湖南省岳阳市岳阳县第一中学2024-2025学年高二下学期开学考试数学试题 含解析

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1. 抛物线 y2＝x 的焦点坐标是（ ）
A. B. C. D.
2. 已知 ， ，O 为坐标原点，若 ，则点 B 的坐标应为（ ）
A. B.
C. D.
3. 在三角形 中， ， ， ，则 （ ）
A. 10 B. 12 C. D.
4. 在三棱柱 中，若 ， ， ，则 （ ）
A B. C. D.
5. 已知四棱锥 中， ， ， ，则点 到底面 的
距离为（ ）
A. B. C. D.
6. 在等比数列 中， 是方程 两根，若 ，则 的值为（ ）
A. B. C. 3 D. 9
7. 已知椭圆 的左、右焦点分别为 ，P 为椭圆 C 上一点， 的最小值为
1，且 的周长为 34，则椭圆 C 的标准方程为（ ）
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A. B. C. D.
8. 过抛物线 的焦点 F 的直线 l 与抛物线交于 A，B 两点，且 ，则直线 l 的斜率为（
）
A. B. C. D.
二、多选题（共 15 分）
9. 已知数列 的前 项和 ，则下列说法正确的是（ ）
A. B. 数列 为单调递增数列
C. 数列 等比数列 D.
10. 下列关于双曲线 的结论中，正确的是（ ）
A. 离心率为 B. 焦距为
C. 两条渐近线互相垂直 D. 焦点到渐近线的距离为 1
11. 如图，在棱长为 2 的正方体 中， ， 分别是棱 ， 的中点，则下列说法正
确的是（ ）
A. ， ， ， 四点共面 B.
C. 直线 与 所成角的余弦值为 D. 点 到直线 的距离为 1
三、填空题（共 25 分）
12. 双曲线 渐近线方程为__________.
13. 在平面直角坐标系 中，已知 的顶点 ， ，点 在椭圆 上，则
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______．
14. 已知圆 ，直线 ，过直线 上一点 作圆 的两条切线，切点分别为 ，
则四边形 面积的最小值为______.
15. 若数列 满足 ，则 __________.
16. 设 是空间中两两夹角都为 的三条数轴， 分别是与 轴正方向同向的单位向量，
若 ，则把有序数对 叫作向量 在坐标系 中的坐标.
（1）若 ，且 ，则 __________；
（2）若 ，则三棱锥 表面积为__________.
四、解答题（共 70 分）
17. 某城市在进行新冠疫情防控中，为了解居民对新冠疫情防控的满意程度，组织居民给活动打分（分数为
整数，满分为 100 分），从中随机抽取一个容量为 180 的样本，发现所有数据均在 内．现将这些分
数分成以下 6 组并画出了样本的频率分布直方图，但不小心污损了部分图形，如图所示．观察图形，回答
下列问题：
（1）算出第三组 的频数，并补全频率分布直方图；
（2）请根据频率分布直方图，估计样本的众数、中位数和平均数．（每组数据以区间的中点值为代表）
18. 已知命题 “存在 ”，命题 ：“曲线 表示焦点在 轴上的椭圆”，
命题
（1）若“ 且 ”是真命题，求 的取值范围；
（2）若 是 的必要不充分条件，求 的取值范围．
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19. 圆 的圆心为 ，且过点 .
（1）求圆 的标准方程；
（2）直线 ： 与圆 交 ， 两点，且 ，求 .
20. 已知双曲线 的渐近线为 ，焦点到渐近线的距离是 ．
（1）求双曲线 的方程；
（2）已知直线 与双曲线 交于不同的两点 A、B，且线段 的中点在圆 上，
求实数 的值．
21. 已知数列 满足 ，且点 在直线 上.
（1）求数列 通项公式；
（2）数列 前 项和为 ，求能使 对 恒成立的 （ ）的最小值.
22. 在三棱台 中， 平面 ， ， ， ， 为
中点．
（1）求证： 平面 ；
（2）求平面 与平面 夹角的余弦值．
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