湖南省师范大学附属中学2024-2025学年高二下学期入学考试数学试卷（Word版附解析）

这是一份湖南省师范大学附属中学2024-2025学年高二下学期入学考试数学试卷（Word版附解析），共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
时量：120 分钟 满分：150 分
一、选择题：本大题共 8 个小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的．
1. 已知 ，则在复平面内 对应的点位于（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】D
【解析】
【分析】根据复数的模及除法运算化简复数，即可得到复数对应点得解.
【详解】 ，
复平面内 对应的点 位于第四象限.
故选：D
2 设集合 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先分别指数函数与对数函数的单调性来求解不等式,得到集合 与集合 ，再求出集合 在全集 中
的补集 ，最后求出 .
【详解】已知 ，因为指数函数 在 上单调递增，所以由 可得 ，即
.
已知 ， .因为对数函数 在 上单调递增，
所以由 可得 ，即 .
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因为 ，所以 . 可得 .
故选：C.
3. 在等差数列 中，已知 ， ，则 等于（ ）
A. 11 B. 13 C. 15 D. 16
【答案】A
【解析】
【分析】根据等差数列通项公式和前 项和表达式即可得到方程，解出即可.
【详解】设等差数列的公差为 ，
则 ，
即 ，解得 ，则 .
故选：A.
4. 甲、乙、丙、丁、戊 5 名同学站成一排参加文艺汇演，若甲站在两端，丙和丁相邻，则不同的排列方式
共有（ ）
A. 12 种 B. 24 种 C. 36 种 D. 48 种
【答案】B
【解析】
【分析】分别考虑甲站在排头或排尾再结合捆绑法，求解即可.
【详解】若甲站在排头，则丙和丁相邻，则共有 种方法，
若甲站在排尾，则丙和丁相邻，则共有 种方法，
则共有： 种方法.
故选：B.
5. 圆 和圆 交于 、 两点，则线段 的垂直平分线的方程是（
）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】将两圆的方程相减，得直线 AB 的方程，根据两直线的位置关系知所求垂直平分线的斜率，结合圆
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心坐标和直线的点斜式方程即可求解.
【详解】将两圆的方程相减，得直线 AB 的方程 ，
则线段 AB 的垂直平分线的斜率为 ，
由两圆的方程知，两圆的圆心分别为 ，
所以线段 AB 的垂直平分线的方程为 ，
即 .
故选：C.
6. 在 的展开式中， 的系数是（ ）
A. 690 B. C. 710 D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题可先根据等比数列求和公式对原式进行化简，再根据二项式展开式的通项公式求出 的系数.
【详解】观察原式 ，这是首项为 ，公比为 （ ），
项数为 的等比数列的和.
根据等比数列求和公式
要求原式展开式中 的系数，即求 展开式中 的系数.
根据二项式 展开式的通项公式 分别求出 和 展开式中 的系数.
对于 ， ，令 ，则 的系数为 .
对于 ， ，令 ，则 的系数为 .
所以 展开式中 的系数为 ，即原式展开式中 的系数为 .
故选：D.
7. 已 知 点 O 是 平 面 上 一 定 点 ， A， B， C 是 平 面 上 不 共 线 的 三 个 点 ， 动 点 P 满 足
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，则点 P 的轨迹一定通过 的（ ）
A. 外心 B. 内心 C. 重心 D. 垂心
【答案】B
【解析】
【分析】根据 是以 为始点，向量 与 为邻边的菱形的对角线对应的向量，可知
点轨迹，据此可求解.
【详解】 ， ,
令 ，
则 是以 为始点，向量 与 为邻边的菱形的对角线上的向量，
即 在 的平分线上，
， 共线，
故点 P 的轨迹一定通过△ABC 的内心，
故选：B
8. 已知 对 恒成立，则实数 a 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】将不等式 进行变形，然后构造函数 ，根据其单调性得到 ，进而转化
为 恒成立问题，最后通过求函数 在 上的最大值来确定 的取值范围.
【详解】设 ，对 求导，可得 .
因为 时， ， ，所以 ，这表明 在 上单调递增.
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已知 对 恒成立，当 时， ，则有 ，
当 时， 可变形为 .
因为 在 上单调递增，且 ， （ ），所以由 可得 ，即
对 恒成立.
设 ，对 求导，可得 .
当 时， ，所以 ， ，则 .
这说明 在 上单调递减，那么 在 上的最大值为 .
因为 对 恒成立，所以 ，即实数 的取值范围是 .
故选：A.
二、选择题：本大题共 3 个小题，每小题 6 分，共 18 分，在每小题给出的选项中，有多项符
合题目要求．全部选对的得 6 分，部分远为 0 得部分分，有选错的得 0 分．
9. 设 ， 为两个随机事件，以下命题正确的是（ ）
A. 若 与 对立，则
B. 若 与 互斥， ， ，则
C. 数据 ， ， ， ， ， ， ， ， ， 的 分位数是 7.8
D. 若 与 相互独立， ， ，
【答案】BD
【解析】
【分析】A 选项根据对立事件的概念可得；B 选项根据互斥事件的概念可得；C 选项根据百分位数的定义可
得；D 选项根据事件相互独立性的概念可得.
【详解】对于 A 选项，因为 与 对立， ，则 ，所以 A 错误；
对于 B 选项， ，则 ，因为 与 互斥，
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所以 ，所以 B 正确；
对于 C 选项，这组数据一共有 10 个数，所以 分位数为第 8 个数与第 9 个数的平均数，为
，所以 C 错误；
对于 D 选项，若 与 相互独立，则 与 也相互独立，
因为 ， ，所以 ， ，
所以 ，所以 D 正确.
故选：BD.
10. 如图， 两两互相垂直，三棱锥 是正四面体，则下列结论正确的是（ ）
A. 二面角 的大小为
B.
C. 若 的中心为 ，则 三点共线
D. 三棱锥 的外接球过点
【答案】BCD
【解析】
【分析】由已知可得 ，取 的中点 ，可得 ， ，所以 为
二面角 的平面角，设 ，求出 、 ，在 中由余弦定理可判断 A；连接
，利用线面垂直的判定定理和性质定理可判断 B；根据三棱锥 是正三棱锥得 平面 ，
三棱锥 是正三棱锥得 平面 可判断 C；几何体 与棱长为 正方体
有相同的外接球可判断 D.
【详解】对于 A，由已知可得 ， ， ，
而 ，所以 ，取 的中点 ，连接 、 ，
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可得 ， ，所以 为二面角 的平面角，
设 ，则 ， ， ，
在 中，由余弦定理可得
，故 A 错误；
对于 B，由 A 选项连接 ，因为 ，所以 ，
因为 ， 平面 ，所以 平面 ，
平面 ，所以 ，故 B 正确；
对于 C，由选项 A 可知三棱锥 是正三棱锥，且 平面 ，
三棱锥 也是正三棱锥， 平面 ，则 三点共线，故 C 正确；
对于 D，由 A 选项 是棱长为 正四面体，三棱锥 是侧棱长为 ，
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底面边长为 的正三棱锥，所以几何体 与棱长为 正方体 有相同的外接
球，
故 D 正确.
故选：BCD.
11. 加斯帕尔·蒙日（图 1）是 18～19 世纪法国著名的几何学家，他在研究圆锥曲线时发现：与椭圆相切
的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆.我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆（图 2）.已
知椭圆 ： 的左、右焦点分别为 ， ，点 ， 均在 的蒙日圆 上， ， 分别与
相切于 ， ，则下列说法正确的是（ ）
A. 的蒙日圆方程是
B. 设 ，则 的取值范围为
C. 若点 在第一象限的角平分线上，则直线 的方程为
D. 若直线 过原点 ，且与 的一个交点为 ， ，则
【答案】BC
【解析】
【分析】对于 A，根据椭圆的两条特殊切线的交点求出蒙日圆的半径，可得 A 错误；对于 B，利用椭圆的
定义求出 的取值范围可得 B 正确；对于 C，利用导数的几何意义求解可得 C 正确；对于 D，根
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据椭圆的定义以及平面向量数量积的运算律可求出 ，可得 D 错误.
【详解】对于 A，分别过椭圆 的顶点 ， 作椭圆 的切线，则两切线的交点 在椭圆
的蒙日圆上，
故该蒙日圆的半径 ，即椭圆 的蒙日圆的方程为 ，故 A 错误；
对于 B，由椭圆的定义得
，
当且仅当点 在 的延长线上时取等号，
，
当且仅当点 在 的延长线上时取等号，所以 的取值范围为 ，故 B 正确；
对于 C，在方程 中，令 ，得 ，故 ，
设切点 ， ， 因为 ， ，所以 ， ，
由 两边对 求导得 ，所以 ， ，
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又 ， ，所以 ， ，
所以 ， ，
所以 ， ，
所以点 、 都在直线 上，
所以直线 的方程为 ，故 C 正确；
对于 D， ，则 ，所以 ，
由 得 ①，
由 得 ②，
则① ②得 ，解得 ，
所以 ，故 D 错误.
故选：BC
【点睛】关键点点睛：利用导数的几何意义求解椭圆的切线方程，利用平面向量数量积求解向量的长度是
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解题关键.
三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分．
12. 若函数 在 处取得极大值，则常数 a 的值为_______．
【答案】3
【解析】
【分析】由题意得出 ，可求得实数 的值，然后将实数 的值代入导数，就函数 是否
在 处极大值进行检验，由此可得出实数 的值.
【详解】 ，
，
由题意可得 ，整理得 ，解得 或 .
当 时， ，
令 ， 或 ;令 ， ,
此时，函数 在 处取得极小值，不符合题意，
当 时， .
令 ，得 或 ；令 ，得得 .
此时，函数 在 处取得极大值，合乎题意.
综上所述， .
故答案为：3.
13. 如图，过抛物线 焦点的直线依次交抛物线与圆于点 A，B，C，D，F 为圆心，FO 为半径，则
的值是_______．
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【答案】1
【解析】
【分析】设过抛物线的焦点 F 的直线方程为 ，与抛物线的方程联立，即可求解 的值，
得到 答案.
【详解】由题意，可得抛物线的焦点坐标为 ，
设直线的方程为 ，联立 ，得 ，
因为 ，
所以 .
故答案为：1.
14. 设首项是 1 的数列 的前 n 项和为 ，且 ,若 ，则正整
数 m 的最大值是_______．
【答案】11
【解析】
【分析】分 为偶数与奇数，利用递推公式及构造法推导出通项公式，进而根据分组求和结合等比求和公
式可得 为偶数时的前 项和，再确定 的值即可．
【详解】 ，
当 为偶数时，
，
，又 ，
故 ，故 ；
当 为奇数时，
，
，又 ，
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故 ，故 ；
当 为偶数时，
由于
当 时， ，
当 时， ，
当 为奇数时， ，
当 时， ，
故正整数 的最大值是 11，
故答案为：11.
四、解答题：本大题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 如图， 平面四边形 中， ．
（1）若 ，求 ；
（2）若 ，求四边形 的面积．
【答案】（1）
（2）
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【解析】
【分析】（1）连接 后由余弦定理与两角和的正弦公式求解
（2）由余弦定理与面积公式求解
【小问 1 详解】
连接 ，在 中， ，
且 ， ，所以 ．
在 中，由余弦定理得 ，
所以 ．
所以
【小问 2 详解】
在 中，由余弦定理得 ，
即 ，解得 或 （舍去），
所以四边形 的面积为
16. 如图，已知圆台下底面圆 的直径为 ， 是圆 上异于 、 的点， 是圆台上底面圆 上的点，
且平面 平面 ， ， ， 、 分别是 、 的中点.
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（1）证明： 平面 ；
（2）若直线 上平面 且过点 ，试问直线 上是否存在点 ，使直线 与平面 所成的角和平面
与平面 的夹角相等？若存在，求出点 的所有可能位置；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）证明见解析；
（2）存在，点 与点 重合.
【解析】
【分析】（1）证明出 ，利用面面垂直的性质可证得结论成立；
（2）以 为坐标原点， 为 轴， 为 轴，过 垂直于平面 的直线为 轴，建立空间直角坐标
系，易知 轴在平面 内，分析可知 ，设点 ，利用空间向量法结合同角三角函数的基
本关系可得出关于 的方程，解出 的值，即可得出结论.
【小问 1 详解】
证明：因为 为圆 的一条直径，且 是圆 上异于 、 的点，故 ，
又因为平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ，
所以 平面 .
【小问 2 详解】
解：存在，理由如下：
如图，以 为坐标原点， 为 轴， 为 轴，过 垂直于平面 的直线为 轴，建立空间直角坐
标系，易知 轴在平面 内，
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则 ， ， ， ， ， ，
由直线 平面 且过点 ，以及 平面 ，得 ，
设 ，则 ， ， ，
设平面 的法向量为 ，
则则 ，即 ，取 ，得 ，
易知平面 的法向量 ，
设直线 与平面 所成的角为 ，平面 与平面 的夹角为 ，
则 ，
，
由 ，得 ，即 ，解得 ，
所以当点 与点 重合时，直线 与平面 所成的角和平面 与平面 的夹角相等.
17. 已知数列 的前 项和为 ，且 ．
（1）求数列 的通项公式；
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（2）若数列 满足 为数列 的前 项和，求证： ．
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）先根据已知条件求出 和 的值，再通过 的关系得出数列 的通项公式；
（2）采用错位相减法求出数列 的前 项和 ，然后证明 .
【小问 1 详解】
已知 ，且 .
当 时， ，即 ，将 代入可得 .
当 时 ， ， 即 ， 将 代 入 可 得
.
联立方程组 ， 解得 ，则 .
所以 .
当 时， .
用 减去 可得：
因为 ，所以
两边同时除以 可得： .
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当 时， ， ，上式也成立.
利用累加法求 ：
，
，
，
，
将以上 个式子相加可得：
因为 ，所以 ，则 .
当 时， ，上式也成立.
所以数列 的通项公式为 .
【小问 2 详解】
已知 ，则
得：
其中 是首项为 ，公比为 的等比数列的前 项和，
得 ，
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则
所以 .
18. 已知双曲线 ： 离心率为 ，点 在双曲线 上．过 的左焦点 F
作直线 交 的左支于 A、B 两点．
（1）求双曲线 的方程．
（2）若 ，试问：是否存在直线 l，使得点 M 在以 AB 为直径的圆上？若存在求出直线 l 的方程；
若不存在，说明理由．
（3）点 ，直线 交直线 于点 ．设直线 、 的斜率分别 、 ，求证： 为
定值．
【答案】（1） ；
（2）不存在，理由见解析；
（3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据题意列式求 ，进而可得双曲线方程；
（2）设 ，联立方程，利用韦达定理判断 是否为零即可；
（3）用 两点坐标表示出直线 ，得点 坐标，表示出 ，结合韦达定理，证明 为定值．
【小问 1 详解】
由双曲线 的离心率为 ，且 在双曲线 上，
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可得 ，解得 ，所以双曲线的方程为 ．
【小问 2 详解】
双曲线 左焦点为 ，
当直线 的斜率为 0 时，此时直线为 ，与双曲线 左支只有一个交点，不符合题意，
当直线 的斜率不为 0 时，设 ，
由 ，消去 得 ，
显然 ， ，
设 ，则 ，得 ，
于是 ，
，
即 ，因此 与 不垂直，
所以不存在直线 ，使得点 在以 为直径的圆上．
【小问 3 详解】
由直线 ，得 ，
则 ，又 ，
于是
，
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而 ，即有 ，且 ，
所以 ，即 为定值．
【点睛】方法点睛：①引出变量法，解题步骤为先选择适当的量为变量，再把要证明为定值的量用上述变
量表示，最后把得到的式子化简，得到定值；②特例法，从特殊情况入手，求出定值，再证明这个值与变
量无关．
19. 已知函数 .
（1）当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
（2）若 ，求 的取值范围；
（3）当 时，记 的导函数为 ，证明：对 ，不等式 恒成
立.
【答案】（1）
（2）
（3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）利用导数的几何意义求出切线方程作答；
（2）对 时，利用导数判断单调性求出 ，得解；对 时，由 ，可得
，由 ，可验证上式不恒成立，得解；
（3）利用 ，可得 ，构造函数 ，利用导数证明
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即可得证.
【小问 1 详解】
由题意得 的定义域为 ，
当 时， ，则 ，
所以 ，又 ，
所以所求切线方程为 .
【小问 2 详解】
由题得 ， ，
令 ，则 ，
若 ，则 ，即 在 上单调递增；
因为 ，所以当 时， ，当 时， ，
即 在 上单调递减，在 上单调递增.
即 ，
由 ，得 ，即 .
若 ，由 ，可得 ，
即 ，对任意 恒成立，
因为 ，而 ，当 时， ，
所以对 时， 不成立，即当 时， 不恒成立；
综上可知， .
【小问 3 详解】
令 ，则 ，
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由 ，得 ，由 ，得 ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
则 ，所以 ，
则 ，当且仅当 时等号成立.
当 时， ，
令 ，
则
，
因为 恒成立，所以由 ，得 ，由 ，得 ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
则 ，所以 .
综上可知， ，当且仅当 时两等号同时成立，
所以 .
【点睛】关键点点睛：本题第三问证明的关键是利用不等式 ，证明 ，将问
题转化为证明 .
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