福建省福州市八县(市)一中2022-2023学年高一下学期期末联考数学试题(学生版+解析)

这是一份福建省福州市八县(市)一中2022-2023学年高一下学期期末联考数学试题(学生版+解析)，共25页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

完卷时间： 120 分钟 满分： 150 分
一、单选题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)
1. 已知复数满足，则在复平面内对应的点位于( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
2. 已知，，且与平行，则等于( )
A. B. C. D.
3. 在平行四边形ABCD中，E是BC的中点，DE交AC于F，则( )
A. B. C. D.
4. 某种心脏手术，成功率为0.6，现采用随机模拟方法估计“3例心脏手术全部成功”的概率：先利用计算器或计算机产生0~9之间取整数值的随机数，由于成功率是0.6，故我们用0，1，2，3表示手术不成功，4，5，6，7，8，9表示手术成功；再以每3个随机数为一组，作为3例手术的结果.经随机模拟产生10组随机数：812，832，569，684，271，989，730，537，925，907.由此估计3例心脏手术全部成功的概率为( )
A. 0.2B. 0.3C. 0.4D. 0.5
5. 设，则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
6. 从含有三件正品和一件次品的产品中任取两件，则取出的两件中恰有一件次品的概率是( )
A. B. C. D.
7. 如图，某景区欲在两山顶A，C之间建缆车，需要测量两山顶间距离．已知山高，，在水平面上E处测得山顶A的仰角为30°(B、D、E在同一水平面上)，山顶C的仰角为60°，，则两山顶A，C之间的距离为( )
A. B. C. D.
8. 已知直四棱柱的棱长均为2，.以D1为球心，为半径的球面与侧面BCC1B1的交线长为( )
A. B. C. D. 2
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.
9. 分别抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件A=“第一枚正面朝上”，事件B=“第二枚正面朝上”，下列结论中正确的是( )
A. A与B为互斥事件B. A与B为相互独立事件
C. D.
10. 已知两个不同的平面、和两条不重合的直线m、n，有下列命题中正确的是( )
A. 若，，则B. 若，则
C. 若，，则D. 若，，，则
11. 已知，则正确有( )
A B. C. D.
12. 如图，边长为1的正方形ABCD的顶点A，D分别在轴、轴正半轴上移动，则的可能值为( )
A B. C. D. 2
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 若样本数据的方差为3，则数据的方差为________．
14. 已知函数，则__________.
15. 在四面体中，E、F 分别是的中点.若所成的角为45°，且，则的长为_________.
16. 已知ABCD—A1B1C1D1是棱长为2正方体，E为AA1的中点，点F 在CC1上(不与C、C1重合)，三棱锥A-D1EF 的体积为__________，当F 为CC1的中点，几何体AED1FCD 的体积为__________.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 已知非零向量，夹角为，且．
(1)当时，求；
(2)若，且，求．
18. 如图，是正方形所在平面外一点，且平面平面，、分别是线段、的中点.

(1)求证：平面；
(2)求证：.
19. 已知在中，角，，所对的边分别是，，，满足条件：______.在 ① ；②；③.这三个条件中任选 个，补充在上面的问题中，并解答.注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分.问题：
(1)求角A的大小；
(2)求的取值范围.
20. 如图，一块正方体形木料ABCD—A1B1C1D1的上底面有一点M，

(1)问：经过点M在上底面上能否画一条直线，使其与CM垂直，若可以，该怎么画，写出作图过程并加以证明，若不能，说明理由.
(2)若正方体棱长为2，F为线段BC的中点，求AF与面A1BC所成角的正弦值.
21. 近几年随着疫情的影响，经济发展速度放缓，投资渠道有限，越来越多人选择投资“黄金”作为理财的手段，下面将A市把黄金作为理财产品的投资人的年龄情况统计如图所示.
(1)求a的取值，以及把黄金作为理财产品的投资者年龄的上四分位数(第75百分位数)；
(2)现按照分层抽样的方法从年龄在和的投资者中随机抽取5人，再从这5人中随机抽取2人进行投资调查，求至少有1人年龄在的概率.
22. 已知函数，；
(1)判断并证明函数的奇偶性；
(2)指出函数的单调性(只需用复合函数理由说明，不要求定义证明)；
(3)设对任意，都有成立；请问是否存在的值，使最小值为，若存在求出的值.
2022---2023学年度第二学期福州八县(市)一中期末联考
高一年级数学科试卷
完卷时间： 120 分钟 满分： 150 分
一、单选题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)
1. 已知复数满足，则在复平面内对应的点位于( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】D
【解析】
【分析】先求出复数，化成标准形式，再根据复数的几何意义来判断.
【详解】依题意得，，对应复平面的点是，在第四象限.
故选：D.
2. 已知，，且与平行，则等于( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先求出向量与的坐标，然后利用向量共线坐标公式计算即可.
【详解】因为，，所以，，
若与平行，则，得x＝2.
故选：C.
3. 在平行四边形ABCD中，E是BC的中点，DE交AC于F，则( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由题可得，再根据向量运算法则即可表示.
【详解】因为是BC的中点，，所以，
所以.
故选：D.
4. 某种心脏手术，成功率为0.6，现采用随机模拟方法估计“3例心脏手术全部成功”的概率：先利用计算器或计算机产生0~9之间取整数值的随机数，由于成功率是0.6，故我们用0，1，2，3表示手术不成功，4，5，6，7，8，9表示手术成功；再以每3个随机数为一组，作为3例手术的结果.经随机模拟产生10组随机数：812，832，569，684，271，989，730，537，925，907.由此估计3例心脏手术全部成功的概率为( )
A. 0.2B. 0.3C. 0.4D. 0.5
【答案】B
【解析】
【分析】利用古典概率的概率公式进行计算即可.
【详解】随机模拟产生10组随机数中，有3组随机数表示手术成功，
故3例心脏手术全部成功的概率为：.
故选：B
5. 设，则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】D
【解析】
【分析】分别解不等式和，根据小范围推大范围，分析判断即可.
【详解】若，解得，即解集；
若，注意到在定义域内单调递增，解得；
故“”是“”的既不充分也不必要条件.
故选：D.
6. 从含有三件正品和一件次品的产品中任取两件，则取出的两件中恰有一件次品的概率是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据古典概型概率计算公式直接计算.
【详解】有三件正品(用，，表示)和一件次品(用表示)的产品中任取两件的样本空间，恰有一件次品，
由古典概型得，
故选：D.
7. 如图，某景区欲在两山顶A，C之间建缆车，需要测量两山顶间的距离．已知山高，，在水平面上E处测得山顶A的仰角为30°(B、D、E在同一水平面上)，山顶C的仰角为60°，，则两山顶A，C之间的距离为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据给定条件，在和中分别求出AE，CE，再利用余弦定理计算作答.
【详解】在中，，，则，
在中，，，则，
在，由余弦定理得：，
即，解得，
所以两山顶A，C之间的距离为．
故选：B
8. 已知直四棱柱的棱长均为2，.以D1为球心，为半径的球面与侧面BCC1B1的交线长为( )
A. B. C. D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】先找出平面截球面截面圆的圆心是的中点，再找到截面圆的半径和交线.
【详解】如图所示：

由已知，连接，则
因为直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的棱长均为2，，
所以为等边三角形.
且平面，取的中点，连接,则,
又平面，所以，
又，所以平面，
故平面截球面的截面圆的圆心是点，
取和的中点，连接,则，
故在球面上，,，
所以为直角三角形，,
球面与侧面的交线是侧面上以为圆心，
为半径的圆弧.
故选：B.
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.
9. 分别抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件A=“第一枚正面朝上”，事件B=“第二枚正面朝上”，下列结论中正确的是( )
A. A与B为互斥事件B. A与B为相互独立事件
C D.
【答案】BD
【解析】
【分析】根据互斥事件、独立事件、和事件、积事件的知识对选项进行分析，由此确定正确答案.
【详解】抛掷两枚质地均匀的硬币，基本事件有：(正，正)，(正，反)，(反，正)，(反，反)，
事件包含的基本事件是：(正，正)，(正，反).
事件包含的基本事件是：(正，正)，(反，正).
所以不是互斥事件，A选项错误.
，所以BD选项正确.
，C选项错误.
故选：BD
10. 已知两个不同的平面、和两条不重合的直线m、n，有下列命题中正确的是( )
A. 若，，则B. 若，则
C. 若，，则D. 若，，，则
【答案】AD
【解析】
【分析】根据空间中线面、面面的位置关系一一判断即可
【详解】对于A：若，，则，故A正确；
对于B：若，则或，故B错误；
对于C：若，，则或与异面，故C错误；
对于D：若，，则，又，所以，故D正确；
故选：AD
11. 已知，则正确的有( )
A. B. C. D.
【答案】ABC
【解析】
【分析】先把指数式化为对数式可得，，可判断A，由对数的运算性质可判断D，由基本不等式可判断BC．
【详解】，，，，，故正确，
，故D不正确，
，当且仅当时取等号，，，故B正确，
(因为，故等号不成立)，，故C正确.
故选：
12. 如图，边长为1的正方形ABCD的顶点A，D分别在轴、轴正半轴上移动，则的可能值为( )
A. B. C. D. 2
【答案】CD
【解析】
【分析】令，由边长为1的正方形的顶点、分别在轴、轴正半轴上，可得出，的坐标，由此可以表示出两个向量，由数量积公式结合三角函数知识求解.
【详解】解：如图令，由于，故，，
如图，，故，，
故
同理可求得，即，
所以
因为，所以，即.
故选：CD
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 若样本数据的方差为3，则数据的方差为________．
【答案】12
【解析】
【分析】利用方差的性质直接求解.
【详解】样本数据的方差为3，
数据的方差为.
故答案为：12.
14. 已知函数，则__________.
【答案】4
【解析】
【分析】根据分段函数的定义求解即可.
【详解】由，
所以，
所以.
故答案为：4.
15. 在四面体中，E、F 分别是的中点.若所成的角为45°，且，则的长为_________.
【答案】
【解析】
【分析】作出辅助线，找到或，分两种情况，结合余弦定理求出答案.
【详解】取的中点，连接，
因为E、F 分别是的中点，所以，
因为所成的角为，所以或，
如图1，，则，
如图，，则
故答案为：
16. 已知ABCD—A1B1C1D1是棱长为2的正方体，E为AA1的中点，点F 在CC1上(不与C、C1重合)，三棱锥A-D1EF 的体积为__________，当F 为CC1的中点，几何体AED1FCD 的体积为__________.
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】根据给定条件，利用等体积法求解三棱锥的体积．根据割补法，将几何体分解为三棱柱和三棱锥，即可由体积公式求解.
【详解】在正方体中，棱长为2，为的中点，
则，
为上一点，而平面，平面，
则点到平面的距离为长，
所以三棱锥的体积．
取的中点为，连接,
由于均为棱的中点，由正方体的结构特征可知为直三棱柱，故几何体
可以分割为三棱柱和三棱锥，
故几何体体积为,
故答案为：，

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 已知非零向量，夹角为，且．
(1)当时，求；
(2)若，且，求．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】(1)利用向量数量积运算公式和夹角余弦公式进行求解；(2)根据向量垂直得到，再求出，进而求出
【小问1详解】
当时，，
所以，
∵，
∴；
【小问2详解】
∵，∴，即
∴，
∵，∴
∴
18. 如图，是正方形所在平面外一点，且平面平面，、分别是线段、的中点.

(1)求证：平面；
(2)求证：.
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【解析】
【分析】(1)根据平行四边形或者三角形的中位线可得线线平行，进而可证，或者证明面面平行也可，
(2)根据面面垂直可得线面垂直，进而得到线线垂直.
【小问1详解】
法一：
取PD中点G，连接FG，AG，在PDC中，因为F、G分别是PC，PD的中点，

所以FGCD，FG=CD；
因为E是正方形ABCD边AB的中点，
所以AE//CD，AE=CD；
所以AEGF，AE=GF；
即四边形AEFG是平行四边形，
所以EF//AG，
又因为AG平面PAD，EF平面PAD，
所以EF平面PAD
法二：
延长DA交CE延长线于H，连接PH，
由于AE//CD，AE=CD，所以是的中点，是的中点，
所以EFPH，
又因为PH平面PAD，EF平面PAD，
所以EF平面PAD

法三：取CD中点I，连接EI，FI，
由于均为中点，所以,
平面,平面，
平面EFI平面PAD，
EF平面，
所以EF平面PAD
【小问2详解】
因为正方形ABCD中，BDAC，
又平面ABCD平面PAC；
平面PAC平面ABCD=AC，BD平面ABCD，
所以BD平面PAC，
因为PC平面PAC，
所以BDPC.
19. 已知在中，角，，所对的边分别是，，，满足条件：______.在 ① ；②；③.这三个条件中任选 个，补充在上面的问题中，并解答.注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分.问题：
(1)求角A的大小；
(2)求的取值范围.
【答案】(1)选①②③，答案均为
(2)
【解析】
【分析】(1)选①，由正弦定理及得到，结合，求出答案；
选②，由正弦定理及得到，结合，求出答案；
选③，由正弦定理及得到，结合，求出答案；
(2)利用三角恒等变换得到，由求出，从而得到答案.
【小问1详解】
选择①，由正弦定理可得，，
即，
所以，
又，所以，故，
又，
因此.
选择②，由正弦定理可得，，
从而可得，，
即，
又，所以，
于是， 又，
因此，.
选择③，由正弦定理可得，，
即，
得，
即，
又，所以，
得，又，
因此，.
【小问2详解】
∵
，
由可知，，所以，
从而，
因此，，
故的取值范围为.
20. 如图，一块正方体形木料ABCD—A1B1C1D1的上底面有一点M，

(1)问：经过点M上底面上能否画一条直线，使其与CM垂直，若可以，该怎么画，写出作图过程并加以证明，若不能，说明理由.
(2)若正方体棱长为2，F为线段BC的中点，求AF与面A1BC所成角的正弦值.
【答案】(1)可以，作图过程见解析，证明见解析
(2)
【解析】
【分析】(1)连接C1M，在平面A1B1C1D1上过M点作直线GHC1，则GHCM，再利用线面垂直证明线线垂直即可；
(2)在平面ABB1A1上，过点A作AEA1B，则E是 A1B的中点，先证明先AE平面A1BC.可得AFE为斜线AF与平面A1BC所成的角，进而可得答案.
【小问1详解】
经过点M在上底面上能画一条直线与CM垂直，
如图所示，连接C1M，在面A1B1C1D1上过M点作直线GHC1M.
则GHCM，

证明：在正方体AC1中，CC1平面A1B1C1D1，GH平面A1B1C1D1，
所以GHCC1，
而GHC1M，且C1MCC1，平面MCC1，
故GH平面MCC1，
又CM平面MCC1，
所以GHMC.
【小问2详解】
在平面ABB1A1上，过点A作AEA1B，则E是 A1B的中点，

在正方体AC1中，BC平面ABB1A1，AE平面ABB1A1，
所以BCAE，
而A1BBC=B，平面A1BC.
故AE平面A1BC.
所以EF为斜线AF在平面A1BC上的射影，
AFE为斜线AF与平面A1BC所成的角.
∵AE平面A1BC，EF平面A1BC，
AEEF
在直角三角形AEF中，AF=，AE=，
sinAFE=，
所以AF与面A1BC所成角的正弦值为.
21. 近几年随着疫情的影响，经济发展速度放缓，投资渠道有限，越来越多人选择投资“黄金”作为理财的手段，下面将A市把黄金作为理财产品的投资人的年龄情况统计如图所示.
(1)求a的取值，以及把黄金作为理财产品的投资者年龄的上四分位数(第75百分位数)；
(2)现按照分层抽样的方法从年龄在和的投资者中随机抽取5人，再从这5人中随机抽取2人进行投资调查，求至少有1人年龄在的概率.
【答案】(1)，58
(2)
【解析】
【分析】(1)根据频率之和为1可得，进而由百分位数的计算即可求解，
(2)根据列举法，结合古典概型的计算公式即可求解.
【小问1详解】
依题意，，解得，
因为前3组的频率和为< 0.75，
前4组的频率和为，
所以所求上四分位数(第75百分位数)为
【小问2详解】
由频率分布直方图可知年龄在和的频率分别为，
所以年龄在的投资者应抽取3人，记为A，B，C
年龄在的投资者应抽取2人,记为a，b，
则任取2人，所有的情况为：
，共10种，
满足条件为共7种.
故至少有1人年龄在的概率为.
22. 已知函数，；
(1)判断并证明函数的奇偶性；
(2)指出函数的单调性(只需用复合函数理由说明，不要求定义证明)；
(3)设对任意，都有成立；请问是否存在的值，使最小值为，若存在求出的值.
【答案】(1)在R上为奇函数，证明见解析
(2)在上为减函数
(3)存在，
【解析】
【分析】(1)利用函数的奇偶性定义证明即可；
(2)根据复合函数的单调性法则，结合函数的奇偶性即可说明；
(3)由函数单调性可得，从而转化为求的最小值，再解关于的不等式，对函数换元讨论求最小值，得到关于的方程解之即可得到答案.
【小问1详解】
函数在R上为奇函数.
证明：因为，
所以恒成立.
所以函数的定义域为R，关于原点中心对称.
因为
，
所以函数在R上奇函数.
【小问2详解】
由(1)知=

因为在是增函数，
又，()为减函数，
所以在上为减函数，
又为奇函数，所以在上为减函数，故在上单调递减；
【小问3详解】
因为对任意都有，
所以对任意都有，
由在上为减函数；
所以对任意都有，
所以对任意都有，
因为，
所以即，解得
因为，
令，则，
令，它的对称轴为，
当，即时，在上是增函数，
，
解得舍去，
当即时，此时，
解得，
所以.
【点睛】方法点睛：小问(3)属于单调性和奇偶性综合应用问题，以及函数不等式恒成立问题，解决问题的关键是利用函数性质进行恒等变形，转化为不等式恒成立问题，求最值解不等式得到的范围，再通过换元把转化为二次函数闭区间上最值问题.本小题难度较大，对数学能力要求较高.