广州市第65中学高二上期末数学试卷（解析版）-A4

这是一份广州市第65中学高二上期末数学试卷（解析版）-A4，共16页。试卷主要包含了椭圆的焦距为，则的值为，如图，在三棱锥中，点满足，则等内容，欢迎下载使用。
单选题：本题共8题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．若直线的一个方向向量为，求直线的倾斜角
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】直线的一个方向向量为
则直线斜率为
直线的倾斜角为
2．已知抛物线上一点的纵坐标为，则点到抛物线焦点的距离为
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】依题意，由抛物线的定义知
点到抛物线焦点的距离即点到准线的距离
即
3．椭圆的焦距为，则的值为
A．或B．或C．D．
【答案】D
【解析】由椭圆化为标准形式得：
且椭圆的焦距
当椭圆焦点在轴上时，，，则由
所以
此时方程为：不是椭圆，不满足题意
当椭圆焦点在轴上时，，
，解得
此时方程为：，满足题意
综上所述，的值为
4．如图，在三棱锥中，点满足，则
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
，故
5．已知双曲线过点，其渐近线方程为，则双曲线的标准方程是
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】双曲线的渐近线方程为
设双曲线方程为
将点代入得，
该双曲线标准方程为，即
6．的顶点，边上的中线所在的直线为，的平分线所在直线方程为，求边所在直线的方程
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由，得
点的坐标为
设点关于直线的对称点为
则，解得
点在直线上
直线的方程为，即
设点的坐标为，则的中点坐标为
，解得
点的坐标为
边所在直线的方程为，即
7．已知是圆的一条弦，且，是的中点，当弦在圆上运动时，直线上存在两点，使得恒成立，则线段长度的最小值是

A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由题可知：，圆心，半径，
又，是的中点
点的轨迹方程，圆心为点，半径为
若直线上存在两点，使得恒成立
则以为直径的圆要包括圆
点到直线的距离为
长度的最小值为
8．已知数据的平均数与中位数相等，从这个数中任取个，则这个数字之积大于的概率为
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由数据的平均数
可得
，从这个数中任取个，结果有：
共种，这个数字之积大于的结果有：
，共种
所求概率为
多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．已知有限集为随机试验的样本空间，事件为的子集，则事件相互独立的充分条件可以是
A．B．
C．D．
【答案】BCD
【解析】对于A：由，得若发生，则一定发生
事件不相互独立，A错误
对于B：由，可得
事件相互独立，B正确
对于C：
事件相互独立
事件相互独立，C正确
对于D：由
结合
得
事件相互独立，D正确
故选：BCD
10．已知椭圆的右焦点为，抛物线顶点在原点并以为焦点，过的直线交抛物线于两点，下列说法正确的是
A．若，则
B．当时，直线的倾斜角为或
C．若，为抛物线上一点，则的最小值为
D．的最小值为
【答案】AD
【解析】对于A：由题意得，故抛物线方程为
由抛物线定义得，A正确
对于B：由于直线的斜率为0时
与抛物线只有一个交点，不合要求，舍去
设直线，联立，得
设，则
由韦达定理得
故
解得
故直线的斜率为，倾斜角不为或，B错误
对于C：由题意得，准线方程为
过点作⊥于点
由抛物线定义得
故
要想求得的最小值
则过点作⊥于点
故的最小值为，最小值为，C错误
对于D：由题意得
由于，故
由基本不等式得

当且仅当时，等号成立，
故的最小值为，D正确.
故选：AD
11．如图，在棱长为的正方体中，已知分别是棱的中点，为平面上的动点，且直线与直线的夹角为，则
A．平面
B．平面截正方体所得的截面面积为
C．点的轨迹长度为
D．能放入由平面分割该正方体所成的两个空间几何体内部（厚度忽略不计）的球的半径的最大值为
【答案】ABD
【解析】对于A；以为坐标原点
所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系
故
设平面的法向量为
则
令得，，故
，故平面，A正确
对于B：取的中点
连接
分别是棱，，的中点
，又
平面截正方体所得的截面为正六边形
其中边长为，故面积为，B正确
对于C：为平面上的动点，直线与直线的夹角为
又平面，设垂足为
以为圆心，为半径作圆
即为点的轨迹
其中
由对称性可知，
故半径
故点的轨迹长度为，C错误
对于D：分别是棱，，的中点
平面分割该正方体所成的两个空间几何体对称
不妨求能放入含有顶点的空间几何体的球的半径最大值
该球与平面切与点，与平面，平面，平面相切
由对称性可知，球心在上，设球心为，则半径为
，故，即，解得
故球的半径的最大值为，D正确
故选：ABD
填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．某地的中学生有的学生爱好篮球，有的学生爱好音乐，的学生爱好篮球或音乐，则在该地的中学生中随机调查一位学生，既爱好篮球又爱好音乐的概率为__________．
【答案】
【解析】设学生爱好篮球为事件，学生爱好音乐为事件
则学生爱好篮球或音乐为事件，既爱好篮球又爱好音乐为事件
又
13．已知直线，，若，则的值为__________．
【答案】
【解析】两直线平行，则斜率相等，即
解得或，当时
两直线重合，不满足平行条件，因此
14．设是双曲线的左、右焦点，点是右支上一点，若的内切圆的圆心为，半径为，其，使得，则的离心率为__________．
【答案】
【解析】不妨设在第一象限，则点也在第一象限
设，
故
又
故，解得
由双曲线定义得，
故，，
又


又，故
故，
又
故，
故，
将代入中
得，解得
的离心率为
解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．（13分）甲、乙两人参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，已知甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为，在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响．
（1）求经过两轮活动，两人共猜对个成语的概率；
（2）求经过两轮活动，两人猜对成语的个数不相同的概率．
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）设“甲第轮猜对”为事件
“乙第轮猜对”为事件
则
记“经过两轮活动，两人共猜对个成语”为事件
则事件有三种可能：甲全对、甲乙各对一个、乙全对
（2）记“经过两轮活动，两人猜对成语的个数不相同”为事件
则事件有三种可能：均全错、均错一个、均全，
16．（15分）如图，直四棱柱各棱长均为，，是线段的中点．
（1）求点到平面的距离；
（2）求直线与平面所成角的正弦值．
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）连接，由题意，点为的交点
连接交于点，连接。则平面
四边形为菱形，则，
如图，以点为原点，建立空间直角坐标系
在中，
则为等边三角形，则
则
故
设平面的法向量为
则有，可取
则点到平面的距离为
（2），故
则，
即直线与平面所成角的正弦值为
17．（15分）已知的圆心在直线上，点在轴右侧且到轴的距离为，被直线截得的弦长为．
（1）求的方程；
（2）设点在上运动，且点满足，（为原点）记点的轨迹为．
①求曲线的方程；
②过点的直线与曲线交于两点，问在轴正半轴上是否存在定点，使得轴平分？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2）①，②存在，
【解析】（1）由题意可设圆的圆心的坐标为
圆的圆心在直线上
，解得：，即圆心为
圆心到直线的距离为，设圆的半径为
弦长为
由已知
圆的标准方程为；
（2）设
则
由得：
在圆上运动，
整理可得点的轨迹方程为：
当直线轴时，轴平分，
当直线斜率存在时，设直线的方程为
联立化简可得
方程的判别式
设，，
若轴平分，则
又，
解得
当时，能使轴平分
18．（17分）如图，在平行四边形中，，将沿折起，使点到达点位置，且，连接得三棱锥，如图．
（1）证明：平面平面；
（2）在线段上是否存在点，使平面与平面的夹角的余弦值为，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）证明见解析；（2）存在，
【解析】（1）翻折前，四边形为平行四边形
，则
则，
由余弦定理可得

则，同理可证
翻折后，则有，
，，、平面
平面
平面，则
，、平面
平面
平面平面
（2）平面，，以点为坐标原点
、、的方向分别为、、轴的正方向
建立如下图所示的空间直角坐标系
则、、、
设，其中，
则
设平面的法向量为
则
取，则，
平面的一个法向量为
，，
则
令，可得
则
整理可得
因此，线段上存在点
使平面与平面的夹角的余弦值为
且
19．（17分）在平面直角坐标系中，点分别是椭圆的右顶点，上顶点，若的离心率为，且到直线的距离为．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过点的直线与椭圆交于两点，其中点在第一象限，点在轴下方且不在轴上，设直线的斜率分别为．
（i）求证：为定值，并求出该定值；
（ii）设直线与轴交于点，求的面积的最大值．
【答案】（1）；（2）（i）证明见解析，，（ii）
【解析】（1）设椭圆的焦距为
椭圆的离心率为
，即
据，得，即
直线的方程为，即
原点到直线的距离为
故，解得
椭圆的标准方程为
（2）（i）设直线的方程为，其中
且，即
设直线与椭圆交于点
联立方程组
整理得
，


为定值，得证
（ii）直线的方程为
令，得，故
设直线与轴交于点，直线的方程为
令，得，故
联立方程组整理得
解得或0（舍）


的面积

由（i）可知，，故，代入上式，
，
点在轴下方且不在轴上
故或，得
显然，当时，
当时，
故只需考虑，令，则
当且仅当，
即时，不等式取等号
的面积的最大值为