2022-2023学年广东广雅中学高一上学期期末数学试题（解析版）

2022学年上学期高一年级期末学业质量检测

数学

一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.

1. 已知集合，，，则A∩（∁UB）=

A. {2，3，4，5，6} B. {3，6}

C. {2} D. {4，5}

【答案】B

【解析】

【分析】由集合，在集合的补集和交集的运算，即可求解.

【详解】由集合，

又由，，所以

则，故选B.

【点睛】本题主要考查了集合的混合运算问题，其中解答中熟记集合的交集和集合的补集的运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.

2. 计算的值为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】利用三角函数诱导公式转化为特殊角三角函数值即可解决.

【详解】

故选：C

3. 已知，则（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】由不等式的性质判断ACD；取特殊值判断B.

【详解】解：对于A，因为，所以，即，故错误；

对于B，取，则，故错误；

对于C，由，得，所以，故错误；

对于D，由，得，所以，故正确.

故选：D.

4. 荀子曰：“故不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海.“这句来自先秦时期名言.此名言中的“积跬步”是“至千里”的（    ）

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】

【分析】根据必要不充分条件的定义，可得答案.

【详解】由名言，可得大意如果不“积跬步”，便不能“至千里”，其逆否命题为若要“至千里”，则必要“积跬步”，另一方面，只要“积跬步”就一定能“至千里”吗，不一定成立，

所以“积跬步”是“至千里”的必要不充分条件.

故选：B

5. 设，，，则a，b，c的大小关系为（    ）

A. c>b>a B. b>c>a C. b>a>c D. a>b>c

【答案】A

【解析】

【分析】先求得a的值，再利用对数函数单调性求得b的范围，利用指数函数单调性求得c的范围，进而求得a，b，c的大小关系.

【详解】由，可得

又，，

则a，b，c的大小关系为c>b>a

故选：A

6. 已知函数，则的图象是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】先求得的解析式，再利用特值法排除错误选项，进而得到正确选项.

【详解】由，可得

当时，，则的图象过点，则排除选项AB；

当时，，排除选项C，正确选项为D.

故选：D

7. 若角与角的终边关于y轴对称，则必有（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】

根据角与角的终边关于y轴对称，有，即可得解.

【详解】角与角的终边关于y轴对称，

所以，

，

即，

故选：D

【点睛】此题考查根据两个角的终边的对称关系求解角的关系，关键在于准确将对称关系转化成代数关系求解.

8. 定义域为的函数，若关于x的方程恰有5个不同的实数解，，，，，则等于（    ）

A. 1 B.  C.  D. 0

【答案】C

【解析】

【分析】分析出函数图象关于直线对称，分析可知为关于的方程的一根，求出的值，即可得解.

【详解】令，作出函数的大致图象，

当时，，

故函数的图象关于直线对称，

因为关于的方程恰有个不同的实数根，

则关于的方程恰有两根，设为、，且必有一根为，设，

设方程的两根分别为、，且，则，

所以，，，

因此，.

故选：C.

二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.

9. 已知，，则下列结论正确的是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】ABD

【解析】

【分析】由题意得，可得，根据的范围，可得，的正负，即可判断A的正误；求得的值，即可判断D的正误，联立可求得，的值，即可判断B的正误；根据同角三角函数的关系，可判断C的正误，即可得答案.

【详解】因为，

所以，则，

因，所以，，

所以，故A正确；

所以，

所以，故D正确；

联立，可得，，故B正确；

所以，故C错误.

故选：ABD.

10. 【多选】已知函数，则下列x的范围满足不等式的是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】CD

【解析】

【分析】由已知得在R上单调递增，，计算得解.

【详解】当时，单调递增，且，

当时，单调递增，且，

所以在R上单调递增，所以，解得.

故选：CD．

11. 已知函数，，则下列说法正确的是（    ）

A. 若函数的定义域为，则实数的取值范围是

B. 若函数的值域为，则实数

C. 若函数在区间上为增函数，则实数的取值范围是

D. 若，则不等式的解集为

【答案】AC

【解析】

【分析】对于A，首先要对分类讨论，然后在定义域为的条件下再求的取值范围；对于B，使内层函数的最小为4即可；对于C，一是要考虑内层函数的单调性，二是要考虑定义域；对于D，在解对数不等式时，一定要从定义域为基本前提出发.

【详解】对于A，由题意知对恒成立，

由于当时，不等式不恒成立，所以．

当时，由解得，所以A正确；

对于B，若函数的值域为，则，显然不为0，

则函数的最小值为4，则当时，

，解得，所以B错误；

对于C，若函数在区间上为增函数，则在上为增函数，且在内的函数值为正，所以解得，所以C正确；

对于D，若，则不等式等价于，

则，解得，所以D不正确．

故选：AC．

【点睛】方法点睛：

判断复合函数的单调性要注意把握两点：

一是要同时考虑两个函数的定义域；二是同时考虑两个函数的单调性，

正确理解“同增异减"的含义，即增增→增，减减→增，增减→减，减增→减．

12. 对于定义在D函数若满足：

①对任意的，；

②对任意的，存在，使得．

则称函数为“等均值函数”，则下列函数为“等均值函数”的为（    ）．

A.  B.

C.  D.

【答案】ABC

【解析】

【分析】根据已知“等均值函数”的定义，逐项分析验证所给函数是否满足所给的两个条件，即可判断答案.

【详解】对于定义域为R，满足，满足，

对任意的，存在，使得,故A正确；

对于，

若，则，则 ，

若，则，则 ，即满足①；

对任意的，存在，使得，

对任意的，存在，使得，

即满足②，故B正确；

对于，定义域为，

对任意的，都有成立，满足①；

对任意的，存在，

使得，即满足②，故C正确；

对于，定义域为，

当时，，故对任意的，不成立，故D错误，

故选：ABC

三､填空题：本小题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 如果，且，则的化简为_____.

【答案】

【解析】

【分析】由，且，得到是第二象限角，由此能化简．

【详解】解：∵，且，∴是第二象限角，

∴．

故答案为：．

14. 已知，都是锐角，若，，则________．

【答案】

【解析】

【分析】根据题意求出的余弦值，利用两角和的余弦函数求出的余弦值，然后求出

【详解】，，

所以

，

，

，

则

故答案为：

15. 已知函数在区间上是增函数，则实数a的取值范围是___________.

【答案】

【解析】

【分析】利用复合函数单调性列出关于实数a的不等式，解之即可求得实数a的取值范围.

【详解】当时，在上单调递增，且，

又单调递减，

则在区间上单调递减，不符合题意；

当时，由函数在区间上是增函数可得：

，解之得

综上，实数a的取值范围是

故答案为：

16. ，记为不大于的最大整数，，若，则关于的不等式的解集为______

【答案】

【解析】

【分析】对的范围分类讨论，结合所给定义表示出，，将转化为一元一次不等式，解得即可，最后取并集；

【详解】解：当时，，所以，即，解得，所以；

当时，，所以，即，解得，所以；

当时，，所以，即，解得，所以；

当时，，所以，即，解得，所以；

综上可得；

故答案为：

四､解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤）

17. 已知集合，．

（1）求；

（2）集合，若“”是“”的充分不必要条件，求的取值范围．

【答案】（1）；   

（2）.

【解析】

【分析】（1）解一元二次不等式求集合A，解一元一次不等式求集合B，再应用集合的并补运算求.

（2）解含参一元二次不等式求集合C，再由充分不必要关系有，进而列不等式求参数范围.

【小问1详解】

因为， 

所以，故．

【小问2详解】

由，即，

所以，

因为“”是“”的充分不必要条件，所以，

所以或，可得，

即a的取值范围是．

18. 如图，在平面直角坐标系中，锐角和钝角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边分别与单位圆交于，两点，且.

（1）求的值；

（2）若点的横坐标为，求的值.

【答案】（1）；   

（2）.

【解析】

【分析】(1)根据给定条件可得，再利用诱导公式化简计算作答.

(2)由给定条件求出，再利用和角公式、倍角公式计算作答.

【小问1详解】

依题意，，所以.

【小问2详解】

因点的横坐标为，而点在第一象限，则点，即有，

于是得，，

，，

所以.

19. 设.

（1）求的值及的单调递增区间；

（2）若，，求的值.

【答案】（1）；；   

（2）

【解析】

【分析】（1）先化简的解析式，代入即可求得的值；整体代入法即可求得的单调递增区间；

（2）先求得，再利用两角和的正弦公式即可求得的值.

【小问1详解】

，

则，

由，可得

则的单调递增区间.

【小问2详解】

由（1）得

又由，可得，则，

由，可得，又，

则，则

则

20. 某乡镇响应“绿水青山就是金山银山”的号召，因地制宜的将该镇打造成“生态水果特色小镇”.经调研发现：某珍稀水果树的单株产量W（单位：千克）与施用肥料（单位：千克）满足如下关系：肥料成本投入为元，其它成本投入（如培育管理、施肥等人工费）元.已知这种水果的市场售价大约为15元/千克，且销路畅通供不应求.记该水果树的单株利润为（单位：元）.

（1）求的函数关系式；

（2）当施用肥料为多少千克时，该水果树的单株利润最大？最大利润是多少？

【答案】（1）   

（2）当施用肥料为4千克时，该水果树的单株利润最大，最大利润为480元

【解析】

【分析】（1）利用，即可求解；

（2）对进行化简，得到，然后，分类讨论和时，的取值，进而得到答案.

【小问1详解】

根据题意，，化简得，

【小问2详解】

由（1）得

当时，

当时，

当且仅当时，即时等号成立.

因为，所以当时，.

故当施用肥料为4千克时，该水果树的单株利润最大，最大利润为480元.

21. 已知二次函数的图象过点，满足且函数是偶函数.函数.

（1）求二次函数的解析式；

（2）若对任意，，恒成立，求实数m的范围；

（3）若函数恰好三个零点，求k的值及该函数的零点.

【答案】（1）；   

（2）或或；   

（3）详见解析.

【解析】

【分析】（1）待定系数法即可求得二次函数的解析式；

（2）先求得在上的最小值3，将问题转化为不等式对任意恒成立，再列出关于实数m的不等式组，解之即可求得实数m的范围；

（3）先将函数恰好三个零点，转化为方程有一个根为3，另一个根大于3，再列出关于k的方程，解之即可求得k的值，进而求得该函数的零点.

【小问1详解】

设二次函数

由函数是偶函数，可得图像有对称轴直线，

则二次函数的图象有对称轴直线，

又二次函数的图象过点，满足，

则，解之得，

则二次函数的解析式为

【小问2详解】

由（1）得，则，

当时单调递增，.

若对任意，，恒成立，

则对任意，恒成立，

则对任意恒成立，

则，解之得或或

【小问3详解】

由函数恰好有三个零点，

则方程恰好有三个根，

令，则，则方程有一个根为3，另一个根大于3，

则，解之得，

此时方程即有二根或

由，可得；由，可得或

则该函数的零点为或或.

22. 已知函数偶函数.

（1）求的值；

（2）设函数，其中若函数与的图象有且只有一个交点，求的取值范围.

【答案】（1）；（2）.

【解析】

【分析】

（1）由偶函数的性质即可求出；

（2）令，题目等价于在上只有一解，讨论，和三种情况讨论求解.

【详解】（1）∵是偶函数，

∴对任意恒成立，

即：恒成立，

∴.

（2），，，

令，则，因而等价于关于的方程（*）在上只有一解，

①当时，解得，不合题意；

②当时，记，

其图象的对称轴，

∴函数在上递减而，

∴方程（*）在无解.

③当时，记，其图象的对称轴，

所以，只需，即，此恒成立，

∴此时的范围为，

综上所述，所求的取值范围.

【点睛】关键点睛：本题考查根据函数交点个数求参数范围，解题的关键是将其转化为在上只有一解，再讨论的范围求解.