湖南省长沙市雅礼中学2025-2026学年高三上学期开学考试数学试卷（Word版附答案）

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命题人:童继稀 审题人:张鎏 得分:_____
本试卷分第 I 卷(选择题) 和第 II 卷(非选择题) 两部分, 共 8 页. 时量 120 分钟, 满分 150 分.
第 I 卷
一、选择题:本题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. 在每小题给出的四个选 项中, 只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合 M={x∣x=2k+1,k∈Z},N={x∣x=4k+1,k∈Z} ,则整数集 Z 可以表示为
A. M∪N
B. ∁ZM∪N
C. ∁ZN∪M
D. ∁zM∩∁zN
2. (★) 命题“ ∀x∈−2,1,x2−x−a≤0 ”为真命题的一个充分不必要条件是
A. a≤−14 B. a≤0 C. a≥6 D. a≥8
3. 若抛物线 y2=ax 的焦点关于准线的对称点为(3,0),则实数 a 的值为
A. -2 B. 2 C. -4 D. 4
4. (★) 已知等差数列 an 的前 n 项和为 Sn ,若 S4=2,S8=12 ,则 S20=
A. 30 B. 58 C. 60 D. 90
5. (★) 已知 OA,OB 是两个夹角为 120∘ 的单位向量,如图所示,点 C 在以 O 为圆心的 AB 上运动. 若 OC=xOA+yOB ,其中 x,y∈R ,则 x+y 的最大值是

A. 2 B. 2 C. 3 D. 3
6. 已知函数 fx=sinx−3csx ,如图所示的函数曲线所对应的函数解析式可以为
A. y=f12x+2π3

B. y=f12x−π3
C. y=f2x+2π3
D. y=f2x−π3
7. ★ 已知函数 fx=4x+6,x≤0,lnx,x>0, 若 gx=fx−m 恰有 3 个零点 x1,x2,x3 ,则 x1x2x3 的取值范围是
A. −32,0 B. −32,0
C. (−∞,0] D. −∞,0
8. 两兄弟玩一种自定义游戏赢礼物, 约定先由弟弟掷一枚质量均匀的骰子,若弟弟掷出的点数为 6 ,则获得礼物；若掷出其他点数,则记下该点数 (假设为 k ),然后从哥哥开始两人轮流掷这枚骰子,直至任意一方掷出点数 k 或者 6,该游戏结束. 若掷出的是 k ,则弟弟获得礼物; 若掷出的是 6 , 则哥哥获得礼物. 该游戏中弟弟能获得礼物的概率为
A. 524 B. 512 C. 38 D. 712
二、选择题:本题共 3 小题,每小题 6 分,共 18 分. 在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要求, 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的 得 0 分.
9.(★)已知复数 z 在复平面内对应的点为 −12,32 ,则
A. z=1 B. z+z=1
C. z2+z+1=0 D. z2026=z
10. 如图,正方体 ABCD−A1B1C1D1 的棱长为 1,P 为 BC 的中点, Q 为线段 CC1 上的动点,过点 A , P,Q 的平面截该正方体所得的截面记为 S . 下列命题正确的是

A. 当 00,b>0 的实轴长为 2,且焦点到渐近线的距离为 3 .
(1)求双曲线 C 的方程；
(2)若直线 l 过双曲线 C 的焦点,且与双曲线左、右两支分别交于 M , N 两点,证明: 直线 l 与圆 O:x2+y2=a2 相切的充要条件是 MN=3 .
18.(本题满分 17 分)
甲同学将其电子表调成了 12 小时制, 即该表的显示时间为 00:00 至 11:59(不显示秒). 该同学某天随机的观测时间(即看到每一时刻的概率均等),得到由 4 个数字组成的时间点. 记第 2 个数字为 X ,这 4 个数字之和为 Y .
(1)求 Y=2 的概率；
(2)列出 X 的所有可能取值,并计算每个取值对应的事件所包含样本点的个数;
(3)求 Y 的数学期望 EY .
19.(本题满分 17 分)
已知函数 fx=sinx2+csx−ax,a∈R .
(1)若 a=0 ,求函数 fx 的最小正周期与单调区间；
(2)若对于任意 x≥0 ,恒有 fx≤0 ,求实数 a 的取值范围；
(3) 证明: 对任意的正整数 n,k=1nksin1k