广东省广州市第六十五中学2024-2025学年高二上学期期末考试数学试卷（含答案解析）

这是一份广东省广州市第六十五中学2024-2025学年高二上学期期末考试数学试卷（含答案解析），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题(本大题共 8 小题，每小题 4 分，共 32 分)
1. 若直线l的一个方向向量为，求直线的倾斜角（ ）
2. 已知抛物线上一点的纵坐标为4，则点到抛物线焦点的距离为（ ）
3. 椭圆的焦距为4，则的值为（ ）
4. 如图，在三棱锥中，点满足，则（ ）
5. 已知双曲线过点，其渐近线方程为，则双曲线的标准方程是（ ）
6. 的顶点，边上的中线所在的直线为，的平分线所在直线方程为，求边所在直线的方程（ ）
7. 已知是圆的一条弦，且，是的中点，当弦在圆上运动时，直线上存在两点，使得恒成立，则线段长度的最小值是（ ）
8. 已知数据1，2，3，4，的平均数与中位数相等，从这5个数中任取2个，则这2个数字之积大于5的概率为
二、多选题(本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分)
9. 已知有限集为随机试验的样本空间，事件为的子集，则事件相互独立的充分条件可以是（ ）
10. 已知椭圆的右焦点为，抛物线以为焦点，过的直线交抛物线于两点，下列说法正确的是（ ）
11. 如图，在棱长为2的正方体中，已知M，N，P分别是棱，，的中点，Q为平面上的动点，且直线与直线的夹角为，则（ ）
三、填空题(本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分)
12. 某地的中学生有40%的学生爱好篮球，有70%的学生爱好音乐，90%的学生爱好篮球或音乐，则在该地的中学生中随机调查一位学生，既爱好篮球又爱好音乐的概率为______．
13. 已知直线，，若，则的值为__________．
14. 设，是双曲线：（，）的左、右焦点，点是右支上一点，若的内切圆的圆心为，半径为，且，使得，则的离心率为______．
四、解答题(本大题共 5 小题，每小题 8 分，共 40 分)
15. 甲、乙两人参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，已知甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为.在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响.
(1)求经过两轮活动，两人共猜对2个成语的概率；
(2)求经过两轮活动，两人猜对成语的个数不相同的概率.
16. 如图，直四棱柱各棱长均为2，，O是线段BD的中点．
(1)求点O到平面的距离；
(2)求直线AB与平面所成角的正弦值．
17. 已知的圆心在直线上，点C在y轴右侧且到y轴的距离为1，被直线l：截得的弦长为2.
(1)求的方程；
(2)设点D在上运动，且点满足，（O为原点）记点的轨迹为.
①求曲线的方程；
②过点的直线与曲线交于A，B两点，问在x轴正半轴上是否存在定点N，使得x轴平分∠ANB？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由.
18. 如图1，在平行四边形中，，将沿折起，使点D到达点P位置，且，连接得三棱锥，如图2．
(1)证明：平面平面；
(2)在线段上是否存在点M，使平面与平面的夹角的余弦值为，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由．
19. 在平面直角坐标系中，点，分别是椭圆：的右顶点，上顶点，若的离心率为，且到直线的距离为.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过点的直线与椭圆交于，两点，其中点在第一象限，点在轴下方且不在轴上，设直线，的斜率分别为，.
（i）求证：为定值，并求出该定值；
（ii）设直线与轴交于点，求的面积的最大值.
广东省广州市第六十五中学2024-2025学年高二上学期期末考试数学试卷
整体难度：适中
考试范围：平面解析几何、空间向量与立体几何、计数原理与概率统计、等式与不等式
试卷题型
试卷难度
细目表分析
知识点分析
试题答案解析
第1题：
第2题：
第3题：
第4题：
第5题：
第6题：
第7题：
第8题：
第9题：
第10题：
第11题：
第12题：
第13题：
第14题：
第15题：
第16题：
第17题：
第18题：
第19题：
A．
B．
C．
D．
A．
B．5
C．6
D．
A．或
B．或
C．
D．
A．
B．
C．2
D．
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．若，则
B．，直线的倾斜角为或
C．若为抛物线上一点，则的最小值为
D．的最小值为9
A．平面
B．平面截正方体所得的截面面积为
C．点Q的轨迹长度为
D．能放入由平面PMN分割该正方体所成的两个空间几何体内部（厚度忽略不计）的球的半径的最大值为
题型
数量
单选题
8
多选题
3
填空题
3
解答题
5
难度
题数
容易
2
较易
3
适中
7
较难
5
困难
2
题号
难度系数
详细知识点
一、单选题
1
0.94
直线的倾斜角；直线方向向量的概念及辨析
2
0.94
抛物线定义的理解；抛物线的焦半径公式
3
0.85
根据方程表示椭圆求参数的范围；判断方程是否表示椭圆
4
0.65
用空间基底表示向量
5
0.65
根据双曲线过的点求标准方程；根据双曲线的渐近线求标准方程
6
0.65
求直线交点坐标；求点关于直线的对称点；直线综合
7
0.4
圆上点到定直线（图形）上的最值（范围）；轨迹问题——圆；判断圆与圆的位置关系
8
0.4
计算古典概型问题的概率
二、多选题
9
0.65
独立事件的判断；独立事件的乘法公式
10
0.4
抛物线上的点到定点和焦点距离的和、差最值；与抛物线焦点弦有关的几何性质；基本不等式求和的最小值；直线与抛物线交点相关问题
11
0.15
判断正方体的截面形状；多面体与球体内切外接问题；空间位置关系的向量证明；立体几何中的轨迹问题
三、填空题
12
0.85
概率的基本性质
13
0.85
已知直线平行求参数
14
0.4
利用定义解决双曲线中焦点三角形问题；求双曲线的离心率或离心率的取值范围；双曲线定义的理解；双曲线的焦半径与焦点弦问题
四、解答题
15
0.65
利用互斥事件的概率公式求概率；独立事件的乘法公式；利用对立事件的概率公式求概率
16
0.65
线面角的向量求法；点到平面距离的向量求法
17
0.65
已知圆的弦长求方程或参数；直线与圆中的定点定值问题；由圆心（或半径）求圆的方程；求平面轨迹方程
18
0.4
证明面面垂直；空间线段点的存在性问题；面面角的向量求法
19
0.15
根据离心率求椭圆的标准方程；椭圆中三角形（四边形）的面积；求椭圆中的最值问题；椭圆中的定值问题
序号
知识点
对应题号
1
平面解析几何
1,2,3,5,6,7,10,11,13,14,17,19
2
空间向量与立体几何
4,11,16,18
3
计数原理与概率统计
8,9,12,15
4
等式与不等式
10