江西省重点中学协作体2026届高三下学期第一次联考数学试卷含解析（word版）

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（考试时间：120分钟，考试满分：150分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 设集合，，若，则（ ）
A. 0或B. 0或2C. 2或D. 0或2或
2. 高三某班10名同学数学期末成绩（满分150）依次为：100，105，110，115，120，125，130，135，140，145，这组数据的上四分位数为（ ）
A. 130B. 132．5C. 135D. 137．5
3. 已知复数z满足，则z在复平面内对应的点位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
4. 二项式的展开式中，第四项的系数为（ ）
A. B. C. 30D.
5. 已知，，，若点A，B，C能构成三角形，则实数t不能取的值为（ ）
A. B. C. D.
6. 已知双曲线上一点，若过P分别作双曲线C的两条渐近线的平行线，与两条渐近线的交点分别为M，N，则直线MN的方程为（ ）
A. B. C. D.
7. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则面积的最大值为（ ）
A B. C. D. 5
8. 已知函数，若，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的或不选的得0分．
9. 已知内角A，B，C对边分别为a，b，c．则下列说法正确的是（ ）
A. 若，则为钝角三角形．
B. 若，则为等腰三角形
C. 在锐角中，不等式恒成立
D. 若，，则的取值范围为
10. 已知椭圆上存在一点P，使椭圆C在点P处切线l与直线所成角的大小是，点Q是切线l上的动点，，为椭圆C的焦点，则下列说法正确的是（ ）
A. 的面积为2
B. 椭圆C的离心率
C.
D.
11. 在棱长为2的正方体中，F是棱的中点，则下列说法正确的是（ ）
A. 异面直线AC与所成角的大小为
B. 过A，F，C的平面截正方体所得的截面图形的周长为
C. 若P是正方形内的一个动点，且满足，则动点P的轨迹长度为2
D. 若P是棱的中点，则四面体外接球表面积为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 直线的倾斜角为________．
13. 某市场供应灯泡中，甲厂产品占30%，乙厂产品占70%，甲厂产品的合格率是70%，乙厂产品的合格率是90%，在该市场中随机购买一个灯泡，已知买到的是合格品，则这个灯泡是甲厂生产的概率是________．
14. 已知，函数与的图象相交，若相邻的三个交点恰好能构成一个等腰直角三角形的三个顶点，则________．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 已知等差数列的公差，其前n项和为，且，，成等比数列，．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，且的前n项和为，求证：（）．
16. 已知动圆过定点，且与直线相切．
（1）求动圆圆心的轨迹C的方程；
（2）过点作倾斜角为，（）的两条直线交轨迹C于M，N两点，若，求证：直线MN恒过定点．
17. 如图，四棱锥顶点A在平面内，其余顶点均在平面同侧，平面ABCD，四边形ABCD为正方形，，点M为PD中点，点B与点D到平面的距离为．
（1）求证：；
（2）求平面PCD与平面夹角的余弦值．
18. 已知函数，．
（1）求函数的极值；
（2）若函数在区间上的最小值为，求实数a的值；
（3）当时，证明不等式恒成立．
19. 小明玩一个掷骰子游戏：每次同时掷三枚均匀的六面骰子（点数从1到6），记录点数和.每枚骰子朝上的点数互不影响，游戏规则如下：
•若连续两次点数和大于等于12，则游戏立即结束.
•若某次点数和小于12，则之前的“点数和大于等于12”的次数清零，并从下一次重新开始计数.
以当前连续点数和大于等于12次数作为状态，记状态0为上一次点数和小于12或刚开始，状态1为上一次点数和大于等于12，状态2为游戏结束.
（1）求一次掷三枚骰子，点数和大于等于12的概率p.
（2）设从状态0开始，记第n次掷骰子后游戏首次结束（即首次到达状态2）的概率为.
①求，；
②证明：数列满足递推关系（，）；
（3）以掷骰子的次数为步数，构成一个马尔可夫链.
设从状态0、状态1出发到游戏结束所需步数的期望分别为、．
考虑当前状态与下一步可能转移的状态，建立关于、的方程组（例如：在状态0时，掷一次骰子后可能仍处于状态0或进入状态1，步数期望如何表达？）；以此为依据解答下列问题：
设随机变量X表示从开始到游戏结束时所需的掷骰子次数（即首次到达状态2的步数），求X的数学期望．