湖南师范大学附属中学2025-2026学年高三下学期开学考试数学试题（Word版附解析）

这是一份湖南师范大学附属中学2025-2026学年高三下学期开学考试数学试题（Word版附解析），文件包含湖南师范大学附属中学2025-2026学年高三下学期开学考试数学试卷Word版含解析docx、湖南师范大学附属中学2025-2026学年高三下学期开学考试数学试卷Word版无答案docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共30页， 欢迎下载使用。
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上
无效.
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1. 已知命题 ，则命题 的否定为（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据全称命题的否定是特称命题，即可得到结果.
【详解】因为命题 为全称命题，则其否定为 ， .
故选：C
2. 已知幂函数 的定义域为 ，则 （ ）
A. B. 2 C. D. 4
【答案】D
【解析】
【分析】根据幂函数的定义和性质求解.
第 1页/共 26页
【详解】因为 为幂函数，
所以 ，即 ，解得 ，或 ，
所以 或
又函数 的定义域为 ，所以 ， ，
所以 ，
故选：D
3. 甲、乙两位学生在学校组织的课后服务活动中，准备从①②③④⑤5 个项目中分别各自随机选择其中一
项，记事件 ：甲和乙选择的活动各不同，事件 ：甲和乙恰好一人选择①，则 等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先利用排列组合及计数原理，求出 和 ，再利用条件概率公式即可求出结果.
【详解】由题意知， ， ，
所以 ，
故选：B.
4. 过抛物线 的焦点作直线 l 交抛物线于 A，B 两点，若线段 中点的横坐标为 3，则 等于（ ）
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
【答案】D
【解析】
【分析】根据抛物线方程得它的准线为 ，从而得到线段 中点 到准线的距离等于 4．过 、
分别作 、 与 垂直，垂足分别为 、 ，根据梯形中位线定理算出 ，结
合抛物线的定义即可算出 的长．
【详解】解： 抛物线方程为 ， 抛物线的焦点为 ，准线为
第 2页/共 26页
设线段 的中点为 ，则 到准线的距离为： ，
过 、 分别作 、 与 垂直，垂足分别为 、 ，
根据梯形中位线定理，可得 ，
再由抛物线的定义知： ， ，
．
故选：D.
5. 放射性元素的特征是不断发生同位素衰变，而衰变的结果是放射性同位素母体的数目不断减少，子体的
数目不断增加，假设在某放射性同位素的衰变过程中，同位素含量 N（单位：贝克）与时间 t（单位：天）
满足函数关系 （e 为自然对数的底数），其中 为 时该同位素的含量，已知当 时，
该放射性同位素含量的瞬时变化率为 ，则 （ ）
A. 贝克 B. 贝克 C. 贝克 D. 贝克
【答案】C
【解析】
【分析】求导，由 求得 ，再计算即可．
【详解】求导得： ，
因为 ，
所以 ，所以
所以 ，
故选：C
第 3页/共 26页
6. 在 展开式中，只有第 5 项的二项式系数最大，则展开式中系数最小项的系数为（ ）
A. -126 B. -70 C. -56 D. -28
【答案】C
【解析】
【分析】
根 据 只 有 第 5 项 的 二 项 式 系 数 最 大 ， 得 到 ， 再 利 用 的 展 开 式 的 通 项
，分析二项式系数和项的系数间的关系求解.
【详解】 只有第 5 项的二项式系数最大，
， 的展开式的通项为 ，
展开式中奇数项的二项式系数与相应奇数项的展开式系数相等，
偶数项的二项式系数与相应偶数项的展开式系数互为相反数.
而展开式中第 5 项的二项式系数最大，
因此展开式第 4 项和第 6 项的系数相等且最小，
系数为 .
故选：C
【点睛】本题主要考查二项式定理的展开式、通项公式以及二项式系数与项的系数间的关系，还考查了运
算求解的能力，属于中档题.
7. 若双曲线 不存在以点 为中点的弦，则正实数 m 的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先假设中点弦存在，推导弦的斜率与中点坐标的关系，再联立直线与双曲线方程，通过判别式判
断方程是否有两个不同实根（即弦是否存在），最终反向推导弦不存在时 的取值范围.
【详解】设双曲线 上存在以 为中点的弦 ，其中 ， （ ）；
第 4页/共 26页
由中点坐标性质，得：
因为点 在双曲线上，满足双曲线方程： ，
用两式作差：
利用平方差公式展开：
两边同时除以 （因 ，分母不为 0），并代入 ， ：
设弦 的斜率为 ，化简得：
由点斜式，弦 的直线方程为：
整理为斜截式：
将直线方程代入双曲线方程 ，消去 ：
展开并通分（两边同乘 ）：
展开括号并整理：
合并同类项，得到关于 的一元二次方程：
双曲线存在以 为中点的弦的充要条件是：上述一元二次方程有两个不同的实根（对应弦的两个端点），且
两个实根对应的点在双曲线上，反之，弦不存在时，方程无两个不同实根，分两种情况讨论：
情况 1：方程不是一元二次方程（二次项系数为 0）
令二次项系数 ，解得 或 ，
因题目要求 ，故取 ，
此时方程退化为一次方程：
显然无实根，即不存在对应的弦，符合题意。
第 5页/共 26页
情况 2：方程是一元二次方程（二次项系数不为 0）
此时 （即 且 ），需方程无两个不同实根，即判别式 ，
对于一元二次方程 ，判别式 ，
对比方程，记：
计算判别式：
展开并化简：
提取公因式 ：
化简括号内的表达式：
展开 并合并同类项：
因此，判别式最终化简为：
要求 ，结合 （题目限定正实数）， ， ，故不等式等价于：
令 （ ），则不等式变为：
解此一元二次不等式，得：
即 ，结合 ，开方得： ；
情况 1（ ）和情况 2（ ）合并，得正实数 的取值范围为： .
故选：A
8. 已知函数 ，若函数 恰有三个零点时，关于 的函数
的零点个数为（参考数据： ）（ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】先根据函数 的性质作出其图象，由 恰有三个零点求出 的值，再将 的
零点问题转化为两个函数图象的交点问题，最后通过分析图象交点个数得出 的零点个数.
第 6页/共 26页
【详解】 ，
当 时， 恒成立，
所以 在 上单调递减，
所以 ，
当 时， 为偶函数，
在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 ，即 ，
易得函数 为偶函数，由此作出函数 的大致图象如图 1 所示.
由函数 恰有三个零点可得 ，
由 得 ，
所以将函数 的零点个数问题转换为函数 的图象与直线 的交点个数问题，
易得直线 与 轴的交点坐标为 在点 的左边，
又 ，可求得函数 斜率为 的切线方程为：
，
因为 ，所以 的图象与直线 必有 2 个交点，如图 2 所示，
即 的零点有 2 个.
故选：C.
第 7页/共 26页
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.
9. 在复数范围内关于 的实系数一元二次方程 的两根为 ，其中 ，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】BD
【解析】
【分析】根据实系数一元二次方程中韦达定理可求出 判断 B，再由韦达定理判断 A，根据复数的乘法及
共轭复数判断 C，再由复数除法判断 D.
【详解】因为 且实系数一元二次方程 的两根为 ，
所以 ，可得 ，故 B 正确；
又 ，所以 ，故 A 错误；
由 ，所以 ，故 C 错误；
，故 D 正确.
故选：BD
10. 已知 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，则（ ）
A. 若 ，则
B. 若 ，则 是锐角三角形
第 8页/共 26页
C. 若 ，则 为钝角三角形
D. 若 为锐角三角形，且 ，则 的最小值为 8
【答案】ACD
【解析】
【分析】由正弦定理和大角对大边判断 A，利用平面向量数量积的定义判断 B，结合题意并利用正弦定理与
余弦定理判断 C，变形得到 ，令 ，得到
，由基本不等式求出最小值判断 D 即可.
【详解】对于 A，若 ，由大角对大边得 ，
由正弦定理得 ，
故 ，故 A 正确；
对于 B，由向量数量积的定义得 ，
则 ，即 为锐角，但不确定 是否是锐角，
可得 不一定是锐角三角形，故 B 错误，
对于 C，因为 ，
所以 ，得到 ，
由正弦定理得 ，即 ，
由余弦定理得 ，则 为钝角三角形，故 C 正确，
对于 D，由题意得 ，
则 ，可得 ，
即 ，故 ，
可得 ，
而 为锐角三角形，故 ，
第 9页/共 26页
所以 ，令 ，
则 ，
当且仅当 ，即 时，等号成立，故 D 正确.
故选：ACD
11. 已知 （ 且 ），若 ，且 （e 为自然对数的底数），则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】首先判断 ，令 ，利用导数说明函数的单调性，即可判断 A；令
，即可判断 B；令 ，利用导数说明函数的单调性，得到 ，即
可判断 C；令 ， ，利用导数说明函数的单调性，即可判断 D.
【详解】由 ，可知 或 ，
又 ，因 同正，两边同除以 可得 ，
令 ，则 ，
所以当 时， ， 在 上单调递减，
当 时， ， 在 上单调递增，
当 且 ，此时 与题意不符合；
当 且 时， ，故 ．
第 10页/共 26页
令 ，则 ，
当 时， ， 在 上单调递减，
又 ，所以 ，所以 ，
所以 ，故 A 正确；
令 ，则 ，
所以当 时， ， 在 上单调递增，
当 时， ， 在 上单调递减，
因为 ，所以当 时， ，
即 ，即 ，故 B 错误；
令 ，则 ，
记 ，则 ，
所以 ，则 ，所以 在 上单调递增，
所以 ，即 ，即 ，
所以 ，即 ，故 C 正确；
令 ， ，
则 ，
令 ， ，则 ，即 在 上单调递增，
所以 ， ， 在 上单调递增，
所以 ，即 ，故 D 正确．
故选：ACD．
第 11页/共 26页
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 已知集合 ， ，且 ，
则 的取值范围是________．
【答案】
【解析】
【分析】利用点到直线的距离公式求出圆心 到直线 的距离，再结合
，得出 的取值范围.
【详解】集合 是直线族 上的所有点构成的集合，
集合 是以原点 为圆心，半径为 的圆上的所有点构成的集合.
根据点到直线的距离公式，圆心 到直线 的距离
因为 ，所以直线与圆没有交点，故 ，
即 ，又 ，所以 .
故答案 ：
13. 在三棱锥 中， ， 都是等边三角形，且 ，则三棱锥 表面积的
最大值为________．
【答案】
【解析】
【分析】先算固定面面积，再通过二面角表示可变面面积，利用二次函数求其最值，相加可得表面积的最
大值.
【详解】
已知 ，即 、 均为边长为 的等边三角形，
第 12页/共 26页
根据等边三角形面积公式 （ 为边长）： ，
因此，两个固定面的面积和为： ；
取 的中点 ，连接 、 ，
由等边三角形“三线合一”的性质： ， （三线合一），
因此 是二面角 的平面角，记 （ ），
在 中， ， ，
由勾股定理：
连接 ，在 中，由余弦定理可得
在 中，已知 ， ， ，
再由 ，得 ，
因此：
化简得：
由对称性可知 ，因此两个可变面的面积和为：
令 ，由 得 ，
则需最大化二次函数：
该二次函数的二次项系数 ，开口向下，对称轴为：
对称轴 ，代入得 的最大值：
第 13页/共 26页
因此，可变面面积和的最大值为：
三棱锥表面积 ，代入最大值得：
三棱锥 表面积 最大值为 .
故答案为： .
14. 某文件被切分成 n 个独立分片上传云端，每个分片上传成功的概率为 ，且相互独立.当成功上传了 m
个分片时，文件可被成功恢复的概率为 ．为使文件最终成功恢复的概率不小于 ，正整数 n 的最小
值为________.（参考数据： ， ）
【答案】13
【解析】
【分析】根据全概率公式结合题意计算即可.
【详解】记文件最终成功恢复为事件 ，则由全概率公式，
.
根据二项式定理 ，因此有：
， ，
所以 .
令 ，得 ，
所以 .
所以 的最小值为 13.
第 14页/共 26页
故答案为：13.
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知函数 ．
（1）若 ， ， ，求 值；
（2）若偶函数 与 的图象关于直线 对称，且 在 上单调递增，求 的
值．
【答案】（1） ；
（2）1.
【解析】
【分析】（1）利用二倍角的余弦公式和辅助角公式化简原函数，再结合同角三角函数的基本关系与两角和
的正弦公式求解即可.
（2）利用对称性结合奇偶性得到 ，利用单调性得到 ，最后求出取值即可.
【小问 1 详解】
由题意得
，
当 时， ，而 ，则 ，
即 ，因为 ，所以 ，
此时 ，由同角三角函数的基本关系得 ，
而 ，
由两角和的正弦公式得
，故 .
第 15页/共 26页
【小问 2 详解】
因为 与 的图象关于直线 对称，
所以 ，
因为 是偶函数，所以当 时， 取得最值，
此时 ，解得 ，
因为 ，所以 ，
因为 在 上单调递增，所以 ，解得 ，
则当 时， ，此时符合题意.
16. 在平面四边形 ABCD 中， 为边长为 2 的正三角形， 为等腰三角形且 ，将
沿 向上翻折至 ，其中 P 为动点．
（1）若 ，证明： 平面 ；
（2）当直线 与平面 所成角的正弦值取到最大值时，求点 到平面 的距离．
【答案】（1）答案见解析；
（2） .
【解析】
【分析】（1）根据线面垂直，可证线面垂直；
（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量表示出直线 与平面 所成角的正弦值，从而得到点 的坐
标，利用等体积转化法求出点 A 到平面 BPD 的距离.
【小问 1 详解】
第 16页/共 26页
为边长为 2 的正三角形， ，
为等腰三角形且 ， ，
， ，
， ，
在 中， ， ， 为等腰三角形，
取 中点 ，连接 ， ,
， 平面 ， 平面 ， ， 平面 .
【小问 2 详解】
， 平面 ， 以 为原点，分别以 为 轴，
过 作平面 的垂线作为 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
为边长为 2 的正三角形， 为等腰三角形且 ，
， ， ，设 ，
为边长为 2 的正三角形， ， ，
，设 ，则 ，
，
平面 的法向量为 ，
设直线 AP 与平面 ABD 所成的角为 ，
则 ，
设 ，
第 17页/共 26页
设 ， ， ，
， ， ，
转化为 ，
， ，
当且仅当 时，即 时，等号成立，
此时， ， ， ，
即 时， ，则 ，
则 ，即 ，即 ，
则直线 AP 与平面 ABD 所成角的正弦值取到最大值为 时， ，
，则 ，
设点 A 到平面 BPD 的距离为 ，
点 到平面 ABD 的距离为 ，
， ，
，
，
，
第 18页/共 26页
点 到平面 的距离为 .
17. 已知椭圆 的左、右焦点分别为 ， ，过点 的直线交椭圆于 两点，
若 ， 的周长为 8．
（1）求椭圆 C 的标准方程；
（2）已知直线 与椭圆 C 交于 两点， 为坐标原点，且 ， 的斜率之积为 ，试判断
的面积 是否为定值，并说明理由．
【答案】（1）
（2）定值 ，理由见解析
【解析】
【分析】（1）由椭圆的定义求得 ，再由焦距求得 ，即可求解；
（2）设 ，通过斜率之积为 ，结合 在椭圆上，得到 ，求得
点 到直线 的距离 ，由 即可判断.
【小问 1 详解】
由题意可知 的周长为 ，
即 ，则 ，
又 ，则 ，
所以 ，
所以椭圆 C 的标准方程是： .
【小问 2 详解】
定值，理由如下
第 19页/共 26页
设 ，
由题意 ，即 ，
由 ，两式相乘可得 ，
即 ，
配方可得： ，
所以 ，
则 ，
又直线 的方程为 ，
点 到直线 的距离 ，
所以 的面积 ，
即 的面积为定值.
18. 已 知 函 数 的 定 义 域 为 ， 区 间 ， 当 时 ， 如 果
，则称函数 是 上的凹函数．若函数 在 上连续，
在 上可导，则 为凹函数的充要条件是其导函数 在 上单调递增．
（1）证明：函数 是凹函数；
第 20页/共 26页
（2）若函数 是 上的凹函数，证明：对于任意的 和任意的 ，总有
；
（3）求证： ，其中 ， 均为正数．
【答案】（1）证明见解析；
（2）证明见解析； （3）证明见解析.
【解析】
【分析】（1）求出 ，设 ，利用导数法得到 在 上是单调递增函数，即
在 上是单调递增函数，从而根据定义得解；
（2）设 ， ，不妨设 ，结合 得到 ，由
凹函数的定义得到 ，通过整理得到 ，此
式代入 得解；
（3）利用分析法证明，将要证明的不等式取对数得到证明 ，通过整理需要证
明 ，分别按照 和 讨论得到证明.
【小问 1 详解】
，定义域为 ，
，
设 ，则 ，
， ， ，
在 上是单调递增函数，即 在 上是单调递增函数，
根据题中凹函数的充要条件，可知函数 是凹函数.
【小问 2 详解】
设 ， ，不妨设 ，
， ，
第 21页/共 26页
，
，
，
， ，
由凹函数的定义， ，
， ，
， ，
转化为 ，
转化为 ，
， ，
转化为 ，
，
，
，
，
.
【小问 3 详解】
要证明 ，即证明 ，
第 22页/共 26页
即证明 ，
即 ，
即 ，
即 ，
即 ，
当 时， ， ；
当 时， ， ；
综上可得， ，其中 ， 均为正数.
19. 已知数列 ， 满足 是公差为 2 的等差数列， 是首项为 4 的等比数列，且
．
（1）求数列 ， 的通项公式；
（2）记 ，求数列 的前 项和；
（3）是否存在两个不同的正整数 ， ，使得 可以按某种顺序构成一个新的等差数列？如果
存在，求出所有的 ， ；如果不存在，请说明理由．
【答案】（1） ，
（2）
（3）不存在符合条件的正整数 ，理由见解析
【解析】
【分析】(1)设 、 ，用首项、公差、公比表示 ，结合已知条件列方程求解参数，
最终得到通项公式；
(2)代入 和 化简 ，得到等差乘等比型数列，使用错位相减法计算前 项和；
(3)先分析 、 的单调性与符号，确定四个数的大小关系，结合等差数列“最大项+最小项=中间两
项和”的核心性质列方程，验证是否存在符合条件的正整数 .
第 23页/共 26页
【小问 1 详解】
设 ， .
由题意， 是公差为 2 的等差数列，因此 ；
是首项为 4 的等比数列，设公比为 ，因此 .
由数列和差关系，可得：
代入已知条件 、 列方程：
， ，代入 ，得 ；
， ，代入 ，得 .
联立方程解得 ， ，因此：
， ，
于是 ， .
【小问 2 详解】
已知 ， ，因此：
.
设数列 的前 项和为 ，则：
(1)-(2)错位相减：
，
令 ：
第 24页/共 26页
，
两式相减：
，
故 ，因此：
，
于是， ，
即 .
【小问 3 详解】
对 ： ，因此 是单调递增的正项数列，
即 对任意正整数 成立；
对 ： ，因此 是单调递减数列，
且 ， 时 ，即 .
若四个数按某种顺序成等差数列，因此必有：
，即 ，
，
为正整数，且 ，因此 是 2 的正整数次幂，
仅当 时， ，此时 ，解得 .
验证该解：四个数 ， ， ， ，
按从小到大排列为 ，相邻项的差不相等，无法构成等差数列.
其余正整数 均无法使方程成立，因此不存在符合条件的正整数 .
第 25页/共 26页