2026年湖南省湘潭市高考数学二模试卷

这是一份2026年湖南省湘潭市高考数学二模试卷，共19页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.设不等式x2+3x≤10的解集为M，则( )
A. 3∈MB. −6∈MC. 1∉MD. 6∈M
2.若直线m2x−8y−1=0与直线m3x+4y−7=0垂直，则m=( )
A. −2B. −12C. 2D. 12
3.现有一组数据2，4，5，2，3，6，8，4，5，则这组数据的第80百分位数与中位数分别是( )
A. 4，6B. 5，4C. 6，4D. 6，5
4.若tan(α2+π4)=32，则tanα=( )
A. 3B. 13C. 125D. 512
5.在平行四边形ABCD中，AC⋅BD=−4，则( )
A. |AB|2=|AD|2+2B. |AB|2=|AD|2+4
C. |AB|2=|AD|2−2D. |AB|2=|AD|2−4
6.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知a2+b2=4，且a2+b2=c2+ab，则△ABC面积的最大值为( )
A. 32B. 12C. 155D. 22
7.已知函数f(x)= 1−x2+1x+2的值域是[a,b]，则b−a=( )
A. 1B. 23C. 83D. 2
8.在正四棱台ABCD−A1B1C1D1中，AB=34A1B1=3 2，且AA1= 2，记能将正四棱台ABCD−A1B1C1D1罩住的半球的最小半径为R1，正四棱台ABCD−A1B1C1D1外接球的半径为R2，则R2R1=( )
A. 102B. 1C. 65D. 54
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知函数f(x)=Acs(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|0时，f(x1)−f(x2)x1−x2>0恒成立，则称f(x)是同号增函数.下列函数中，是同号增函数的有( )
A. f(x)=11−xB. f(x)=tanx
C. f(x)=ex−1ex+1D. f(x)=lg(2x−1)
11.已知Q，R是双曲线C：x2−y2=1上两个不同的点，P是C的左顶点，则( )
A. C的焦距为2 2
B. 当QR⊥x轴时，PQ与PR可能垂直
C. 当|PQ|=|PR|=3时，Q，R的横坐标之和的取值集合为(−1− 19,−1,−1+ 19)
D. 当Q，R的纵坐标异号时，对任意的点Q，都存在点R，使得∠PQR=120°
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.|2−3i|= ．
13.若直线y=kx是曲线y=12e2x的一条切线，则k= ．
14.将数字1，2，3，4，5，6，7，8，9填入一个3×3的方格中，每个格子填1个数字，且不重复，要求第一行数字满足a110，则y02=2px0，
由题意知，H(−p2,y0)，F(p2,0)，
因为C2经过A，H两点，且这两个点的纵坐标相同，
所以根据椭圆的对称性，得C2的短轴必在线段AH的垂直平分线上，且C2的中心O′的横坐标xO′=x0−p22=2x0−p4，
又因为C2的焦点均在x轴上，所以O′在x轴上，即O′(2x0−p4,0)，
设C2的长半轴长为a，则a=|xF−xO′|=p2−2x0−p4=3p−2x04>0，
设C2的左焦点为B′，则|HB|=|AB′|，
则△AHB的周长L=|AH|+|AB|+|HB|=|AH|+(|AB|+|AB′|)=|AH|+2a，
因为|AH|=x0+p2，且2a=3p−2x02，所以L=x0+p2+3p−2x02=2p，
故△AHB的周长为定值；
(ii)证明：设C2的焦距为2c，离心率为e，则c=ae，
由(i)知，F为C2的右顶点，B为右焦点，则xB=xO′+c=xO′+ae=2x0−p4+e(3p−2x0)4，
由B在x轴正半轴上可知xB>0则2x0−p+e(3p−2x0)>0，所以e>p−2x03p−2x0，
设C2的短半轴长为b，则b2=a2(1−e2)，
将点A(x0,y0)的坐标代入C2的方程(x−xO′)2a2+y2a2(1−e2)=1，
并结合y02=2px0，得(x0−xO′)2a2+2px0a2(1−e2)=1，
整理得2px01−e2=a2−(x0−xO′)2代入a与xO′，
化简得2px01−e2=p(p−2x0)2，解得e2=p−6x0p−2x0，
因为点A在第一象限且F为C2的右顶点，所以p2>x0，即p>2x0，
由p−6x0p−2x0>0知，p−6x0>0则x014，只需证p−2x03p−2x0>14，
即证4(p−2x0)>3p−2x0，即证x00，y0>0，则y02=2px0，得H(−p2,y0)，F(p2,0)，根据椭圆的对称性，可得C2的中心O′的横坐标xO′=x0−p22=2x0−p4，即O′(2x0−p4,0)，设C2的长半轴长为a，则△AHB的周长L=|AH|+|AB|+|HB|=|AH|+(|AB|+|AB′|)=|AH|+2a，再结合抛物线的定义即可证得答案；
(ii)设C2的焦距为2c，离心率为e，则c=ae，由(i)知，F为C2的右顶点，B为右焦点，则xB=xO′+c=xO′+ae=2x0−p4+e(3p−2x0)4，由B在x轴正半轴上可知xB>0，则2x0−p+e(3p−2x0)>0，所以e>p−2x03p−2x0，设C2的短半轴长为b，则b2=a2(1−e2)，将点A(x0,y0)的坐标代入C2的方程(x−xO′)2a2+y2a2(1−e2)=1，
解得e2=p−6x0p−2x0，因为点A在第一象限且F为C2的右顶点，所以p2>x0，即p>2x0，由p−6x0p−2x0>0知，p−6x0>0，则x01时，g′(x)1)，则lnk< k−1 k=k−1 k，再令k=1+t1−t>1(0