江西省重点中学盟校2026届高三下学期第一次质检数学试卷含解析（word版）

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命题:鹰潭一中 黄鹤飞 临川二中 郑俊明 白鹭州中学 尹丙武
本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分，共 4 页.时间 120 分钟. 满分 150 分.
第 I 卷 选择题
一、单项选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项中, 只 有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合 A={x∈Z∣xx−32} ，则 A∩CRB= ( )
A. 0,2 B. 2,3 C. 1,2 D. {1,2}
2. 已知复数 z=ia−i ，若 z2−i 是纯虚数，则实数 a= ( )
A. -1 B. 0 C. 2 D. 1
3. 已知向量 a=−2,4,b=2,x ，若 a//b ，则 a−b= ( )
A. 45 B. 46 C. 36 D. 27
4. 已知 sinα−β=12,sinβcsα=16 ，则 cs2α+2β= ()
A. 718 B. −718 C. 79 D. −79
5. 随机抛掷质地均匀的两枚骰子,向上点数分别记为 a 和 b ,则直线 y=ax+b 与圆 x2+y2=1 有 2 个公共点的概率为( )
A. 718 B. 1118 C. 712 D. 518
6. 南宋数学家杨辉在《详解九章算术》中提出了高阶等差数列的问题,即一个数列 an 本身不是等差数列,但从 an 数列中的第二项开始,每一项与前一项的差构成等差数列 bn (则称数列 an 为一阶等差数列),或者 bn 仍旧不是等差数列,但从 bn 数列中的第二项开始, 每一项与前一项的差构成等差数列 cn (则称数列 an 为二阶等差数列),依次类推,可以得到高阶等差数列. 根据以上定义,解决如下问题. 已知数列 an 为二阶等差数列, a1=1,a2=2 且 cn=2n−1n∈N∗ ,则 a6= ( )
A. 35 B. 36 C. 37 D. 38
7. 在棱长为 2 的正方体 ABCD−A1B1C1D1 中， P ， Q 分别为棱 A1D1 ， CD 的中点，过直线 PQ 的平面 α 截该正方体所得截面 β ,则当平面 α 与平面 A1B1C1D1 所成的锐二面角最小时,截面 β 的面积为( )
A、 33 B. 26 C. 4 D. 3
8. 若 ∃m∈R 使得不等式 lnxx−mln2−ln24x−m≤0 对任意 x∈0,a 恒成立，则实数 a 的最大值为( )
A. 1 B. e C. 4 D. 2e
二、多项选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的四个选项中, 有 多项符合题目要求. 全部选对得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 在直三棱柱 ABC−A1B1C1 中， ∠ACB=90∘,AC=BC=CC1,E 为 CC1 的中点， F 为线段 A1B1 上的动点,下列结论正确的是 ( )
A. AB1//BE B. AC1⊥ 平面 A1BC
C. 平面 BFC⊥ 平面 ACC1A1 D. 存在点 F ,使得 C1F// 平面 A1BE
10. 在 △ABC 中,三个内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c ,若 sin2A+sin2B=1+cs2C , csBcsC=12,△ABC 的面积为 1,则()
A. bc=2 B. A=π3 C. csC=csA−B D. bcsC+ccsB=2
11. 已知抛物线 C:y2=2pxp>0 的焦点为 F ，准线 l 与 x 轴的交点为 K ，过点 K 的直线与抛物线交于两点 P,Q ,过 P,Q 作 l 的垂线,垂足分别为 T,S ,若点 A 是抛物线上的一动点. 且满足 FA 的最小值为 12 ，则()
A. y2=x B. OP2+OQ2>52
C. PF′PK>22 D. ∠PFQ=2∠SFT
第 II 卷 非选择题
三、填空题: 本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
12. 已知函数 fx=a⋅5x−25xsinx 是偶函数，则 a= _____.
13. 已知 F1−2,0,F22,0 是椭圆 C:x2a2+y2b2=1a>b>0 的两个焦点, P 为第一象限内椭圆 C 上的一个动点, Q 为 ΔPF1F2 的内心,过 F1 作直线 PQ 的垂线,垂足为 M ,若 OM=43,PF1=F1F2 ,则椭圆 C 的离心率 e=
14. 学校食堂每餐推出 A、B 两种套餐，某同学每天中午都会在食堂提供的两种套餐中选择一种套餐,若他前 1 天选择了 A 套餐,则第 2 天选择 A 套餐的概率为 14 ; 若他前 1 天选择了 B 套餐,则第 2 天选择了 A 套餐的概率为 34 . 已知他开学第 1 天中午选择 A 套餐的概率为 23 , 在该同学第 3 天选择了 A 套餐的条件下，他第 2 天选择 A 套餐的概率为_____.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. (本小题 13 分) 已知数列 an 中, a1=1 ,满足 an+1−3an−1=0n∈N∗ .
(1)证明数列 an+12 是等比数列，并求数列 an 的通项公式；
(2)设 bn=lg32an+1 ， Tn 为数列 2bnbn+1 的前 n 项和，求 T2026 .
16. (本小题 15 分) 随着科技的发展, 人工智能生成的虚拟角色正逐步取代传统的真人直播带货. 某公司使用虚拟角色直播带货后销售金额逐步提升, 根据该公司使用虚拟角色直播带货后 18 个月的销售金额的情况统计,得到一组样本数据 xi,yii=1,2,⋯,18 ,其中 xi 和 yi 分别表示月份编号和销售金额数量 (单位:万元),并计算得 i=118xi−x2=66 , t=118yt−y2=7500,i=118xiyi=950,18x⋅y=270.
(1) 求样本 xi,yii=1,2,⋯,18 的相关系数 (精确到 0.01 ),并推断销售金额 y (单位: 万元) 和月份编号 x 是否线性相关 (当 r≥0.75 时,即可认为线性相关);
(2)已知这 18 个月中有 10 个月的销售金额高于平均数，从这 18 个月中随机抽取 2 个月的销售金额,记抽到销售金额高于平均数的月份数为 X ,求随机变量 X 的分布列.
附:相关系数 r=i=1nxi−xyi−yi=1nxi−x2i=1nyi−y2=i=1nxiyi−nx⋅yi=1nxi−nx2i=1nyi−ny2,22≈4.7 .
17. (本小题 15 分) 如图,在四棱锥 E−ABCD 中,底面是直角梯形 ABCD,AB//DC , ∠ADC=90∘,AB=2,CD=1,AD=3,AE=6,ΔBCE 为正三角形,且平面 BCE⊥ 平面 ABCD .

(1)求证: BC⊥AE ；
(2)求直线 AB 和平面 ADE 所成角的正弦值；
(3) 设点 P 是三棱锥 E−ABC 外接球上一点，
求点 P 到平面 ADE 距离的最大值.
18. (本小题 17 分) 已知曲线 C 上的动点 M 满足 MF2−MF1=4 ,且 F1−5,0,F25,0 , (1)求 C 的方程；
(2)已知 A−2,0,B2,0,P 为 C 上的动 (点 P 与 A 不重合),直线 BP 和直线 x=−1 交于点 N , 直线 NA 交 C 于点 Q .
(i) 求证: 直线 PQ 过定点;
(ii)设直线 PQ 的倾斜角为 θ,ΔAPQ,ΔAPB 的面积分别为 S1,S2 ，当 θ∈π6,5π6 时，
求 S1S2 取值范围.
19. (本小题 17 分) 已知函数 fx=sinx−12sin2x .
(1)求 fx 在 0,π 上的最大值；
(2)求证: ∀x∈[0,+∞),fx≤12x3 恒成立；
(3)若 ∀x∈0,π2 都有 fx>ax3csx 恒成立，求 a 的最大值.