福建省福州八县（市）一中2022-2023学年高一下学期期中联考数学试题（含解析）

这是一份福建省福州八县（市）一中2022-2023学年高一下学期期中联考数学试题（含解析），共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

福建省福州八县（市）一中2022-2023学年高一下学期期中联考数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题
1．若，则复数（    ）
A．1 B． C． D．
2．已知向量在由小正方形（边长1）组成的网格中的位置如图所示，则（    ）
  
A．12 B．4 C．6 D．3
3．如图，用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为一个正方形，则原图的面积为（    ）

A． B． C． D．
4．如图，在中，，则（    ）

A． B． C． D．
5．设，，，则，，的大小关系为（    ）
A． B． C． D．
6．已知分别是内角所对的边，是方程的两个根，且，则（    ）
A． B． C． D．
7．已知中，“”是“”成立的（    ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
8．某工厂的烟囱如图所示，底部为，顶部为，相距为的点，与点在同一水平线上，用高为的测角工具在，位置测得烟囱顶部在和处的仰角分别为，.其中，和在同一条水平线上，在上，则烟囱的高（    ）

A． B．
C． D．

二、多选题
9．下列说法正确的是（    ）
A．直四棱柱是长方体
B．平行六面体的侧面和底面均为平行四边形
C．棱台的各侧棱延长后必交于一点
D．棱柱中两个互相平行的面一定是棱柱的底面
10．下列命题正确的是（    ）
A．
B．已知，为非零实数，若，则与共线
C．若为非零向量，若“”则“”
D．若单位向量满足，则与的夹角为0
11．已知满足，则（    ）
A．为锐角三角形 B．
C． D．
12．对于函数，其中正确命题的是（    ）
A．该函数的值域是，
B．当且仅当或时，该函数取最大值1
C．当且仅当时，
D．当且仅当时，函数单调递增

三、填空题
13．若复数，则__．
14．已知向量，，若在方向上的投影向量为，则的值为 __．
15．记的内角A，，的对边分别为，，，点为边的中点．若，，，则的面积为 __．
16．已知函数，若存在，使得，则的取值范围是 __．

四、解答题
17．（1）计算：；
（2）若复数为纯虚数，求的值．
18．已知向量．
(1)当为何值时，与共线？
(2)当的取值范围为何值时，与夹角为锐角？
19．在平面直角坐标系中，已知点，，．
(1)如果点使得四边形为平行四边形，求顶点的坐标；
(2)如果点满足，设，求的最小值．
20．若函数同时满足下列四个条件中的三个：
①最小值为； ②； ③；④最小正周期为．
(1)给出函数的解析式，并说明理由；
(2)求函数的单调递减区间．
21．疫情后全国各地纷纷布局“夜经济”，以满足不同层次的多元消费，并拉动就业、带动创业，进而提升区域经济发展活力．某夜市的一位工艺品售卖者，通过对每天销售情况的调查发现：该工艺品在过去的一个月内（以30天计），每件的销售价格（单位：元）与时间（单位：天）的函数关系近似满足为常数，且，日销售量（单位：件）与时间（单位：天）的部分数据如表所示：
（天
1
14
18
22
26
30

122
135
139
143
139
135
(1)给出以下四个函数模型：
①；②；③；④．
请你根据上表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数模型来描述日销售量与时间的变化关系，并求出该函数的解析式；
(2)已知第1天的日销售收入为244元．设该工艺品的日销售收入为（单位：元），求的最小值．
22．已知的内角所对的边分别为从下列三个条件中选择一个并解答问题：
①；②；③.
(1)求角的大小；
(2)（i）若的面积为，，角的内角平分线交于，求．
（ii）若，动点分别在边，上，如果把成面积相等的两部分，求长度的最短值．

参考答案：
1．D
【分析】根据复数的除法运算可解．
【详解】因为，
故选：D．
2．C
【分析】选择适当的向量作为平面向量基底，用基底来表示向量，即可解.
【详解】以网格的小正方形相邻两边所在方向单位向量 为基底,如图.
则 ,
所以 ，则.
  
故选：C
3．A
【分析】方法一：还原原图形，再求出面积；
方法二：先求出直观图的面积，再根据直观图和原图形的面积比进行求解
【详解】方法一：如图所示：根据斜二测画法，可知原图形为平行四边形，其中，，故面积为.

方法二：直观图的面积为，原图的面积与直观图的面积之比为，
故原图的面积为.
故选：A
4．A
【分析】运用平面向量的三角形法则和数乘向量，直接求解．
【详解】在中，，
∴.
故选：A．
5．C
【分析】根据函数的单调性及对数的运算法则，求得，，的取值范围即可求解．
【详解】解：，，
，，即，
，
．
故选：C．
6．B
【分析】利用余弦定理去求的值.
【详解】是方程的两个根，则有，
则
故选：B
7．C
【分析】由三角形大边对大角可知，由在上的单调性可得，由此可确定结果.
【详解】由正弦定理以及三角形大边对大角可得：
，
又，在上单调递减，
，即，
“”是“”成立的充分必要条件.
故选：C.
8．D
【分析】在中利用正弦定理可得，再根据可得，进而求得即可
【详解】如下图，在中，，由正弦定理可得，
所以，
从而，
故，

故选：D.
9．BC
【分析】对于A：由直四棱柱定义，即可判断A是否正确；对于B：由平行六面体的定义，即可判断B是否正确；对于C：由棱台的定义，即可判断C是否正确；对于D：由棱柱的定义，即可判断D是否正确．
【详解】解：对于A：因为直四棱柱上下底面平行，但是上下底面可以不是矩形，所以直棱柱不一定是长方体，故A错误；
对于B：平行六面体的侧面和底面均为平行四边形，故B正确；
对于C：由棱台的定义知，棱台的侧棱延长后必交于一点，故C正确；
对于D：棱柱的两个面平行可能是棱柱的底面也可能是棱柱的侧面，故D错误；
故选：BC．
10．BD
【分析】通过举反例说明选项A错误；，则与共线，即选项B正确；或，即选项C错误；可以证明与的夹角为0，即选项D正确．
【详解】对于选项A，不妨设，，为非零向量，且，则，，即选项A错误；
对于选项B，已知，为非零实数，若，，则与共线，即选项B正确；
对于选项C，已知为非零向量，又,则，即或，即选项C错误；
对于选项D，若单位向量满足，即，即，即，则，则与的夹角为0，即选项D正确．
故选：BD．
11．BCD
【分析】由平面向量数量积的运算，结合两角和的余弦公式及余弦定理逐一判断即可得解．
【详解】解：已知满足，则，
即，即，
对于选项A，为钝角三角形，即选项A错误；
对于选项B，，，
，即选项B正确；
对于选项C，，
，即选项C正确；
对于选项D，由，
结合余弦定理可得：，即选项D正确．
故选：BCD．
12．BC
【分析】把已知函数解析式变形，作出函数的图像，利用图像逐项判断得答案．
【详解】解：由，
得，
作出函数的图像（图中实线）如图所示：

结合图形可知，函数的值域是，，故错误；
由图可知，当且仅当或时，函数取得最大值1，故正确；
由图可知，当且仅当时，，故正确；
，
函数为周期函数，
由图可知，当，，时，单调递增，故错误．
故选：．
13．
【分析】根据题意先计算，再根据模长的计算公式可解．
【详解】因为，则，
则，
故答案为：．
14．/1.5
【分析】利用投影向量公式求解即可.
【详解】解：，，
，，
在方向上的投影向量为，
在方向上的投影向量为，
，，
故答案为：.
15．
【分析】由已知结合余弦定理可得，然后结合向量的线性表示及向量数量积的性质可求，再由三角形面积公式可求．
【详解】解：由余弦定理得，所以，
因为为的中点，所以，
所以，
所以，
故的面积．
故答案为：．
16．
【分析】由分段函数解析式，可分、、三种情况分别写出与，结合，可得关于的表达式，再由函数的单调性求解的取值范围．
【详解】当时，则，
可得，即，求得，
则，
函数在上递增，；
当时，，
，可知不存在，使得；
当时，则，
由，得，
令，，则，
，，
，则，即，
函数在上单调递增，可得，
即．
综上所述，的取值范围是．
故答案为：．
【点睛】关键点睛：本题的关键通过分、以及进行讨论，通过构造函数利用其单调性得到范围.
17．（1）；（2）5.
【分析】（1）利用复数的四则运算求解即可；
（2）由复数的实部等于0且虚部不等于0，求解即可．
【详解】（1）原式=
（2）
为纯虚数，
，
或（舍去），即
18．(1)2；
(2).

【分析】（1）直接利用平面向量共线的坐标运算列式求得值；
（2）问题转化为，再排除与共线时的值，即得的取值范围．
【详解】（1）与共线，
，解得.
所以当时，与共线.
（2）若与的夹角为锐角，
则，解得．
又由（1）得，当时，与共线且同方向，故
当的范围为时，与夹角为锐角．
19．(1)
(2)

【分析】（1）可设，根据四边形是平行四边形得出，从而可建立关于，的方程，解出，即可；
（2）可求出，从而得出，然后可求出，然后配方即可求出最小值．
【详解】（1）设的坐标为，因为四边形是平行四边形，
所以，由于，，
故，所以，所以的坐标为；
（2），，，
，，，
，
，
所以当时，取得最小值，最小值为．
20．(1)，理由见解析；
(2).

【分析】（1）先由正弦函数的性质确定不符合③，然后结合①②④可求，，，进而可求函数解析式；
（2）解不等式即可求解．
【详解】（1）依题意，若函数满足条件③，
则有，
因为，
所以，③显然不成立，
所以应满足条件①②④，
由条件④得，且，所以，
由条件①得，
再由条件②得有，所以.
所以.
因为，所以，所以.
（2）由
得
所以的单调递减区间为.
21．(1)选择模型②，，；
(2)139.5元．

【分析】（1）由表格中的数据知，当时间变长时，先增后减，则选择模型②，由函数图象对称性可知，由表格数据代入即可求解；
（2）由第1天的日销售收入为244元，解得，由（1），去绝对值后分类讨论即可求解．
【详解】（1）解：该工艺品在过去的一个月内（以30天计），每件的销售价格（单位：元）与时间（单位：天）的函数关系近似满足为常数，且，
日销售量（单位：件）与时间（单位：天）的部分数据如表所示：
（天
1
14
18
22
26
30

122
135
139
143
139
135
由表格中的数据知，当时间变长时，先增后减，
①③④函数模型都描述的是单调函数，不符合该数据模型，
所以选择模型②：，
由函数图象对称性可知，又由表格可知，，
代入，得，解得，，
所以日销售量与时间的变化的关系式为，.
（2）因为第1天的日销售收入为244元，则，解得，则，
由（1），
知，
由，
当，时，，
当且仅当时，即时等号成立，
当，时，为减函数，
所以函数的最小值为，
综上可得，当时，函数取得最小值139.5元．
22．(1)任选一条件，都有；
(2)（i）；（ii）

【分析】（1）若选①：由正弦定理及和差角公式进行化简可求，进而可求；
如选择②，由正弦定理及和差角公式进行化简可求，进而可求；
如选择③，由正弦定理及和差角公式，辅助角公式可得，可求；
（2）（i）结合三角形面积公式可得，然后结合余弦定理可求，再由等面积法可求；
（ii）由已知结合三角形面积公式可得得，结合余弦定理及基本不等式可求．
【详解】（1）解：若选①：因为，
由正弦定理可得
因为，可得，所以，
即，所以，
又因为，所以；
若选②，因为，可得，
即，
由正弦定理得，
因为，可得，所以，
又因为，所以；
若选③，因为，可得，
由正弦定理得，
又由，
所以，
因为，可得，所以，
即，所以，
因为，所以，所以，解得.
（2）解：（i）因为，解得，
又因为，
所以，故，
又由等面积法得，解得.
（ii）由题可知，
又由，所以，
由余弦定理可得
,
当且仅当时取等号，
所以，即的最短长度为．