2026届湖南省湘潭市高三上学期二模数学试卷（学生版）

这是一份2026届湖南省湘潭市高三上学期二模数学试卷（学生版），共5页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 设不等式的解集为，则（ ）
A. B. C. D.
2. 若直线与直线垂直，则（ ）
A. B. C. 2D.
3. 现有一组数据2，4，5，2，3，6，8，4，5，则这组数据的第百分位数与中位数分别是（ ）
A. 4，6B. 5，4C. 6，4D. 6，5
4. 若，则（ ）
A. 3B. C. D.
5. 在平行四边形中，，则（ ）
A. B.
C. D.
6. 在中，角，，的对边分别为，，．已知，且，则面积的最大值为（ ）
A. B. C. D.
7. 已知函数的值域是，则（ ）
A. 1B. C. D. 2
8. 在正四棱台中，，且，记能将正四棱台罩住的半球的最小半径为，正四棱台外接球的半径为，则（ ）
A. B. 1C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知函数的部分图象如图所示，将图象上所有点的横坐标缩短到原来的后，再将所得图象向右平移个单位长度得到函数的图象，则（ ）
A.
B.
C. 图象的对称轴方程为
D. 的单调递增区间为
10. 定义：当且时，恒成立，则称是同号增函数．下列函数是同号增函数的是（ ）
A. B.
C. D.
11. 已知，是双曲线上两个不同的点，是的左顶点，则（ ）
A. 的焦距为
B. 当轴时，与可能垂直
C. 当时，，的横坐标之和的取值集合为
D. 当，的纵坐标异号时，对任意的点，都存在点，使得
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. ________．
13. 若直线是曲线的一条切线，则________．
14. 将数字1，2，3，4，5，6，7，8，9填入一个的方格中，每个格子填1个数字，且不重复，要求第一行数字满足，第三行数字满足，第三列数字满足，则符合要求的填数方法共有________种．（用数字作答）
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 设等比数列的公比，，且
（1）求的值；
（2）若，，成等差数列，求的值；
（3）设数列的前项和为，证明：．
16. 如图，在四棱锥中，平面，，是以为斜边的等腰直角三角形．
（1）证明：平面平面．
（2）若，，且直线与平面所成的角为，求直线与平面所成角的正弦值．
17. 某工厂生产的零件分为合格品与不合格品两类．现采用一台检测仪器对零件进行检测，该仪器存在检测误差，具体检测特性如下：当零件为合格品时，单次检测判定为“合格”的概率为0.8，判定为“不合格”的概率为0.2；当零件为不合格品时，单次检测判定为“合格”的概率为0.1，判定为“不合格”的概率为0.9.对同一个零件连续检测3次，若检测结果中“合格”的次数多于“不合格”的次数，则最终判定该零件为合格品；否则判定为不合格品．假设各次检测结果相互独立．已知该批零件中合格品占80%，不合格品占20%．
（1）若某零件为不合格品，求该零件最终被误判为合格品的概率．
（2）若随机抽取1个零件进行检测，求该零件最终被判定为合格品的概率．
（3）已知生产一个零件的成本为50元，每个零件被连续检测3次的总费用为10元．若某零件最终被判定为合格品，则以每件120元的价格出厂销售；否则作销毁处理．若出厂的零件实际为不合格品，则需向客户全额退款，并赔偿客户40元．设一个零件的利润为元，若的均值小于25，则该工厂将停止生产该零件；否则继续生产，试问该工厂是否会停止生产该零件？请说明理由．
18. 设抛物线（为常数，且）的焦点为，准线为，点在上且位于第一象限，过点作的垂线，垂足为．
（1）若点的坐标为，求．
（2）设过，，三点可作椭圆，且的两个焦点均在轴上，记轴正半轴上的焦点为，且在的左侧．
（ⅰ）证明：的周长为定值．
（ⅱ）证明：的离心率大于．
19. 已知函数，．
（1）证明：当时，
（2）若是的极大值点，求的取值范围．
（3）若，且，其中，证明：．