福建省福州市八县（市、区）一中2022-2023学年高二下学期期中联考数学试题 附解析

这是一份福建省福州市八县（市、区）一中2022-2023学年高二下学期期中联考数学试题 附解析，共18页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
完卷时间：120分钟 满 分：150分
第Ⅰ卷
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 已知抛物线上一点到轴的距离是3，则该点到抛物线焦点的距离是（ ）
A. 3B. C. 4D.
【答案】B
【解析】
【分析】求出抛物线的准线方程，由焦半径公式求出答案.
【详解】由题意得：抛物线的准线方程为，
由焦半径公式得：该点到抛物线焦点的距离等于.
故选：B
2. 已知随机变量的分布列为，2，3，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由随机变量的分布列的性质即概率和等于1，可求得的值，又由，计算可得答案.
【详解】根据题意，随机变量的分布列为，
由分布列的性质，则有，解得，
故.
.
故选：C.
3. 函数的图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】求导判断出函数的单调区间即可做出选择.
【详解】∵，∴.
令，得.
则函数在区间，上单调递减，在区间上单调递增.
选项A：违背函数在区间上单调递减.判断错误；
选项B：违背函数在区间上单调递减. 判断错误；
选项C：函数在区间，上单调递减，在区间上单调递增.判断正确；
选项D：违背函数在区间上单调递减. 判断错误.
故选：C
4. 将5个颜色互不相同的球全部放入编号为1和2的两个盒子里，使得放入每个盒子里的球的个数不小于该盒子的编号，则不同的放球方法有（ ）
A. 10种B. 25种C. 36种D. 52种
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意，可得1号盒子至少放一个，最多放3个小球，即分三种情况讨论，分别求出其不同的放球方法数目，相加可得答案．
【详解】根据题意，每个盒子里的球的个数不小于该盒子的编号，
分析可得，1号盒子至少放一个，最多放3个小球，
分情况讨论：
1号盒子中放1个球，其余4个放入2号盒子，有种方法；
1号盒子中放2个球，其余3个放入2号盒子，有种方法；
1号盒子中放3个球，其余2个放入2号盒子，有种方法；
则不同的放球方法有种，
故选：B．
5. 已知某地市场上供应的一种电子产品中，甲厂产品占，乙厂产品占，丙厂产品占，甲厂产品的合格率是95%，乙厂产品的合格率是90%，乙厂产品的合格率是90%，则从该地市场上买到一个产品，此产品是次品的概率是（ ）
A. 0.925B. 0.03C. 0.075D. 0.95
【答案】C
【解析】
【分析】应用对立事件概率求法，全概率公式求次品的概率.
【详解】由题设，此产品是次品的概率.
故选：C
6. 如下图，在平面直角坐标系中的一系列格点，其中且．记，如记为，记为，记为，以此类推；设数列的前项和为，则（ ）

A. 1B. 0C. —1D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】由图观察可知第圈的个点对应的这项的和为0，同时第n圈的最后一个点对应坐标为，在第4圈最后一个点上，则
【详解】由图可知，第一圈从点到点共8个点，由对称性可知
第二圈从点到点共16个点，由对称性可知，
以此类推，可得第圈的个点对应的这项的和为0．
第圈的最后一个点对应坐标为，在第4圈最后一个点上，则
故选：B．
7. 已知双曲线的左右两个顶点分别为，为双曲线右支上的个点，关于原点对称，则直线这条直线的斜率乘积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据对称性，先算出的结果，然后将这条直线分组，利用刚才的结果即可得出结论.
【详解】设，由题意，，又，于是，
又在双曲线上，故，于是，
将条直线两两分组，，
类似上面的步骤，这组直线中的两条直线斜率之积均是，于是这条直线的斜率乘积为.
故选：A
8. 若对任意的，且，都有成立，则实数m的最大值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由题意可得，变形得出，构造函数，可知函数在区间上单调递增，利用导数求得函数的单调递增区间，由此可求得实数的最大值.
【详解】对，且，都有，
可得，即，两边同除得
，
构造函数，则函数在区间上单调递增，
，令，即，解得，
即函数的单调递增区间为，
，则，因此，实数的最大值为.
故选：C.
二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，漏选得2分，错选得0分）
9. 在等差数列中，已知，，是其前项和，则下列选项正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】由题意，根据等差数列的通项公式可得与的方程组，可求出与，再结合等差数列通项公式和前项和公式可判断各选项.
详解】由，，可得，解得，
，故A，B正确；
又，故C错误；
同理，，，
，，则，故D正确.
故选：ABD.
10. 若均为常数，则下列选项正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】将展开与合并，利用二项展开式的通项公式，求得，，，，， 的值，从而判断各个选项.
【详解】
，
令，可得，，故A正确；
由于的展开式的通项公式为，
令，得项的系数为，即，，
令，得项的系数为，即，，
令，得项的系数为，即，，
令，得项的系数为，即，，
令，得项的系数为，即，，
即解得，，，，，
，，
故B正确；C错误；D正确.
故选：ABD.
11. 下列选项正确的是（ ）
A. 空间向量与向量共线
B. 已知向量，，，若，，共面，则
C. 已知空间向量，，则在方向上的投影向量为
D. 点是直线上一点，是直线的一个方向向量，则点到直线的距离是
【答案】ABC
【解析】
【分析】利用空间向量的共线判断A；利用向量共面定理判断B；利用投影向量的求法判断C；利用点到直线的距离公式判断D．
【详解】对于A，，，，与共线，故A正确；
对于B，设，即，
则，得，故B正确；
对于C，，
在方向上的投影向量为，故C正确，
对于D，，是直线的一个单位方向向量，
点P到直线l的距离为，故D错误．
故选：ABC．
12. 已知是自然对数的底，若，则的值可以是（ ）
A. 1B. C. 2D.
【答案】AC
【解析】
【分析】设，对函数求导，结合导数与单调性关系可得，从而，令，利用导数求得的范围即可判断.
【详解】设，则在R上单调递增，
∵，
∴，即，
∴，
令，则，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
∴，从而，故AC符合.
故选：AC.
第Ⅱ卷
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13. 随机变量的概率分布列如下：
其中，，成等差数列，若随机变量的期望，则其方差＝______．
【答案】
【解析】
【分析】利用等差中项的性质，分布列中概率和为1以及均值的计算公式构建方程求得，，，再由方差的计算公式求得答案.
【详解】因为，，成等差数列，则，又由分布列的性质，则，
所以得，
又因为随机变量的均值且,
故解得，，
所以.
故答案为：.
14. 已知⊙M：，直线l：，点P为直线l上的动点，过点P作⊙M的切线，切点为A，则切线段长的最小值为________．
【答案】1
【解析】
【分析】由已知求得圆心坐标与半径，再求出圆心到直线l的距离，利用勾股定理得答案．
【详解】⊙M：的圆心坐标为，半径为2，如图，

，且，
故要使最小，则最小，此时PM⊥l，
因为圆心M到直线l：的距离为，
∴的最小值为
故答案为：1．
15. 若函数在上存在单调递减区间，则的取值范围是_________．
【答案】
【解析】
【分析】先求的导函数，再将函数在区间上存在单调递减区间转化为在区间上有解，再根据参数分离，构造函数，结合函数在区间的单调性即可求解实数的范围．
详解】，则，
函数在区间上存在减区间，只需在区间上有解，
即在区间上有解，
又，则，
所以在区间上有解，
所以，，令，，
则，
令，则在区间恒成立，
所以在上单调递减，所以，
即，所以，所以实数的取值范围是．
故答案为：．
16. 北宋的数学家沈括博学多才，善于观察.据说有一天，他走进一家酒馆，看见一层层垒起的酒坛，不禁想到：“怎么求这些酒坛的总数呢？”他想堆积的酒坛､棋子等虽然看起来像实体，但中间是有空隙的，应该把它们看成离散的量.经过反复尝试，沈括提出对于上底有个，下底有个，从上到下，逐层长宽各多1个，共层的堆积物（如下图），可以用公式求出物体的总数，这就是沈括的“隙积术”，利用“隙积术”求得数列的前15项的和是________．（结果用数字表示）
【答案】1735
【解析】
【分析】根据题意，求出，，，值，代入公式计算即可得答案.
【详解】解析：由题，在数列，，，，中，
可得，根据隙积术公式，
，
.
故答案为：.
四、解答题（本大题6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17. 函数在点处的切线斜率为．
（1）求实数的值；
（2）求的单调区间和极值．
【答案】（1）2 （2）增区间为，减区间为，极小值，无极大值．
【解析】
【分析】（1）求出导函数，根据导数的几何意义，可得的值；
（2）求出，令，求得增区间，令，求得减区间，再根据极值的定义可得答案.
【小问1详解】
函数的导数为
在点处的切线斜率为，
，即，
；
【小问2详解】
由（1）得，函数
，，
令，得，令，得，
即的增区间为，减区间为．
故在处取得极小值，无极大值．
18. 已知数列的前项和为且
（1）求数列的通项公式；
（2）若，，成等比数列，求正整数的值．
【答案】（1）
（2）3
【解析】
【分析】（1）由已知可得可得数列公差为2的等差数列，进而可得数列的通项公式；
（2）由已知可得，求解即可．
【小问1详解】
，
，
，
又满足，
是公差为2的等差数列，
【小问2详解】
由（1）得：，又，
，解得：.
19. 如图，在三棱柱中，平面ABC，D，E分别为AC，中点，，．
（1）求证：平面BDE；
（2）求直线DE与平面ABE所成角的正弦值；
（3）求点D到平面ABE的距离．
【答案】（1）证明见解析；
（2）；
（3）.
【解析】
【分析】（1）根据线面垂直的性质得到，根据等腰三角形三线合一的性质得到，然后利用线面垂直的判定定理证明即可；
（2）利用空间向量的方法求线面角即可；
（3）利用空间向量的方法求点到面的距离即可.
【小问1详解】
在三棱柱中，，为，的中点，∴，
∵平面，∴平面，
∵平面，∴，
在三角形中，，为中点，∴，
∵，平面，∴平面.
【小问2详解】
如图，以为原点，分别以为轴建立空间直角坐标系，
在直角三角形中，，，∴，
，，，，
，，，
设平面的法向量为，
，令，则，，所以，
设直线与平面所成角为，
所以.
【小问3详解】
设点到平面距离为，所以.
20. 我校即将迎来“第二届科技艺术节”活动，其中一项活动是“数学创意作品”比赛，为了解不同性别学生的获奖情况，现从去年举办的“首届科技艺术节”报名参加活动的500名学生中，根据答题情况评选出了一二三等奖若干名，获奖情况统计结果如下：
假设所有学生的获奖情况相互独立．
（1）用频率估计概率，现分别从上述200名男生和300名女生中各随机抽取1名，求抽到的2名学生都获一等奖的概率；
（2）用频率估计概率，从上述200名男生和300名女生中随机各抽取1名，以表示这2名学生中获奖的人数，求的分布列和数学期望；
（3）用频率估计概率，从报名参加活动的500名学生中随机抽取1名，设抽到的学生获奖的概率为；从上述200男生中随机抽取1名，设抽到的学生获奖的概率为；从上述300名女生中随机抽取1名，设抽到的学生获奖的概率为，试比较与的大小，并说明理由.
【答案】（1）；
（2）分布列见解析，；
（3）.
【解析】
【分析】（1）根据给定条件，利用古典概率计算作答.
（2）利用频率估计概率，求出的可能值，再计算各个值对应的概率列出分布列，求出期望作答.
（3）利用频率估计概率求出，结合（2）中信息比较作答.
【小问1详解】
设事件为“分别从上述200名男生和300名女生中各随机抽取1名，
抽到的2名学生都获一等奖”，则.
【小问2详解】
随机变量的所有可能取值为0，1，2，
记事件为“上述200名男生中随机抽取1名，该学生获奖”，
事件为“上述300名女生中随机抽取1名，该学生获奖”，
依题意，事件，相互独立，且估计为，估计为，
因此，
，
，
所以的分布列为
的数学期望.
【小问3详解】
，
理由：根据频率估计概率得，
由（2）知，，则，
所以.
21. 已知椭圆:过点，且离心率为，设、分别为椭圆的左右顶点，、为椭圆的左右焦点，点为椭圆上不同于、的任意一点，点是椭圆长轴上的不同于、的任意一点
（1）求椭圆的标准方程；
（2）当内切圆的面积最大时，求内切圆圆心的坐标；
（3）设直线与椭圆的另一个交点为点，若的值为定值，则称此时的点为“稳定点”，问：是否存在这样的稳定点？若有，试求出所有“稳定点”，并说明理由；若没有，也请说明理由.
【答案】（1）
（2）
（3）存在，
【解析】
【分析】（1）由题意列出关于的方程组，求解即可；
（2）当内切圆的半径最大时，即P点为上顶点，由圆的对称性，可得内切圆的圆心坐标；
（3）设过Q点的直线的方程，与椭圆的方程联立，可得两根之和及两根之积，可求出的表达式，进而求出的表达式，由其值为定值可得Q的横坐标的值，即求出稳定点的坐标．
【小问1详解】
因为椭圆:过点，且离心率为，
所以，解得，
所以椭圆的方程为；
【小问2详解】
，设边上的高为，则，
设的内切圆的半径为，因为的周长为定值6，
所以，
当在椭圆上顶点时，最大为，故的最大值为，
于是也随之最大，最大值为，
由椭圆的对称性，此时内切圆圆心的坐标为；
【小问3详解】
点是椭圆长轴上的不同于、的任意一点，
故可设直线PN的方程为，
由，得，
恒成立.
又，
，
要使其值为定值，则，
故当，即时，.
综上，存在这样的稳定点即椭圆的焦点为稳定点.
22. 已知函数.
（1）若对恒成立，求k的取值范围；
（2）求证：对，不等式 恒成立.
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）求导，根据导数分类讨论，结合函数的单调性求解的范围，即可得解；
（2）结合（1）的结论，构造函数，利用导数即可求解．
【小问1详解】
因为在上恒成立，
而，
令得，所以，
①当，即时，，
所以在上单调递增，则，满足题意；
②当，即时，设，
则的对称轴为，
所以在上存在唯一零点，当时，，
所以在上单调递减，故，不合题意.
综上，k的取值范围为.
【小问2详解】
由（1）知，当时，在上恒成立，
即，
令，
则恒成立，
在上单调递增，，
所以，对，不等式恒成立.
－1
0
1
性别
人数
获奖人数
一等奖
二等奖
三等奖
男生
200
10
15
15
女生
300
25
25
40
0
1
2