. .9 分
以 O 为原点, OA 所在直线为 x 轴, OP 所在直线为 z 轴,建立空间直角坐标系,
则 A2,0,0,P0,0,22,B−2,0,0,D−1,3,0 ,
于是 AP=−2,0,22,PD=−1,3,−22,PB=−2,0,−22 .
设平面 APD 的法向量为 n1=x1,y1,z1 ,则 AP⋅n1=0PD⋅n1=0 ,得 −2x1+22z1=0−x1+3y1−22z1=0 ,
取 x1=2 ,可得 n1=2,6,1 . 10 分

设平面 PDB 的法向量为 n2=x2,y2,z2 ,则 PB⋅n2=0PD⋅n2=0 ,
得 −2x2−22z2=0−x2+3y2−22z2=0 ,
取 x2=2 ,可得 n2=2,−63,−1 . 11 分
所以 csn1,n2=n1⋅n2n1n2=−13×113=−3333 , 12 分
故二面角 A−PD−B 的正弦值为 1−cs2n1,n2=1−−33332=46633 . .13 分
16. (15 分)
【解】( 1 ) x=1+2+3+4+55=3,y=80+150+210+260+3005=200 ， 则 i=15xi−xyi−y=2×120+1×50+0+1×60+2×100=550 ， .2 分由 i=15xi−x2=i=15xi2−2x⋅i=15xi+5x2=i=15xi2−10x2+5x2=i=15xi2−5x2 , 同理 i=15yi−y2=i=15yi2−5y2 ,
则 i=15xi−x2i=15yi−y2=i=15xi2−5x2i=15yi2−5y2≈553 , .4 分
则 r=i=15xi−xyi−yi=15xi−x2i=15yi−y2≈550553≈0.99 , .6 分
由 r 接近 1 且为正,故变量 x 与 y 之间有很强的线性正相关关系: .7 分
(2) X 的可能取值为 80、150、210， .8 分
PX=80=C11⋅C42C53=35, .9 分
PX=150=C11⋅C32C53=310, .10 分
PX=210=C33C53=110, 11 分
故 X 的分布列为: .13 分
则 EX=80×35+150×310+210×110=114 .15 分
17. (15 分)
【解】( 1 ) ∵a+2bcsC=0 ,由正弦定理可得: sinA+2sinBcsC=0 , .2 分 ∴sinB+C+2sinBcsC=0,∴sinCcsB+3sinBcsC=0 , .3 分两边同时除以 csBcsC ,可得: tanC+3tanB=0 . .4 分
(2) S△ABC=12acsinB=c26 ，则 3asinB=c ， .5 分
结合正弦定理得, 3sinAsinB=sinC , .6 分
即 3sinBsinB+C=3sinBsinBcsC+3sinBcsBsinC=sinC , .7 分
则 tanC=3sin2B1−3sinBcsB=3sin2Bsin2B+cs2B−3sinBcsB=3tan2Btan2B−3tanB+1 ,
所以 −3tanB=3tan2Btan2B−3tanB+1 ,即 tan2B−2tanB+1=0 , .8 分
解得 tanB=1 ,又 B∈0,π ,
所以 B=π4 . .9 分
(3) ∵a+2bcsC=0,∴a+2b⋅a2+b2−c22ab=0 ,
∴2a2+b2−c2=0,∴a2=c2−b22 , 12 分
∴csA=b2+c2−a22bc=b2+c2−c2−b222bc=143bc+cb≥32 , .13 分
当且仅当 c=3b 时等号成立,此时 A 取到最大值 π6 , 14 分
∴ 当 A 最大时, 12bcsinA=12×2×23×12=3 . 15 分
18. (17 分)
【解】
(1)因为 fx=x2+ax−bex ,
所以 f′x=2x+aex−x2+ax−bexex2=−x2+2−ax+a+bex , 1 分
因为函数 fx=x2+ax−bex 的一个极值点是 x=2 , .2 分
所以 f′2=0 ,即 b=a : 3 分
(不写 b=a≠−2 不扣分)
(2) f′x=−x2+2−ax+2aex=−x−2x+aex , .4 分
① 当 a=−2 时， f′x=−x−22ex≤0 ，所以函数 fx 在 R 上单调递减，
此时函数没有极值点，不符合题意: .5 分
② 当 a−2 时,令 f′x=0 得 x=2 或 x=−a ,列表如下:
满足 x=2 是函数 fx 的极值点 .7 分
所以 b=a≠−2 ;
所以当 a−2 时,函数 fx 的单调递增区间为 −a,2 ,
单调递减区间为 −∞,−a 和 2,+∞ . .9 分
(3)由 (1) (2)知, fx=x2+ax−aex ,
且 a>0 时， fx 在 0.2 单调递增，在 2,3 单调递减，
又因为 f0=−a0 ,
所以 fx 在 0,3 上的最大值为 f2=4+ae2 ,最小值为 f0=−a .11 分又当 a>0 时,函数 gx=a2ex−2 在 0,3 单调递增,
所以 gx 在 0,3 上的最大值为 g3=a2e ,最小值为 g0=a2e2 .13 分因为存在 x1,x2∈0,3 ,使得 fx1−gx20 ，
联列方程组 x=ty+mx2−y2=1 ,可得 t2−1y2+2tmy+m2−1=0 , .5 分
由题意可得 t2−1≠0 且 Δ=4m2t2−4t2−1m2−1>0⇒m2+t2−1>0 恒成立,
又 y1+y2=−2tmt2−1,y1y2=m2−1t2−1n ,可得 n=7−332 : 10 分
(ii) 由 (i) 知: m−n2n+12=m−1m+1 ,从而 m−nn+1=m−1m+1 , .11 分
令 p=m−1m+1=1−2m+1∈0,1 ,则 m=1+p21−p2 , .12 分
则 n=1+p21−p2−p1+p=1+p2−p1−p21+p1−p2=p3+p2−p+1−p3−p2+p+1=−1+2−p3−p2+p+1
fp=−p3−p2+p+10