广东省广东仲元中学、深圳龙城高级中学高二下学期4月期中联考数学试题（原卷版）(1)-A4

这是一份广东省广东仲元中学、深圳龙城高级中学高二下学期4月期中联考数学试题（原卷版）(1)-A4，共5页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
命题人：周俊武 审题人：张婷
本试卷共4页，19小题，满分150分.考试时间120分钟.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知等比数列则（ ）
A 8B. ±8C. 10D. ±10
2. 函数的导函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A. 在处取得最大值
B. 在区间上单调递减
C. 在处取得极大值
D. 在区间上有2个极大值点
3. 某班准备从甲、乙、丙、丁4位同学中挑选3人，分别担任2025年元旦晚会的主持人、记分员和秩序员，每个职务最多一人担任且每个职务必须有一人担任，已知甲同学不能担任主持人，则不同的安排方法有（ ）种.
A. 18B. 24C. 27D. 64
4. 在展开式中，含的项的系数是（ ）
A. 74B. 121C. D.
5. 已知直线与圆，点，则下列说法错误的是（ ）
A. 若点在圆上，则直线与圆相切
B. 若点在圆内，则直线与圆相离
C. 若点在圆外，则直线与圆相离
D. 若点在直线上，则直线与圆相切
6. 某教学楼从二楼到三楼的楼梯共级，上楼可以一步向上走一级，也可以一步向上走两级，某同学从二楼到三楼准备用步恰好走完，则该同学从二楼到三楼共有（ ）种不同上法．
A. B. C. D.
7. 已知椭圆为椭圆的左右焦点，为椭圆上一点，连接并延长交椭圆于另一点，若，则椭圆的离心率为（ ）
A. B. C. D.
8. 已知函数，，，，则的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 下列说法正确的有（ ）
A. 若、、成等差数列，则、、成等差数列
B. 若、、成等差数列，则、、成等比数列
C. 若、、成等比数列，则、、成等差数列
D. 若、、成等比数列，则、、成等比数列
10. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，且，A，P，B为双曲线上不同的三点，且A，B两点关于原点对称，直线与斜率的乘积为1，则（ ）
A. B. 双曲线C的离心率为2
C. 直线倾斜角的取值范围为D. 若，则三角形的面积为2
11. 数学探究课上，小王从世界名画《记忆的永恒》中获得灵感，创作出了如图1所示的《垂直时光》.已知《垂直时光》是由两块半圆形钟组件和三根指针组成的，它如同一个标准的圆形钟沿着直径折成了直二面角（其中对应钟上数字对应钟上数字9）.设的中点为，若长度为2的时针指向了钟上数字8，长度为3的分针指向了钟上数字12.现在小王准备安装长度为3的秒针（安装完秒针后，不考虑时针与分针可能产生的偏移，不考虑三根指针的粗细），则下列说法正确的是（ ）
A. 若秒针指向了钟上数字5，如图2，则
B. 若秒针指向了钟上数字5，如图2，则平面
C. 若秒针指向了钟上数字4，如图3，则与所成角的余弦值为
D. 若秒针指向了钟上数字4，如图3，则四面体的外接球的表面积为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 若（为正常数）的展开式中所有项的系数之和为81，则展开式中的常数项为__________．
13. 已知数列的前项和为，若，则__________.
14. 若存在实数使得，则实数的取值范围为________.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知函数的图象过点，且．
（1）求函数在点处的切线方程
（2）求函数在上的值域．
16. 如图，在斜三棱柱中，侧面底面，侧棱与底面成的角，．底面是边长为2的正三角形，其重心为G点，E是线段上一点，且．
（1）求证：平面；
（2）求平面与平面夹角正切值．
17. 已知抛物线，为的焦点，为的准线是上两点，且（O为坐标原点），过作，垂足为D，点D的坐标为.
（1）求C的方程；
（2）在C上是否存在点，使得过F的任意直线交C于S，T两点，交l于M，直线的斜率均成等差数列？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由.
18. 已知函数且．
（1）当时，判断函数零点的个数；
（2）讨论函数的单调区间；
（3）当时，证明：．
19. 角谷猜想，也称为“”猜想，其内容是：任取一个正整数，如果是偶数，将它除以；如果是奇数，则将它乘以再加上，如此反复运算，该数最终将变为；这就是对一个正整数运算时“万数归”现象的猜想，假如对任意正整数，按照上述规则实施第次运算后的结果记，实施第2次运算后的结果记为，…实施第次运算后的结果记为，实施第次运算后得到数，则停止运算，即可以得到有穷数（其中）其递推关系式为，称作数列的原始项；将此递推公式推广为：，其它规则不变，得到的数列记作，试解答以下问题：
（1）若，求数列项数；
（2）若数列满足，求原始项的所有可能取值构成的集合；
（3）对任意数列，求证：．