精品解析：湖南长沙市雅礼中学2025-2026学年高三下学期开学考试数学试题（原卷版）

这是一份精品解析：湖南长沙市雅礼中学2025-2026学年高三下学期开学考试数学试题（原卷版），共5页。试卷主要包含了 下列结论中，错误的是，001， 已知，，则等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 在复平面内，复数 对应的点位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限
C 第三象限D. 第四象限
2. 已知符号函数，则“”是“”的（ ）
A. 充要条件B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件
3. 已知向量与的夹角为，则（ ）
A. B. C. D.
4. 下列结论中，错误的是（ ）
A. 数据4，1，6，2，9，5，8的第60百分位数为6
B 若随机变量，则
C. 已知经验回归方程为，且，则
D. 根据分类变量与成对样本数据，计算得到，依据小概率值独立性检验，可判断与有关联，此推断犯错误的概率不大于0.001
5. 白舍窑位于江西省南丰县白舍镇，是宋元时期“江西五大名窑”，其瓷器以白瓷最为闻名，素有“白如玉，薄如纸”的特点．如图是白舍窑生产的一款斗笠型茶杯，茶杯外形上部为一个圆台，下部实心且外形为圆柱．现测得底部直径为6cm，上部直径为12cm，茶杯侧面与水平面的夹角为，则该茶杯容量（茶杯杯壁厚度忽略不计）约为（ ）（单位：）
A. B. C. D.
6. 已知，，则（ ）
A. B. C. D.
7. 已知函数，若不等式在上恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
8. 设为正整数，在平面直角坐标系中，若，且）恰好能表示出12个不同的椭圆方程，则的一个可能取值为（ ）
A. 12B. 8C. 7D. 5
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知函数的部分图象如图所示，若将函数的图象纵坐标不变，横坐标缩短到原来的，再向右平移个单位长度，得到函数的图象，则下列命题正确的是（ ）
A. 函数的解析式为
B. 函数的解析式为
C. 函数在区间上单调递增
D. 函数图象的一条对称轴是直线
10. 已知抛物线C：焦点为F，直线与C交于点A，B（A在第一象限），以AB为直径的圆E与C的准线相切于点D．若，则下列说法正确的是（ ）
A. A，B，F三点共线B. l的斜率为
C. D. 圆E的半径是4
11. 如图，在棱长为2的正方体中，M，N，P分别是，，的中点，Q是线段上的动点，则( )

A. 存在点Q，使B，N，P，Q四点共面
B. 存在点Q，使平面MBN
C. 过Q，M，N三点的平面截正方体所得截面面积的取值范围为
D. 经过C，M，B，N四点的球的表面积为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 若曲线的一条切线为，其中为正实数，则的取值范围是__________.
13. 已知双曲线的左、右焦点分别为，点，点是第一象限内双曲线上的一点，满足.记的面积分别为、，则______.
14. 锐角中，角所对应的边分别为，满足，，则的周长的取值范围为_______.
四、解答题：本题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知数列的各项均为正数，前项和为，且，是与的等差中项.
（1）证明：数列是等差数列；
（2）设，求数列的前项和.
16. 在直角梯形中，，，，如图（1）．把沿翻折，使得平面平面．

（1）求证：；
（2）在线段BC上是否存在点N，使得AN与平面ACD所成角为60°？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
17. 有甲、乙两个不透明的罐子，甲罐有3个红球，2个黑球，球除颜色外大小完全相同.某人做摸球答题游戏.规则如下：每次答题前先从甲罐内随机摸出一球，然后答题.若答题正确，则将该球放入乙罐；若答题错误，则将该球放回甲罐.此人答对每一道题目的概率均为 当甲罐内无球时，游戏停止.假设开始时乙罐无球.
（1）求此人三次答题后，乙罐内恰有红球、黑球各1个的概率；
（2）设第 次答题后游戏停止的概率为 问：是否存在最大值?若存在，求出最大值；若不存在，试说明理由.
18. 已知点，动点满足，动点的轨迹记为.
（1）求的方程；
（2）直线与轴交于点为上的动点，过作的两条切线，分别交轴于点.
①证明：直线的斜率成等差数列；
②经过三点，是否存在点，使得？若存在，求；若不存在，请说明理由.
19. 已知为常数，函数.
（1）讨论的单调性；
（2）若有两个零点
①求的取值范围；
②若恒成立，求的取值范围.